高中數(shù)學(xué) 教學(xué)教研(名師研討 教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)解題 反思 總結(jié)) 蜜蜂周報(bào) 第3期

1、蜜 蜂 周 報(bào)第 3 期（2020 年 3 月 30-4 月 5 日）2020 年第 3 期目錄1.一定兩動(dòng)成定角，平行四邊形對(duì)角線最值問題（續(xù)）.12.又見等和線.93.我說你來猜?lián)淇伺频倪壿嬐评韱栴} .124.事不過三，終成難題長(zhǎng)方體中的多次反射問題.165.給定條件求角的范圍.226.平口單峰一座神奇的峰 .247.變中有定四面體的截面問題 .268.抽絲剝繭，層層轉(zhuǎn)化抽象函數(shù)的零點(diǎn).289.非線性目標(biāo)函數(shù).3010.矩形四個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的最值問題(五星)（續(xù)）.3011.與向量有關(guān)的最值問題 .3212.與重心、外心有關(guān)的最值問題（四星）（續(xù)）.3313.三角形中的最值問題 .3414.雖

2、不能在一起，也能心連心橢圓離心率問題.3815.所有的已知條件都要用上？一道三角形周長(zhǎng)取值范圍問題.4416.這不是極值點(diǎn)偏移問題雙變量不等式.4917.兩條切線互相垂直求參數(shù)范圍 .511.一定兩動(dòng)成定角，平行四邊形對(duì)角線最值問題（續(xù)）這個(gè)題也成了一個(gè)網(wǎng)紅題，自上周出現(xiàn)，在各個(gè)教師群中展開激烈研究，現(xiàn)在有了一個(gè)比較完整的解答過程，整理如下。資料來自公眾號(hào)“鄒生書數(shù)學(xué)”。感謝鄒老師整理！（我沒有全文摘錄，讀者可以去公眾號(hào)看全文，文件名：?jiǎn)栴}研究 II 對(duì)一道困惑高中教師的最值問題的探究之旅）1上述解法是錯(cuò)誤的。第一個(gè)不等式成立的條件是ABC 為等邊三角形，此時(shí)三角形關(guān)于直線 OA 對(duì)稱，則點(diǎn)

3、M 在直線 OA 上；第二個(gè)不等式成立的條件是點(diǎn) A 在線段 OB 上。由此推出 A,B,C 三點(diǎn)共線，不合題意。2. 再看一個(gè)直覺猜想23洪一平老師的解答45（2）趙輝博士的軌跡方程解答手稿（對(duì)問題進(jìn)行了等價(jià)轉(zhuǎn)化）67張波博士對(duì)原問題的完美解答8一個(gè)網(wǎng)文：黃之圓中對(duì)一個(gè)定點(diǎn)的張角為定值的弦中點(diǎn)全文在公眾號(hào)“許康華競(jìng)賽優(yōu)學(xué)”，篇幅比較大，不再貼出來了，讀者感興趣請(qǐng)自行查閱。下面這個(gè)鏈接，可以點(diǎn)開：（ 55&idx=1&sn=d1106e70c49af2b27ae7195fe547871d&chksm=ebb50c34dcc28522e43d003d1fb91e9a8fccaf2433f3d28

4、d8f9599b0e18c44f261062083058c& mpshare=1&scene=1&srcid=0325362c6E9wBFrhSwrZC4iF&sharer_sharetime=1585615275327&sharer_shareid=d741361143220f34263befa46b981043& key=50aaa926bffe5f42d18a05287d4eb31d7e61ee7f8e1fdf83d5de54e5a04ea8eb0bb8dd56deaf264deeb59376dda8b876d8c19641b91875490c43b43bdde41a6c04430a80

5、4b209a00409175ed52113bd6&ascene=1&uin=ODIxNzQ4NjU%3D &devicetype=Windows+10&version=62080085&lang=zh_CN&exportkey=AZk LA0a1%2Fzuw4QuIEzS45Aw%3D&pass_ticket=Y8AoB5xJR%2BxhckhmQMucp%2B SEwVbdwlYBjjasH0eXccM%3D）2.又見等和線等和線也是這幾年發(fā)展起來的一種解題技術(shù)，很厲害。下面這道題是群里學(xué)生問的：9搜題軟件的解答。搜題軟件中的解答很多是有問題的。這題也是，不嚴(yán)密（作為選擇題尚可）。10變式1

