《小學數(shù)學專題研究》自考資料

1、-小學數(shù)學教學研究自考復習資料教材小學數(shù)學專題研究李星云著第一章小學數(shù)學課程目標及內(nèi)容一、數(shù)學是一種研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學。數(shù)學本質(zhì)：數(shù)學是一種研究思想事物的科學恩格斯。二、數(shù)學的作用 ：一種科學只有在成功運用數(shù)學時，才算達到了真正完美的地步。數(shù) 學是 一切科學技術(shù)的基礎(chǔ)，數(shù)學的內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然和社會科學中，數(shù)學作為一種文化，已成人們的共識。三、我國數(shù)學課程及演變過程：（ 1）萌芽時期（公元前 600 年前）（ 2）初等數(shù)學時期 (公元前 600 年 171-世紀中葉 )（ 3）變量數(shù)學時期（ 17 世紀中葉 19 世紀 20 年代）（ 4）近代數(shù)學時期

2、（ 19 世紀 20 年代第二次世界大戰(zhàn)）（ 5）現(xiàn)代數(shù)學時期（第二次世界大戰(zhàn)以來）作為一門學科，在我國卻遲到隋唐時期，才在國子監(jiān)設算學館。置博士、助教，選定和注釋從漢朝以來的十部算經(jīng)，以算經(jīng)十書著。算經(jīng)十書 是我國古代數(shù)學發(fā)展和成就的代表文獻，構(gòu)成了我國古代傳統(tǒng)數(shù)學體系。周髀算經(jīng)勾股定理；九章算術(shù)方程章中第13 題是著名“五家共井”最早的不定方程問題；孫子算經(jīng)“知客幾何”“雞兔同籠”2-尤其是“物不知數(shù)”是后來馳名于世的“大衍求一術(shù)”的起源，是中國古代數(shù)學最具獨創(chuàng)精神的成就之一。張丘建算經(jīng)提出了有趣的不定方程和解法“百雞問題”；緝古算經(jīng)三次方程的代數(shù)解法；數(shù)學記遺“九宮圖”。三國時期劉徽用割

3、圓術(shù)求出了圓周率值為3.14 ，之后法國數(shù)學家偉達用 解析方法求出 值。世界上第一本討論排列組合 的書是 周易算學作為小學課程則從近代光緒二十八年（1902 年）才正式開始。1892 年編筆算數(shù)學，則是我國學校里的第一部算學教科書 。3-1903年春編制 最新教科書我國自己編寫的第一本正式的小學算學課本問世。1978 年 2 月全日制十年制小學數(shù)學教學大綱（試行草案）明確將小學算術(shù)改為統(tǒng)一的數(shù)學。1992年三個面向“面向現(xiàn)代化”、“面向世界、”“面向未來。”四、國外數(shù)學課程變革的簡況及趨勢。20 世紀初，德國數(shù)學家克萊因發(fā)起并領(lǐng)導了數(shù)學教育近代化運動?，F(xiàn)代數(shù)學運動發(fā)展是不平衡的，分三種類型：

4、1.革新型 如英美； 2. 進化型如蘇聯(lián)；3.中間型如日本。相似之處：1. 精簡傳統(tǒng)的算術(shù)內(nèi)容：4-2. 增減或滲透集合、函數(shù)、統(tǒng)計等現(xiàn)代數(shù)學內(nèi)容；3. 用結(jié)構(gòu)思想處理傳統(tǒng)內(nèi)容?！盎貧w基礎(chǔ)”改為“走向基礎(chǔ)?！贝蟊姅?shù)學 :目標讓全體學生學好數(shù)學、學習更多的數(shù)學而且是需要的數(shù)學。五、小學數(shù)學課程目標與分析（參考課標）小學數(shù)學課程目標是小學教育方向和性質(zhì)的表征，也是小學數(shù)學教育活動，包括組織教學內(nèi)容、確定教學要求、選擇教學方法、進行質(zhì)量評估、決定考試命題等進行的依據(jù)。1、 小學數(shù)學課程目標制定的依據(jù)2、小學數(shù)學課程目標3、 小學數(shù)學課程內(nèi)容5-六、學科數(shù)學與科學數(shù)學課程內(nèi)容的載體是教材教科書。學科數(shù)

