線性代數(shù)§6.3

1、 在上一節(jié)中，數(shù)域在上一節(jié)中，數(shù)域F上的任一二次型，都可經(jīng)過(guò)上的任一二次型，都可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。但標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。但標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。問(wèn)題：能否找到有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)形的不變量？問(wèn)題：能否找到有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)形的不變量？一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過(guò)正交變換化為標(biāo)一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過(guò)拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，準(zhǔn)形，也可以通過(guò)拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩下面我們限定所用的變換為

2、下面我們限定所用的變換為實(shí)變換實(shí)變換，來(lái)研究，來(lái)研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)定理定理：（慣性定理）：（慣性定理）對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè) n 元二次型元二次型，Tx Ax不論做怎樣的可逆變換使之化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中正平不論做怎樣的可逆變換使之化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)p和負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)q都是唯一確定的。都是唯一確定的?；蛘哒f(shuō)，對(duì)于一個(gè)或者說(shuō)，對(duì)于一個(gè) n 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A，不論取怎樣，不論取怎樣的可逆矩陣的可逆矩陣C，只要使，只要使1100ppTp qdddC ACd0(1,2,),idipqpqn成立，則成立，則 p 和和 q 是由是由

3、A唯一確定的唯一確定的.證明：設(shè)證明：設(shè) 中的正數(shù)個(gè)數(shù)為中的正數(shù)個(gè)數(shù)為p，而，而 中中的正數(shù)個(gè)數(shù)為的正數(shù)個(gè)數(shù)為q，則，則p=q.用反證法：由用反證法：由 故有故有即即 設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型 它的秩為它的秩為 ，有兩個(gè)實(shí)的，有兩個(gè)實(shí)的可逆變換可逆變換 及及 使使及及 則則 中正中正數(shù)與數(shù)與 中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等。中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等。 Tfx Ax rxP y 1xP z 2 rrifk yk yk yk22211220 rrifzzz22211220,kkr1,r 1,kkr1,r 1,xp y xp z 12p yp z 12即即 且且 zpp y 121pppprrqqqqrrk yk yky

4、kyk yzzzzz 2222211221122222112211設(shè)設(shè)nnnnnnllllllpplll 111212122212112（*）故有故有qqqqppnnqqqqqqqqqqppqnnqqqqqqqqqqppqnnnnnnqqzlylylylylylyzlylylylylylyzlylylylylylyzlylyly 11111221111111122111111221111111122nqqnppnnnlylyly 11（1）考慮方程組考慮方程組nnqqqnnpnlylylylylylyyy 1111221112210000即即qzzz 120（2）由方程組（由方程組（2）含有）

5、含有n個(gè)未知量，而含有個(gè)未知量，而含有q+(n-p)=n-(p-q)q 不正確，從而我們有：不正確，從而我們有： pq 同理可證：同理可證： 所以所以 qp pq 由定理知：由定理知：1）在實(shí)可逆變換下，二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的）在實(shí)可逆變換下，二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)數(shù)是確定的常數(shù)，不因變換的改變而改變，正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)數(shù)是確定的常數(shù)，不因變換的改變而改變，正、負(fù)項(xiàng)數(shù)之和為正、負(fù)項(xiàng)數(shù)之和為()r Ar 2）在實(shí)可逆變換下，若正、負(fù)項(xiàng)之和為）在實(shí)可逆變換下，若正、負(fù)項(xiàng)之和為 ，則，則A的特征值中的特征值中0特征值的個(gè)數(shù)為特征值的個(gè)數(shù)為 個(gè)。個(gè)。()r Ar ()nr Anr 定義：定義：二次型二次型Tx

6、Ax的標(biāo)準(zhǔn)形中，正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形中，正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)（即與（即與A合同的對(duì)角陣中正對(duì)角元的個(gè)數(shù)），稱為二合同的對(duì)角陣中正對(duì)角元的個(gè)數(shù)），稱為二次型（或次型（或A）的）的正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)（即與負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)（即與A合同的對(duì)角陣中負(fù)對(duì)角元的個(gè)數(shù)），稱為二次型（或合同的對(duì)角陣中負(fù)對(duì)角元的個(gè)數(shù)），稱為二次型（或A）的）的負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù)；正、負(fù)慣性指數(shù)的差稱為；正、負(fù)慣性指數(shù)的差稱為符號(hào)差符號(hào)差；正、負(fù)慣性指數(shù)的和為矩陣正、負(fù)慣性指數(shù)的和為矩陣A的秩，也是二次型的秩的秩，也是二次型的秩. 設(shè)設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為的秩為r，正慣性指數(shù)為，正慣性指數(shù)為p，則負(fù)，則

7、負(fù)慣性指數(shù)為慣性指數(shù)為qrp，與，與A合同的對(duì)角陣的零對(duì)角元的合同的對(duì)角陣的零對(duì)角元的個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為nr. 有定義和定理知，二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)有定義和定理知，二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)以及符號(hào)差是惟一的。以及符號(hào)差是惟一的。從這里知道，要求二次型的秩，有兩種方法：從這里知道，要求二次型的秩，有兩種方法：（1）求二次型對(duì)應(yīng)的矩陣的秩；）求二次型對(duì)應(yīng)的矩陣的秩；（2）將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形）將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形(用可逆變換用可逆變換)，標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)形中的項(xiàng)數(shù)即為二次型的秩形中的項(xiàng)數(shù)即為二次型的秩.例例1：求二次型求二次型(,)()()()f x xxxxxxxx222123122331的秩的秩.解：解：(,