6、13.我說你來猜?lián)淇伺频倪壿嬐评韱栴}從哪年開始，高考中出現(xiàn)了這種邏輯推理題，不需要什么高中數(shù)學(xué)公式，如果說它考什么，就是考邏輯推理能力。12相關(guān)試題甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī)，老師說，你們四人中有 2 位優(yōu)秀，2 位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)，看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則A乙可以知道兩人的成績(jī)B丁可能知道兩人的成績(jī)C乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D乙、丁可以知道自己的成績(jī)選 D(2014 年課標(biāo)高考試題)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過 A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過 B城市;乙說:我沒

7、去過 C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市.由此可判斷乙去過的城市為 .解析:由丙說:我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市,甲說:沒去過 B 城市,乙說:我沒去過 C 城市 三人只可能同去A市 乙去過 A市;若乙去過 B市,則乙去過 2市=甲去過的城市數(shù),與甲說:“我去過的城市比乙多”矛盾.13故乙去過的城市只有 A市.子題類型:(2014年福建高考理科試題)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四個(gè)關(guān)系:a=1;b1;c=2;d4有且只有一個(gè)是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是 .解析:根據(jù)a=1;b1;c=2;d4 有且只有一個(gè)是正確的,枚舉篩選如下:若a=1 正確,則b1 錯(cuò)

8、誤 b=1,矛盾;若b1 正確,則a=1;c=2;d4 錯(cuò)誤 a1,c2,d=4 c=1(a,b,c,d)=(2,3,1,4),(3,2,1,4);若c=2 正確,則a=1;b1;d4 錯(cuò)誤 a1,b=1,d=4 a=3 (a,b,c,d)=(3,1,2,4); 若 d 4 正 確 ,則 a=1; b 1; c=2 錯(cuò) 誤 a 1,b=1,c 2 (a,b,c,d)=(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).綜上,(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是 6.子題類型:(2007 年武漢大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人同時(shí)參加一個(gè)國際會(huì)議.他們除了懂本國語言

9、外,每人還會(huì)說其他三國語言中的一種.有一種語言是三個(gè)人都會(huì)說的,但沒有一種語言人人都懂.現(xiàn)知道:甲是日本人,丁不會(huì)說日語,但他倆能自由交談;四個(gè)人中,沒有一個(gè)人既能用日語交談,又能用法語交談;乙不會(huì)說英語,當(dāng)甲與丙交談時(shí)他都能做翻譯;乙、丙、丁交談時(shí),找不到共同語言溝通.由上述可知,丁會(huì)說的兩種語言是 .解析:由知:甲是日本人;由知:甲只能會(huì)英、德兩種語言中的一種;()若甲會(huì)英語,則由知,丁會(huì)英語 丁不是英國人,但丁會(huì)英語,或丁是英國人.若丁不是英國人,但丁會(huì)英語,由知,乙也不是英國人 丙是英國人,此時(shí)甲、丙均會(huì)英語,由知,乙會(huì)日語,與矛盾;若丁是英國人,由知:乙會(huì)日語,由知:不法語 乙是法國

10、人,且會(huì)日語 丙是德國人,由知:乙會(huì)德語,與大前提矛盾;()若甲會(huì)德語,則不會(huì)英、法語,由知,丁會(huì)德語,由知,乙會(huì)德語 丙不會(huì)德語 丙不是德國人 乙是德國人,丙是法國人,丁是英國人,由此得上表,丁會(huì)說的兩種語言是英、德語.點(diǎn)評(píng):邏輯推理問題中,有時(shí)會(huì)涉及很多對(duì)象,每個(gè)對(duì)象又有幾種不同情況,同時(shí)還給出不同對(duì)象之間不同情況的判斷,要求推出確定的結(jié)論.對(duì)于這類問題,通?？梢岳帽砀癜驯緛砹鑱y的信息集中整理出來,方便推理.4.子題系列:1.(2014 年重慶福建文科試題)己知集合a,b,c=0,1,2,且下列三個(gè)關(guān)系:a2;b=2;c0 有且只有一個(gè)正確,則 100a+10b+c等于 .2.(2007