5、學的內(nèi)容是依賴于科學數(shù)學二建立和發(fā)展的。1. 作為科學的數(shù)學 ，它不考慮人們是否能夠理解和接受，只要能完備而又精確地闡明某種數(shù)學理論，更深刻地反應世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系就行。而作為學科的數(shù)學必須遵循學生的認知規(guī)律和心理特點，往往日常生活、生產(chǎn)中的具體事例出發(fā)，對現(xiàn)象進行描述，然而轉(zhuǎn)向定義、定律、性質(zhì)等的揭露。2. 作為科學數(shù)學，對所有的定理、法則等都必須進行嚴格的論證和推導，而作為學科的數(shù)學限于學生的接收水平，往往通過列6-舉一些事例用不完全歸納法得出結(jié)論。3. 作為科學的數(shù)學，完全按照數(shù)學倫理的邏輯系統(tǒng)進行安排，可以難易起伏不均；作為學科數(shù)學在不影響科學性的前提下，兼顧小學生的認知規(guī)律。對

6、某些內(nèi)容可以適當調(diào)整。由此可見，科學數(shù)學是作為人類認識的結(jié)果而呈現(xiàn)的，已完全揭示數(shù)量關(guān)系和空間形式為目的；而學科數(shù)學可看作為認識對象而存在。對作為小學學科的數(shù)學而言，除了正確反映科學數(shù)學的知識外，還必須充分遵循小學生的認知規(guī)律，有利于使他們學懂、學好、學活。有利于發(fā)展他們的智能，有利于進行思想品德教育。七、小學數(shù)學課程內(nèi)容編排原則：7-1. 以數(shù)與計算為主線，以數(shù)與形式為重點，把各部分內(nèi)容按其彼此的內(nèi)在聯(lián)系結(jié)合起來。2. 由淺入深，由易到難，循序漸進，螺旋上升。3. 突出重點，分散難點。4. 把數(shù)學知識和數(shù)學應用結(jié)合起來。5. 注重趣味性。數(shù)學學科的特點 ：1. 高度的抽象性2. 嚴密的邏輯性

7、 3. 應用的廣泛性。第二章 小學數(shù)學解題的理論依據(jù)一、數(shù)學問題及其組成1、1、數(shù)學問題雖然名稱不同，敘述內(nèi)容不同，但它們卻有一個共同的特點，即是在一定的知識背景中提出的。知識背景主要包括已有8-的概念、理論和方法。因此，我們認為依照數(shù)學問題的解答與知識背景的關(guān)系，可以把數(shù)學問題大致分為兩類：常規(guī)問題和非常規(guī)問題。2、依照數(shù)學問題提法的意義是否明確，數(shù)學問題的條件是否充分，我們還可以把數(shù)學問題劃分為： 可能問題和不可能問題。3、數(shù)學問題的 組成成分 是條件、目標和運算。（三大組成部分也叫構(gòu)成要素）二、智力結(jié)構(gòu)與活動方式1 、智力兩個方面：一是天賦的潛力、特性和發(fā)展的容量；即健全的神經(jīng)代謝的總和

