新2將軍飲馬問(wèn)題

1、將軍飲馬與最短路線問(wèn)題將軍飲馬與最短路線問(wèn)題河南三門(mén)峽靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)河南三門(mén)峽靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王婭婭王婭婭 我們每個(gè)人都有一對(duì)隱形的翅膀，我們每個(gè)人都有一對(duì)隱形的翅膀， 只要你愿意，只要肯努力，只要不放棄，只要你愿意，只要肯努力，只要不放棄，你一定能張開(kāi)翅膀在知識(shí)的天空中自由翱翔！你一定能張開(kāi)翅膀在知識(shí)的天空中自由翱翔！將軍飲馬問(wèn)題：將軍飲馬問(wèn)題：在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的

2、問(wèn)題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？情境導(dǎo)入情境導(dǎo)入將軍飲馬與最短路線問(wèn)題將軍飲馬與最短路線問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)靈活利用將軍飲馬數(shù)學(xué)模型解決有關(guān)最短路線問(wèn)題。P兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短. 根據(jù)：根據(jù)：BA兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例例1.1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問(wèn)將軍怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。問(wèn)將軍怎樣走路程最短？ 最短路

3、線：最短路線：A -P- B.自主探究自主探究1 1自悟自得：自悟自得： 當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，連接兩點(diǎn)的當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，連接兩點(diǎn)的線段與已知直線的交點(diǎn)即為所求。線段與已知直線的交點(diǎn)即為所求。 例例2.2.如圖：一位將軍騎馬從城堡如圖：一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途，途中馬要到河邊飲水一次，問(wèn)：這位將軍怎樣走中馬要到河邊飲水一次，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？路程最短？ AB河河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)自主探究自主探究2 2 MNBA已知：直線MN和直線MN外同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：MN上一點(diǎn)C，使CA+CB最小。兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)BABC作法：作

4、法：（1）作點(diǎn)）作點(diǎn)B關(guān)于直線關(guān)于直線 MN 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) B（2）連結(jié)）連結(jié)BA，交，交MN于點(diǎn)于點(diǎn) C； 點(diǎn)點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)就是所求的點(diǎn)MN兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)方法總結(jié)：方法總結(jié)：1 1、題型：一線兩定一動(dòng)。、題型：一線兩定一動(dòng)。2 2、方法：、方法：一次軸對(duì)稱。一次軸對(duì)稱。3、依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。、依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。4、思想：轉(zhuǎn)化，將兩折化直。、思想：轉(zhuǎn)化，將兩折化直。 已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、ACAC上的點(diǎn)，上的點(diǎn)， 你能在你能在BCBC上確定一點(diǎn)上確定一點(diǎn)R R，使，使PQRPQR的周長(zhǎng)最短嗎？的周長(zhǎng)最短嗎？我學(xué)我

5、用 （2010甘肅）如圖菱形如圖菱形ABCDABCD中，中，AB=2,AB=2,BAD=60BAD=60度，點(diǎn)度，點(diǎn)P P是對(duì)角線是對(duì)角線ACAC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E E是是BCBC的的中點(diǎn)，則中點(diǎn)，則PBEPBE周長(zhǎng)的最小值周長(zhǎng)的最小值 。PDEABC變式：利用菱形的對(duì)稱性求線段和的最小值例例3.3.如圖：一位將軍騎馬從如圖：一位將軍騎馬從駐地駐地A A出發(fā)，先牽馬去出發(fā)，先牽馬去草地草地 OMOM吃草，再牽馬去吃草，再牽馬去河邊河邊ONON喝水，喝水， 最后回到駐地最后回到駐地A A，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？草地草地河邊河邊.駐地駐地AOMN一

6、點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部合作探究合作探究3 3.AA.C例例3已知如圖已知如圖 和和 內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn) ,M O NM O NABA.MON一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部求作求作:OM上一點(diǎn)上一點(diǎn)B, ON上一點(diǎn)上一點(diǎn)C, 使使AB+BC+AC最小最小作法：作法：（1 1）作點(diǎn)）作點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于OMOM、 ON ON的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)AA、A”A”（2 2）連接）連接AA和和A”A”，交，交OMOM于、交于、交 ONON于于則點(diǎn)、即為所求。則點(diǎn)、即為所求。合作交流合作交流方法總結(jié)：方法總結(jié)：1 1、題型：兩線一定兩動(dòng)。、題型：兩線一定兩動(dòng)。2 2、方法：、方法：兩次軸對(duì)稱。