11、年武漢大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)某珠寶店失竊,甲、乙、丙、丁個(gè)四人涉嫌被拘審,四人的口供如下:甲:作案的是丙;乙:丁是作案者;丙:如果我作案,那么丁是主犯;丁:作案的不是我.如果四人口供中只有一 個(gè)是假的,那么以下判斷正確的是( )(A)說假話的是甲,作案的是乙 (B)說假話的是丁,作 案的是丙和丁(C)說假話的是乙,作案的是丙 (D)說假話的是丙,作案的是丙3.(2009年上海交通大學(xué)保送生考試試題)某珠寶店丟失了一件珍貴珠寶,以下四人只有一人說真話,只有一人偷了珠寶.甲:我沒有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我沒有偷.則說真話的是 ,偷珠寶的是 .4.(2007 年武漢大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題

12、)運(yùn)動(dòng)會(huì)上,甲、乙、丙三名同學(xué)各獲得一枚獎(jiǎng)牌,其中 1 人得金牌、1人得銀牌、1人得銅牌.王老師曾猜測(cè)“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得銅牌”,結(jié)果王老師只猜對(duì)了一人,那么,甲、乙、丙分別獲得 牌.5.(2005年第十六屆希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,其中有一人獲獎(jiǎng),有人走訪了四位同學(xué),甲說:“我獲獎(jiǎng)”;乙說:“甲、丙未獲獎(jiǎng)”;丙說:“甲或乙獲獎(jiǎng)”;丁說:“乙獲獎(jiǎng)”.四位同學(xué)的話恰有兩句是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的同學(xué)是 .6.(2006年第十七屆希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)某學(xué)校組織學(xué)生參觀 a,b,c,d四處,規(guī)定:去 a就不去 b;去 b就去 d;去 c就不去 d;不去 c就去 b

13、.則下列判斷中,錯(cuò)誤的是( )(A)不可能去 b又去 c (B)去 b的人與去 c的人相同 (C)去 a的人就去 c (D)去 d的人就去 a7.(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽試題)某次英語競(jìng)賽后,小明、小樂和小強(qiáng)分列前三名.老師猜測(cè):“小14明第一名,小樂不是第一名,小強(qiáng)不是第三名”.結(jié)果老師只猜對(duì)了一個(gè).由此推斷:前三名依次是 .8.(2006年第十七屆希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)四個(gè)學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽每人預(yù)測(cè)獲獎(jiǎng)情況如下:甲:如果乙獲獎(jiǎng),那么我就沒獲獎(jiǎng);乙:甲沒有獲獎(jiǎng),丁也沒有獲獎(jiǎng);丙:甲獲獎(jiǎng)或者乙獲獎(jiǎng);丁:如果丙沒有獲獎(jiǎng),那么乙獲獎(jiǎng).競(jìng)賽結(jié)果實(shí)際有 1人獲獎(jiǎng),且 4個(gè)的預(yù)測(cè)中恰有 3

14、人正確,則獲獎(jiǎng)?wù)呤?.9.(2016 年高考全國甲卷試題)有三張卡片,分別寫有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是 5”,則甲的卡片上的數(shù)字是 .若干練習(xí):1.解:若 a2,則 b2,c=0,矛盾;若 b=2,則 a=2,c=0,矛盾;若 c0,則 a=2,b2 c=1,b=0100a+10b+c=201.2.解:若說假話的是甲,則由乙:丁是作案者與丁:作案的不是我,矛盾;若說假話的是乙,則由甲:作案的是丙;又由丙:

15、如果我作案,那么丁是主犯;與丁:作案的不是我,矛盾;若說假話的是丙,則由乙:丁是作案 者與丁:作案的不是我,矛盾;若說假話的是丁,則丁是作案者,由甲:作案的是丙 作案的是丙和丁,由丁是主犯.故選(B).3.解:若甲說真話,則由丁:“我沒有偷”說假話 丁是小偷 丙:“丁是小偷”說真話,矛盾;若乙說真話,則丙是小偷 丁:“我沒有偷”說真話,矛盾;若丙說真話,則丁是小偷 甲:“我沒有偷”說真話,矛盾;若丁說真話,則甲:“我沒有偷” 說假話 甲是小偷.4.解:若“甲得金牌”對(duì) “乙不得金牌”也對(duì),與大前提“王老師只猜對(duì)了一人”,矛盾;若“乙不得金牌”對(duì),則由大前提知:“甲得金牌”與“丙不得銅牌”均錯(cuò)