8、。二是發(fā)展得以進行下去的大腦功能，即能夠決定操作和理解的功能。皮亞杰關(guān)于 智力階段的劃分9-感知運動階段（0 2 歲）前運算階段（2 7 歲）具體運算階段（7 11 歲）形式運算階段（11 歲以上）同化和順應是相對立的兩種力量。同化是一個人按照過去的經(jīng)驗、圖示來活動； 順應則是根據(jù)面臨的新信息所作的改變和思考。2、智力活動方式：（ 1）根據(jù)基本的心理過程，分為知覺方式、記憶方式和思維方式。（ 2）根據(jù)完成的主要功能，分為定向方式、執(zhí)行和控制方式。（ 3）根據(jù)標準和規(guī)范化程度，分為計算性方式、算法指令性方式、啟發(fā)性方式。10-（4） 根據(jù)動作的共同性，分為一般方式和具體方式。另外，根據(jù)智力活動在

9、人類不同認知領(lǐng)域里的運用程度， 又可以分為一般方式 （如分析、綜合、抽象、概括、比較等）和限于某一認識領(lǐng)域的特殊方式。二、數(shù)學思維品質(zhì)及其發(fā)展水平1 、1、思維： 人腦對客觀事物的本質(zhì)特征、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括的、間接的反映，是人們對外接輸入的信息的感知的基礎(chǔ)上經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等智力活動方式，對其加工、 推理和獲得理性認識的心理過程。2、思維的 本質(zhì)：思維是間接認識事物，是通過感知與被直接認識的事物有著合11-乎規(guī)律的聯(lián)系的另一個對象而實現(xiàn)的。3、思維的 類型： 1. 邏輯性思維 2. 非邏輯性思維。形式邏輯思維 ：是以概念、判斷、推理等思維方式，同一律，矛盾律、排中律

10、等思維規(guī)律，歸納、演繹、類比、科學假設等思維方法為其研究對象。辯證邏輯思維 ：研究的是思維形式如何正確反映客觀事物的運動變化、事物的內(nèi)部矛盾、事物的有機聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等問題，其主要特點是用有限量來描述和刻畫。4、數(shù)學思維 ：又叫數(shù)學型思維，就是以數(shù)和形為思維的對象。以數(shù)學的語言和符號為思維的載體，以認識和發(fā)現(xiàn)數(shù)12-學規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學思維品質(zhì) ：靈活性、積極性、目的性、記憶性、廣闊性、深刻性、批判性、準確性、簡捷性、獨創(chuàng)性和證明性。數(shù)學思維水平的評定：第一級水平第五級水平前兩級水平是小學年級的學生所特有的，第三級水平是初中年級學生所特有的；第四級水平是高中年級學生所特有的，至于第五級水平

11、無論是幾何方面還是代數(shù)方面的，均屬于數(shù)學思維的現(xiàn)代水平。一般的中學階段的學生是難以達到的。四、影響小學數(shù)學解題的心理因素：（兩大）13-（一）問題解決的特征：1. 問題情境因素2. 解題者的個體特征（解題者知識經(jīng)驗基礎(chǔ)和個性品質(zhì)）3.解題中的認知策略（解題者用來調(diào)節(jié)注意、回憶和思維的技能）（二）遷移與思維定勢：遷移 是指一種知識、技能的學習和應用對另一種知識、技能的學習和應用所施加的影響。思維定勢 ：指的是一種思維的定向預備狀態(tài)，在思維不受到新干擾的情況下，人們按照既定的方向或者方法去思考。第三章 小學數(shù)學解題的認知過程一、小學數(shù)學學習及認知學習 ：從廣義上理解，學習是有機體憑借經(jīng)驗的獲得而產(chǎn)

12、生的比較持久的14-行為（思維、想象記憶、感知等內(nèi)部心理活動和語言、表情、動作等外部活動）變化。從狹義上理解，學習是指學生在老師指導下，有目的、有計劃、有組織、有步驟地進行的獲得知識、形成技能、培養(yǎng)能力、發(fā)展個性的過程。桑代克刺激反應理論，學習是刺激和反應的聯(lián)結(jié)?？晾胀晷卫碚?，學習是零碎和知覺信息的再組織過程。托爾曼認知理論，學習是對環(huán)境中的刺激，依其關(guān)系形成一種新的認知結(jié)構(gòu)的過程，是意義的獲得和實現(xiàn)期望的過程等等。15-小學數(shù)學學習： 是在教師指導下獲得數(shù)學知識、數(shù)學技能和數(shù)學能力，發(fā)展個性數(shù)學品質(zhì)的過程。 由于數(shù)學自身具有邏輯的嚴謹性、高度的抽象性及應用的廣泛性，所以，小學數(shù)學學習的核心內(nèi)