8、)()()()f x xxxxxxxx222123122331xxxx xx xx x222123122313222222f 對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)應(yīng)的矩陣為211121112A 下面求矩陣下面求矩陣A的秩，的秩， 因?yàn)橐驗(yàn)?13012即即A中有一個(gè)非零中有一個(gè)非零2階子式階子式且且|A|=0,所以所以r(A)=2,從而二次型的秩為從而二次型的秩為2.也可用初等變換的方法求也可用初等變換的方法求A的秩的秩另解：另解：(,)()()()f x xxxxxxxx222123122331xxxx xx xx x222123122313222222()xx xx xxxx x2221121323232222(

9、)xxxxxx xxxx x 2222212323232323111122222222222123232311332()32222xxxxxx x 22123231132()()222xxxxx 即做可逆線性變換即做可逆線性變換1123223331122yxxxyxxyx即即11232233312xyyyxyyxy得到的標(biāo)準(zhǔn)形中只有兩項(xiàng)，所以秩為得到的標(biāo)準(zhǔn)形中只有兩項(xiàng)，所以秩為2.推論：推論：設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若階實(shí)對(duì)稱矩陣，若A的正、負(fù)慣性指數(shù)的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為分別為 p 和和 q，則，則(1,1, 1, 1,0,0)Adiag其中有其中有 p 個(gè)個(gè) 1，q 個(gè)個(gè) 1，n（pq）

10、個(gè)）個(gè) 0.或者說(shuō)：對(duì)于二次型或者說(shuō)：對(duì)于二次型Tx Ax,存在坐標(biāo)變換存在坐標(biāo)變換xCy，使得，使得222211ppp qAyyyyTxx =事實(shí)上：任一二次型事實(shí)上：任一二次型( ,)TTTTf x x xx Axy p Apyyy 123其中其中(, )pprdiag kkkk 1100取取(, )prpQdiagkkkk 11111111則則(,)TTTTTTTpprf x xxx Axy p Apyyyz QQzz Dzzzzz 123222211其中其中TQQ 111100定義：定義：若若222211Tppp qx Ax = yyyy則稱二次型則稱二次型222211ppp qyyy

11、y為二次型為二次型ATxx的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范形的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范形, 稱對(duì)角矩陣稱對(duì)角矩陣(1,1, 1, 1,0,0)diag為矩陣為矩陣A的合同規(guī)范形的合同規(guī)范形.(1)兩個(gè)兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A與與B合同合同A和和B有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù).(2)全體全體n階實(shí)對(duì)稱矩陣，按其合同規(guī)范形分類，共有階實(shí)對(duì)稱矩陣，按其合同規(guī)范形分類，共有(1)2n n 類（不考慮類（不考慮1，1，0的排列次序的排列次序).等價(jià)（相抵）變換等價(jià)（相抵）變換保秩。保秩。相似變換相似變換保秩，保特征值，保行列式。保秩，保特征值，保行列式。合同變換合同變換保秩，保正、負(fù)慣性指數(shù)，保秩，保

12、正、負(fù)慣性指數(shù)， 保對(duì)稱性，保正定性。保對(duì)稱性，保正定性。例例2 設(shè)設(shè)A 是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，其對(duì)應(yīng)的二次型的正、負(fù)是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，其對(duì)應(yīng)的二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)均為慣性指數(shù)均為1，且滿足，且滿足 計(jì)算計(jì)算| |AIAI 0|AI 32解：解：由題設(shè)知，二次型的符號(hào)差為零，且由題設(shè)知，二次型的符號(hào)差為零，且, 1211都是二次型矩陣都是二次型矩陣A的單特征值，故二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：的單特征值，故二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：fyyy2221230所以所以 是其另一個(gè)特征值，是其另一個(gè)特征值， 30 又又 的特征值為的特征值為 ： 即為即為32AI 321,2,3ii 2, 1,5 所以所以 |32 |2 (

13、 1) 510AI 例例3 求二次型求二次型 的慣性指數(shù)。的慣性指數(shù)。(,)f x xxxx x21231232解：作變換解：作變換|xyxyyxcycxyy 112233230所以所以 故二次型的正、負(fù)慣性指故二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為數(shù)分別為2，1 fyyy2221232將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形, 可以用可以用正交變換法正交變換法, 也也可以用可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法, 或者或者其它方法其它方法, 這取決于問(wèn)題這取決于問(wèn)題的要求的要求. 如果要求找出一個(gè)正交矩陣如果要求找出一個(gè)正交矩陣, 無(wú)疑應(yīng)使用正交無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法變換法; 如果只需要找出一個(gè)可逆的線

14、性變換如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換, 那么各那么各種方法都可以使用種方法都可以使用. 正交變換法的好處是有固定的步正交變換法的好處是有固定的步驟驟, 可以按部就班一步一步地求解可以按部就班一步一步地求解, 但計(jì)算量通常較大但計(jì)算量通常較大; 如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少, 使用拉格朗日配方法反使用拉格朗日配方法反而比較簡(jiǎn)單而比較簡(jiǎn)單. 需要注意的是需要注意的是, 使用不同的方法使用不同的方法, 所得到所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同, 但但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相同同, 項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩. f = x1x2 + x1x3 + x2x3化二次型化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求所用的線性變換矩陣并求所用的線性變換矩陣. 33212211yxyyxyyx由于所給二次型不含平方項(xiàng)由于所給