16、甲不得金牌,丙得銅牌,則無人金牌,矛盾;若“丙不得銅牌”對(duì),則由大前提知:“甲得金牌”與“乙不得金牌”均錯(cuò) 甲不得金牌,乙得金牌 甲 得銅牌,乙得金牌,丙得銀牌.5.解:若甲說:“我獲獎(jiǎng)”對(duì) 乙、丁錯(cuò),丙對(duì),符合題意;若乙說:“甲、丙未獲獎(jiǎng)”對(duì) 甲錯(cuò),此時(shí)丙與丁等價(jià),無論同真假均與大前提矛盾;若丙說:“甲或乙獲獎(jiǎng)”對(duì),若乙獲獎(jiǎng) 乙、丁對(duì),與大前提矛盾;若丁說:“乙獲獎(jiǎng)”對(duì) 乙、丙對(duì),與大前提矛盾.6.解:由“不去 c就去 b”知:b,c至少去其一.去 b,不去 c 去 d,不去 a;(D)錯(cuò);去 c,不去 b 不去 d,去 a;(C)對(duì);去 b,c 去 d,不去 a;(A)對(duì).故選(D).7.

17、解:答小樂、小強(qiáng)、小明;8.解:如果獲獎(jiǎng)?wù)呤羌?則甲、丙正確,乙、丁錯(cuò),不合實(shí)際; 如果獲獎(jiǎng)?wù)呤且?則甲、乙、丙、丁都正確,不合實(shí)際;如果獲獎(jiǎng)?wù)呤潜?則甲、乙、丁正確,丙錯(cuò),合實(shí)際;如果獲獎(jiǎng)?wù)呤嵌?則甲正確,乙、丙、丁錯(cuò),不合實(shí)際.故獲獎(jiǎng)?wù)呤潜?9.解:根據(jù)甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2,知甲和乙可能是 1和 2,1和 3,或者 1和 3,2和 3;乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1,知乙與丙可能是 1和 2,2和 3,或者 1和 3,2和 3;由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是 5,知丙的卡片為 1和 2,或 1和 3;若丙為 1和 3,則乙的卡片是 2和 3,甲的卡片是 1和 3,不符題意;若丙

18、為 1和 2,則乙的卡片是 2和 3,甲的卡片是 1和 3,滿足條件.答案為 1和 3.154.事不過三，終成難題長(zhǎng)方體中的多次反射問題這題一看條件就知道來者不善，經(jīng)過三次反射，最后研究的問題是外接球半徑，看來這三次反射是攔路虎，不把它研究透，那三個(gè)點(diǎn) MNQ 就無法確定位置?！綥V3】四川資陽 文龍 2020/3/30 16:32:42這和“將軍飲馬”一樣16【LV4】河北正中張書彬 2020/3/30 22:07:38以下兩個(gè)圖是河南鄭州劉登成老師的解法172 個(gè)相關(guān)題【2014 江西高考理第 10 題】如右圖，在長(zhǎng)方體ABCD - A B C D 中， AB =11， AD =7，1 1

19、 1 1AA =12，一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn) A 射向點(diǎn) E(4，3，12)，遇長(zhǎng)方體的面反射（反射服從光的反射原理），1將 i -1次到第i 次反射點(diǎn)之間的線段記為 ( 2,3, 4)L i = ，iL = AE ，將線段1L L L L 豎1, 2 , 3, 4直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（ ）C1819文獻(xiàn)中提到的問題，我在思考上面那個(gè)三次反射的題目時(shí)也思考過：有這樣一個(gè)結(jié)論：如果兩個(gè)鏡子垂直，那么光線經(jīng)過兩次反射后，最后的反射光線與最初的20入射光線平行。但是要注意，入射光線跟兩面交線垂直時(shí)才會(huì)出現(xiàn)平行的情況，也就是上圖中紅點(diǎn)代表的直線。這時(shí)入射光線和反射光線才是平行（共面）的。否則二者