13、容和最終母的是解決小學數(shù)學問題。小學數(shù)學解題： 作為小學生的一種特殊心理活動，綜合起來說，它屬于一種認知學習。小學數(shù)學解題是一種逐漸深入的，具體某種程度創(chuàng)新性和思維對策的心理活動（認知）過程。不求甚解、生搬硬套、機械呆板等等，都不是小學數(shù)學解題的真實含義。二、認知結(jié)構(gòu)： 是指個體在感知及理解客觀現(xiàn)實的基礎(chǔ)上，在頭腦里形成的一種心理結(jié)構(gòu)。 簡單點說認知結(jié)構(gòu)就是在個體頭腦16-里的知識結(jié)構(gòu)。小學數(shù)學解題作為小學數(shù)學學習的主要內(nèi)容和方式，其意義也就在于不斷積極主動地建立、擴大和重新組織數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，并伴隨著同化和順應等特征。小學數(shù)學解題并不是數(shù)學知識的簡單應用，而是以原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)為依據(jù)，對新知識

14、進行加工。三、技能：是順利完成某種任務的一種心智或動作的活動方式，她需要通過練習才能形成。動作：泛指在完成一項具體任務中所涉及的一系列操作，以完善、合理方式組織起來并順利進行時，就成為動作技能。心智系指借助于內(nèi)部語言在頭腦中進行的認識活17-動。它包括感知、記憶、想象和思維，但以抽象思維為它的主要成分。技能和能力 ：是不同的概念，二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。技能是指完成一定任務的活動方式，能力則是順利完成任務的個性心理特征。技能的形成以一定的能力為前提，反過來又對能力的發(fā)展起重要的促進作用。數(shù)學動作技能 ：指運用工具繪圖的技能，測量技能、使用計算工具的技能等。數(shù)學心智技能 ：指數(shù)的計算技能、式的恒

15、等變形技能、解方程、解不等式的技能，推理論證技能、運用數(shù)學方法的技能等。這兩種數(shù)學技能既有聯(lián)系又有區(qū)別 。一方面數(shù)學心智技能的形成，與數(shù)學動作技能有關(guān)；另一方面，數(shù)學動作技能又受數(shù)學心18-智技能控制。數(shù)學認知技能 ：的形成，也有一個過程，就小學數(shù)學解題而言，可以概括成認知階段、聯(lián)結(jié)形成階段和自動階段。小學數(shù)學解題中的數(shù)學認知技能盡管有上述的幾個階段，但最終得以形成，都要經(jīng)歷一個從“會”到“熟”的過程其，間必須不斷通過有計劃、有目的的練習，才能完成這一轉(zhuǎn)變。發(fā)展：作為一般意義上的理解是指人的各種特性在結(jié)構(gòu)上和機能上的變化。發(fā)展有生理發(fā)展和心理發(fā)展之分。四、認知發(fā)展：是指與大腦生長和知識技能有關(guān)