7、兩次軸對(duì)稱。3、依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。、依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。4、思想：轉(zhuǎn)化，將三折化直。、思想：轉(zhuǎn)化，將三折化直。已知已知P是是ABC的邊的邊BC上的點(diǎn)，你能在上的點(diǎn)，你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)上分別確定一點(diǎn)Q和和R，使，使PQR的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)最短嗎？最短嗎？我學(xué)我用?R?Q?O?P?B?A(2011.(2011.山西山西) )如圖，如圖，AOB=30AOB=30, ,角內(nèi)有一點(diǎn)角內(nèi)有一點(diǎn)P P，PO=10cm,PO=10cm,兩邊上各有一點(diǎn)兩邊上各有一點(diǎn)Q Q、R R（均不同于點(diǎn)（均不同于點(diǎn)O O），則），則PQRPQR的周長(zhǎng)的最小值是。的周長(zhǎng)的最小值是。例例4：如圖，：如圖，A

8、為馬廄，為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬, , 再到河再到河邊飲馬，然后回到帳篷，你能幫助確定這一天邊飲馬，然后回到帳篷，你能幫助確定這一天的最短路線嗎？的最短路線嗎？?jī)牲c(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部引導(dǎo)探究引導(dǎo)探究4 4.B. .C.DAB.AONM已知：已知： MON和和 MON內(nèi)兩點(diǎn)內(nèi)兩點(diǎn)A、B。求作：點(diǎn)求作：點(diǎn)C和點(diǎn)和點(diǎn)D,使得點(diǎn)使得點(diǎn)C在在OM上，上， 點(diǎn)點(diǎn)D在在ON上，且上，且AC+CD+BD+AB最短。最短。.點(diǎn)C、D即為所求。方法總結(jié)：方法總結(jié)：1 1、題型：兩線兩定兩動(dòng)。、題型：兩線

9、兩定兩動(dòng)。2 2、方法：、方法：兩次軸對(duì)稱。兩次軸對(duì)稱。3、依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。、依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。4、思想：轉(zhuǎn)化，將三折化直。、思想：轉(zhuǎn)化，將三折化直。 （0909湖北）如圖，兩條高速公路互相垂直，湖北）如圖，兩條高速公路互相垂直，AB=50Km,AAB=50Km,A、B B到到X X軸的距離分別為軸的距離分別為10Km10Km和和40Km40Km ， B B到到Y(jié) Y軸的距離為軸的距離為30Km30Km，請(qǐng)你，請(qǐng)你在兩條公路旁各修建一服務(wù)區(qū)在兩條公路旁各修建一服務(wù)區(qū)P P、Q Q，使，使P P、A A、B B、Q Q組成的四組成的四邊形的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。邊形的周長(zhǎng)

10、最小，并求出這個(gè)最小值。BA0中招在線，勇攀高峰中招在線，勇攀高峰類(lèi)型類(lèi)型2: 確定下列函數(shù)的自變量取值確定下列函數(shù)的自變量取值范圍范圍: 請(qǐng)談?wù)劷裉斓氖斋@請(qǐng)談?wù)劷裉斓氖斋@!這節(jié)課上，我感受最深是這節(jié)課上，我感受最深是這節(jié)課上，我感到最困難的是這節(jié)課上，我感到最困難的是這節(jié)課上，我學(xué)會(huì)了這節(jié)課上，我學(xué)會(huì)了 求最短路線問(wèn)題求最短路線問(wèn)題- 通過(guò)做通過(guò)做對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)把把A A，B B在直線在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，化折線為直線，化折線為直線，利用利用“兩點(diǎn)之間線兩點(diǎn)之間線段最短段最短”加以解決。加以解決。 兩折化直，一次軸對(duì)稱兩折化直，一次軸對(duì)稱 三折化直，兩次軸對(duì)稱三折化直，兩次軸對(duì)稱顆粒歸倉(cāng) 達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)1.如圖，正方形如圖，正方形OABC邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在分別在X軸、軸、Y軸的正半軸上，點(diǎn)軸的正半軸上，點(diǎn)D（2,0）在在OA上上,點(diǎn)點(diǎn)P是是