20、就是不平行的。關(guān)于這個(gè)可以看下黎任老師做的動(dòng)態(tài)展示，超鏈接可用：【LV3】廣東湛江黎仁 0:00:35示，這是地址，打開可以看，可以用手轉(zhuǎn)動(dòng)方向觀看215.給定條件求角的范圍解法類似題22236.平口單峰一座神奇的峰最近我在補(bǔ)課，就是在補(bǔ)這幾年在數(shù)學(xué)解題上落下的課。發(fā)現(xiàn)這幾年，有幾個(gè)很不錯(cuò)的解題技術(shù)出現(xiàn)，其中一個(gè)就是“平口單峰”。這是野豬老師（重慶南開中學(xué)）提出的一個(gè)解題方法，可以迅速解決一類很。（你能想到的各種不可言喻狀態(tài)）的最值問題。作為老師，是有義務(wù)研究解題技術(shù)的，不能“因?yàn)殡y所以難”，而是應(yīng)該盡量把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的解決，簡(jiǎn)單化講解，要給學(xué)生工具，能在考場(chǎng)上快速解題，完美拿分。從這個(gè)角度

21、來說，我是贊成“秒殺”這個(gè)說法的，這至少應(yīng)該是數(shù)學(xué)老師的追求，當(dāng)然作為商業(yè)噱頭那是另外一回事。難道作為老師的你不應(yīng)該追求“化繁為簡(jiǎn)”嗎？回到正題上。野豬對(duì)這個(gè)方法進(jìn)行了比較詳細(xì)的說明，在網(wǎng)上都能搜到，如果你是第一次聽到這個(gè)方法，可以去看原貼：417a4752b7655a6514b855836a&chksm=cfd21c33f8a59525bf1925d30d665829b7bc70095448a2d18b7c10d51b3682ec139659f7961d&mpshare=1&scene=23&srcid=03312nBbwH4ox7MyDSvk20Yj&sharer_sharetime=15

22、85656342979&sharer_shareid=46ca201dec54461a1330012ad82c14ae#rd這里只貼一道本周我看到的題。這題能傳開，說明還有人不會(huì)用“平口單峰”大法，包括我，我也在學(xué)習(xí)中。這個(gè)題的解決，是費(fèi)了番周折的，好在我認(rèn)識(shí)野豬多年了！專門向他請(qǐng)教了一下下。其實(shí)他也沒給我真?zhèn)魇裁?，我就是在他的指引下把那個(gè)帖子里的例題好好研究了研究。題目：24本題如果用“平口單峰”原理來解，需要構(gòu)造一下，使之滿足“平口單峰”這個(gè)特征，具體來說，就是極大值等于端點(diǎn)值：257.變中有定四面體的截面問題26這個(gè)題我搜了下，貌似是 2014 年溫州的模擬題。命題說的是一件事，在立體

23、幾何里有這么一條公里：如果三個(gè)平面交于三條直線，那么這三條直線必互相平行或交于一點(diǎn)。具體解答：當(dāng)把截面 ECD 做出來后，三棱錐 A-BCD 就被分為了 2 個(gè)三棱錐，A-ECD，E-BCD，這兩個(gè)三棱錐體積是相等的，都是三棱錐 A-BCD 的一半，1V - =V - -V - +V - =V - = V -AC EGFH A ECD D EFH C EFG A ECD A BCD2 類似題278.抽絲剝繭，層層轉(zhuǎn)化抽象函數(shù)的零點(diǎn)題目來自 3 月 31 日的南京二模壓軸填空函數(shù) f (x) 是單峰函數(shù)，所以 f (x) 最多有 2 個(gè)零點(diǎn)，1所以函數(shù)g(x) = f ( f (x) - ) 恰

24、有四個(gè)零點(diǎn)的時(shí)候，說明 f (x) 恰好有 2 個(gè)零點(diǎn)（一生二則2 才有二生四），此時(shí)b 1；28畫出 f (x) 的草圖如上，一個(gè)零點(diǎn)為負(fù)，另一個(gè)為正，設(shè)為 1, 2x x ，x 0，則要使方程1f x - = x 有 2 個(gè)根，則直線( )221y=x + 必與函數(shù) f (x) 有兩個(gè)22公共點(diǎn)，這是顯然滿足的； 對(duì)于x11x 1-b ，即b - x ，1 12 21y=x + 與函數(shù) f (x) 有兩個(gè)12f (x ) = ex - x -b=0，則現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為在這 3 個(gè)條件下求b 的范圍：11 1 x - x -be =011 -1b x 12 b 0)a b2 2焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的

25、軌跡及其方程：利用幾何畫板，先畫出它的軌跡，再求它的方程 利用參數(shù)方程，繪制橢圓C ：xy=acosqbsinq 繪制點(diǎn) P(acosq ,bsinq)，并且作出焦點(diǎn)三角形F1PF ，如圖（1）2 作出F1PF 和2PF1F 角平分線，設(shè)交點(diǎn)為 I，如圖（2）2 使點(diǎn) P 在橢圓上運(yùn)動(dòng)，觀察點(diǎn) I 的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖（3）圖（1） 圖（2） 圖（3） 下面求它的軌跡方程：解：如圖（4），設(shè)點(diǎn) P( )x0 , y ，內(nèi)心 I 為(x, y)，焦點(diǎn)0F1 -c 、F c ，( 2 r,0 ,0) PF = ，PF = ，則) 1 r(2 1 2r1- r =2ex 2 0過內(nèi)心 I 作 ID、IE

26、、IF垂直F 、 、 于點(diǎn) D、E、F 1F F P PF2 1 2 點(diǎn) I 是 F1F P 的內(nèi)心，點(diǎn) D、E、F 是內(nèi)切圓的切點(diǎn)， 圖（4）2 由切線長(zhǎng)定理，得方程組：PEPFF D1+F E1F F2F D2=r1r22c，結(jié)合r - = ，解得：1 r 2ex2 0F = + 1D c ex0x而 F1D = c + x ， x = ex0 ，既 0 x =e 1又 F1F P 面積 S = c y0 ， S F F PF PFF ) y (a c) y= ，( 1 + + = + 2 2 1240c = (a + c) y ，既y0a + cy = y0c x y2 2將代入 1(

27、0)0 + 0 = a b a b2 2x y2 2，得 + = 1c b c2 2 2(a + c)2x y2 2可知，橢圓 + = 1(a b 0)a b2 2焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡是一個(gè)橢圓，它的離心率是2e1+ ex y2 2二、橢圓： + = 1(a b 0)a b2 2焦點(diǎn)三角形重心的軌跡及其方程：x y2 2橢圓： + = 1(a b 0)a b2 2焦點(diǎn)三角形重心的軌跡仍 x y是一個(gè)橢圓，如圖（5），它的離心率與 1( 0) a b2 2+ = a b 的離2 29x 9y2 2心率相同，方程為 + = 1(a b 0)解法略去 圖（5）a b2 2x y2 2三、橢圓： +

28、= 1(a b 0)a b2 2焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡及其方程：我們還是利用幾何畫板，先畫出它的軌跡，再求它的方程如圖(6)它的軌跡是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩條拋物線嗎？我們通過它的方程來回答這個(gè)問題圖(6)解：如圖（7），設(shè) 點(diǎn) P(x , y ) ，垂心 H 為(x, y)，0 0焦 點(diǎn) 1 ( c ,0) F (c ,0)F - 、 ， 則 1H (x c, y)F = + ， 2PF2 = c - x -y ( , )0 0 F1H PF2 ，(x + c, y)y0 ) =0 圖（7）41又 x = x ，0 c2 - x2 -yy0 = 0.而x y2 202 02 1( 0)+ = a b

29、 ，a bb b2 2y a x a x0 2 ( 0 ) 2 ( )2 = 2 - 2 = 2 - 2 .a a將式代入式，整理得： y= a(c - x )2 2b a - x2 2由方程可以看出，橢圓焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡不是兩條拋物線，它與哪些初等函數(shù)圖象有關(guān)？請(qǐng)大家思考x y2 2四、橢圓： + = 1(a b 0)a b2 2焦點(diǎn)三角形的外心的軌跡及其方程x y2 2由于 y 軸是橢圓 + = 1(a b 0) 焦點(diǎn)三角形的一條邊的中垂線，所以，a b2 2可以判斷出外心的軌跡是 y 軸或 y 軸的一部分，利用幾何畫板畫出的軌跡圖形可以說明這一點(diǎn)，如圖（8）下面求焦點(diǎn)三角形外心 W

30、的運(yùn)動(dòng)范圍解：設(shè)點(diǎn) P (acosq ,bsinq)，外心W 為 (0, y) ，焦點(diǎn)F1 -c 、F c ( ,0) ( ,0)2由WP = WF ，得：c2 + y2 = (acosq)2 + (y -bsinq)2 圖（8）2整理，得：y2 2-b cb c2 sinq| y |）= - （2 sin 2b q 2bx y2 2可知，橢圓： + = 1(a b 0)a b2 2焦點(diǎn)三角形的外心的軌跡或者是 y 軸，或者是 y 軸上的兩條射線42x y2 2焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心軌跡： + = 1c b c2 2 2(a + c)29 9yx .2 2焦點(diǎn)三角形的重心軌跡： + = 1(a b

31、0)a b2 21計(jì)算可知，當(dāng)e = ， 1e = 的時(shí)，兩個(gè)軌跡方超的 x，y 分別相等。3 2 幾何畫板驗(yàn)證如下：（藍(lán)色為重心軌跡，白色為內(nèi)心軌跡，均取一半）4315.所有的已知條件都要用上？一道三角形周長(zhǎng)取值范圍問題一般來說，一個(gè)正常的（科學(xué)的）數(shù)學(xué)題，是不存在多余的條件的，當(dāng)然，也應(yīng)該是不缺少條件的（否則問題可能變?yōu)殚_放性的）。也就是說，在解題過程中，所有的條件都要用到，如果沒全用到，那么得到的解答可能就是錯(cuò)的。這也在提示我們，解題的時(shí)候，如果遇到障礙，沒有思路，就要把所有條件都重新審視一遍，看看哪個(gè)條件還沒用到，或者說使用的不充分，沒有意識(shí)到所謂“隱含條件”。下面這個(gè)例子，能說明此道

32、理。這個(gè)題的解法不唯一，下面是另解。44b a這個(gè)條件等式： 4 cosC+ = ，得到的結(jié)論是 2 個(gè)，a b 三邊的數(shù)量關(guān)系， a2 + b2 = 2c2 ，C 是銳角。在求周長(zhǎng)時(shí)兩個(gè)約束條件都要用到，如果忽略“C 是銳角”這個(gè)約束條件就容易導(dǎo)致錯(cuò)解，如下：容易知道的是 a2 + b2 c2 和 a +b c 是不等價(jià)的，所以左邊從 4 開始算的話是擴(kuò)大了范圍。按 a +b c 去算 a +b 的取值范圍，是沒考慮銳角這個(gè)約束條件。45為了讓讀者更清晰，看下面四道題，條件各異，結(jié)論不同：b a經(jīng)過我搜索發(fā)現(xiàn)，把 + = 4cosC這個(gè)結(jié)構(gòu)作為已知的類似題不少，有的題目實(shí)際上僅用a b 到了

33、數(shù)量關(guān)系那個(gè)結(jié)論，如下面這個(gè)：不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)題的解決過程中，既沒有用到“銳角三角形”這個(gè)直接條件也沒用到“C是銳角”這個(gè)隱含條件。所以在已知條件中“銳角三角形”這個(gè)條件是可以刪去的。類似題46（條件中的“銳角”也是可以刪去的）就像前面說的，如果對(duì)已知條件使用的不充分就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解，我翻了翻電腦里關(guān)于錯(cuò)解的文獻(xiàn)，找到一個(gè)例題來佐證：474816.這不是極值點(diǎn)偏移問題雙變量不等式49這個(gè)題與對(duì)數(shù)均值不等式是有關(guān)系的。下面有一道類似題。解法類似，直接使用了對(duì)數(shù)均值不等式。這個(gè)解法我覺得更易于理解，上面那種構(gòu)造 m(x)的解法，是分析法來的。為方便讀者，這里附帶對(duì)數(shù)不等式的證明。50a -b已知 a,b

34、為兩不等的正實(shí)數(shù)，我們稱 為 a,b 的“對(duì)數(shù)平均數(shù)”它與 a,b 的“幾ln a - lnba + a -b a + bb何平均數(shù) ab ”及“算術(shù)平均數(shù) ab b 0先證ab a -bln a -ln ba ，設(shè) f (t) 2lnt t 1(t 1) 令 t(t 1) = - + ，b t2 1 - (t +1)2則 f ( = - - 0 ，所以 f (t)在 (1,+) 遞減，而 f (1) = 0，因t) 2 = 1時(shí)， f (t) 2lnt t 1 0 a -= - + 恒成立，即ln 成立a bt b b a再證a2( -1) ba -b a +ba，即證 ，ln ，g( )

35、ln 2( 1) ( 1)a t -令 t(t 1) t = t - t b t +1，1 4 (t -1)2則 g = - = 0 ，所以g(t) 在 (1,+) 遞增，而g(1) = 0 ，因(t) 2 t (t +1) t(t +1)2此當(dāng)t 1時(shí)，ln 2( 1) 0t - t +1t -恒成立，即 a -b a +bln a -lnb 2成立17.兩條切線互相垂直求參數(shù)范圍51下面的分類討論亦可搜題軟件這個(gè)解法，稍微復(fù)雜了些5253而下面這個(gè)韋達(dá)定理的解法，開始我覺得有一點(diǎn)問題，邏輯上首先應(yīng)該保證有解，也就是判別式。但實(shí)際上，因?yàn)樗玫氖莾筛?，已?jīng)包含了判別式在里頭，所以邏輯上就

36、沒問題了。我搜了一下，順便把“兩條切線互相垂直”這類題的相關(guān)資料都貼到這里。54曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究x例題 1（2013 天津預(yù)賽 5）如果曲線 y = 2sin 的兩條互相垂直的切線交于點(diǎn) P，則 P2點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（ ）(A) (p，p ) (B) (3p,-p ) (C) (5p,-p ) (D) (7p,-p )x x x解析 設(shè)曲線 y = 2sin 在點(diǎn) A x 1 B x 2 的切線交于點(diǎn) P，那么由題意可( , 2sin ), ( , 2sin )1 22 2 2知：x xx x = - .k1k2 = -1，其中 1 2k1 = cos ,k2 = co

37、s ；即有 cos 1 cos 2 12 2 2 2x x x xx x = 時(shí)， 又 -1 cos 1 1,-1 cos 2 1，則有 -1 cos 1 cos 2 1，當(dāng)且僅當(dāng) cos 1 cos 2 12 2 2 2 2 2等號(hào)成立.x = 2kpx = - x = 時(shí)， x x = - ，即可知因此，當(dāng) cos 1 cos 2 1 cos cos 1 = +1 212 2 x 2(k 1)2 2 p 22.x + xp k + p那么 x 1 2 (2k 1)p y = = -= = + ， sin (2 1)p ( 1)kP P2 2 . 故可知(C)錯(cuò).評(píng)注 此題或先求出(p，p

38、)和(-p，-p )兩個(gè)交點(diǎn)，再利用周期為 4p ，同樣得解.例題 2（2013 山東預(yù)賽 10）假設(shè)實(shí)數(shù) b，c 滿足 b2 + c2 =1，且f(x)=ax +b sinx c+ cos x的圖象上存在兩條切線互相垂直，則 a 的取值范圍是 解析 f (x) = ax + bsin x + ccosx = ax + b2 + c2 sin(x +j) = ax + sin(x +j) ；設(shè)圖象上兩條切線在曲線上的切點(diǎn)分別為A x y B x y ，則有 k k = f (x ) f (x ) = - . 即：( , ), ( , ) 1 2 1 2 11 1 2 2a + cos(x +j

39、)a + cos(x +j)= -1 1 2在中，令 t = cos(x +j), (i =1, 2) ，展開后有 a2 + a t + t + t t + = ，由 a R 可知( ) 1 0 i i 1 2 1 2D 0 ，又D = + 2 - + = - 2 - (t t ) 4(t t 1) (t t ) 41 2 1 2 1 2在中，由于 t -1,1 ，那么it - t ，即 D = (t - t )2 - 4 0 ，因此由可知1 2 21 255D = ， t1 = -t2 = 1，代入到中解得 a = 0 .0綜上可知：a 的取值范圍是 a = 0 .評(píng)注 此題可溯源到如下例題

40、：例題 3 已知函數(shù) f (x) = x3 ，t( I ) 記j( ) = ( ) + ( )( ) ，求j(x) 的極小值；x f x f x t R3f (x)(II) 若函數(shù) h(x) = l + sin x 的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實(shí)數(shù) l 的值及相x應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo).(II)解析 h( x)= l3 x+ s i n，那么 h(x) = 3l + cos x ，設(shè)切點(diǎn)分別為( , ( )( 1, 2.)t h t i =i i由題意知 h (t )h (t ) = - ，即有( )( ) 1 3l + cost 3l + cost = -1 ，展開得到1 2 1 29l + 3(cost + cost )l + (cost cost +1) = 0 ，21 2 1 2在中，由 l R 可知， D = + 2 - + ，即(cost - cost )2 4 .9(cost cost ) 36(cost cost 1) 01 2 1 2 1 2又cost - cost 2 ，則 D = 0, cost = -cost = 1, 代入得 l = 0 . 并且切點(diǎn)坐標(biāo)為1 2 1