16、的發(fā)展方面。涉及人在知覺、記憶、思維、語言、智力等方面種種功能的發(fā)展變19-化。小學數(shù)學認知發(fā)展可以理解為小學數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和數(shù)學認知技能的發(fā)展，是通過小學數(shù)學活動過程來體現(xiàn)的。認知發(fā)展一般包含這幾個階段：1. 輸入階段 2.同化和順應階段3.應用階段。 以上三個階段是密切聯(lián)系的。第四章 小學數(shù)學解題的實質(zhì)和結(jié)構(gòu)一、小學數(shù)學解題的含義小學數(shù)學解題 即小學數(shù)學領(lǐng)域中的問題解決，不但要關(guān)心問題的結(jié)果，而且要關(guān)心求得結(jié)果的過程，也就是問題解決的整個思考活動。所以小學數(shù)學解題指的是按照一定的思維對策進行的一個思維過程，一步一步地靠近目標，最終達到目標。其含義就是20-思考的活動及探索的過程。19 世紀中

17、葉，德國數(shù)學家格拉斯曼才成功地建立了一個算術(shù)基本公理體系， 解決和統(tǒng)一禮物在此之前人們一直混淆的上述問題。小學數(shù)學解題也就意味著找出這樣一個數(shù)學的一般原理（定義、公理、法則、定律、公式）的序列，當應用他們到問題的條件或者條件的推論（解法的中間結(jié)果）時，就能得到問題所要求的答案。二、 小學數(shù)學解題的結(jié)構(gòu)奧蘇伯爾解題結(jié)構(gòu)模式：1. 呈現(xiàn)問題的情境 2. 明確問題的目標與已知條件3. 填補空隙的過程4. 解答后的檢驗。小學數(shù)學解題的幾個階段：1.分析題意21-2.尋找解法 3.實行解法 4. 回顧解法三、 小學數(shù)學解題的趨向教育心理學認為根據(jù)解題者尋求解答的趨向可以把解題分為兩種主要方式 ，一種是嘗

18、試錯誤式，另一種是頓悟式。嘗試錯誤式是由進行無定向的嘗試，重復無效動作，糾正暫時性嘗試錯誤。直至出現(xiàn)解決問題得以成功的一系列反應所組成的行動。頓悟式 解決問題嘗試錯誤式不同，它具有一定的“心向”，努力發(fā)現(xiàn)手段與目標之間的有意義的聯(lián)系，而這種聯(lián)系正是問題賴以解決的基礎(chǔ)。在小學數(shù)學解題中，嘗試錯誤式和頓悟式實際上司不能絕對化的，嘗試錯誤式解決22-可能是隱含在內(nèi)而不表露于外的。所以看不出是嘗試錯誤式，未必就是頓悟式。頓悟式解題也不一定是徹底的、完善的和即時的，盡管看上去解答是突然出現(xiàn)的，事實上卻往往經(jīng)歷著一定的甚至是相當曲折的過程。四、 小學數(shù)學解題的規(guī)則常規(guī)問題解題規(guī)則：1. 公式規(guī)則 2. 恒

19、等式規(guī)則 3. 定理規(guī)則 4. 定義規(guī)則非常規(guī)問題就是沒有一般解題規(guī)則的數(shù)學問題，它的解題步驟序列，可以利用技巧將其轉(zhuǎn)化為等價的常規(guī)問題，或分解為若干個小常規(guī)問題，或通過分析、綜合等方法來尋求。算術(shù)基本公式體系是小學數(shù)學中的定義、公理、定理、法則等之間的邏輯關(guān)系。23-小學數(shù)學解題是以思考為內(nèi)涵，以問題目標為定向的心理活動過程。第五章 小學數(shù)學解題的思想方法化歸類比 歸納美籍匈牙利數(shù)學家波利亞在怎樣解題數(shù)學與合情推理關(guān)于數(shù)學解題的核心觀點就是發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造。蘇聯(lián) 婭諾夫斯卡婭 解題意味著什么解題也就意味著把所要解的問題轉(zhuǎn)化到已經(jīng)解過的問題。法國笛卡爾我所解決的每一個問題都將成為范例，以用于解決其

20、他問題。一、化歸法的一般模式為：化歸法的特點：在于它具有較強的目的性、方向性和概括性。基本原則：是由未知到已知，由難到易、24-由繁到簡；它的方向就是如何實現(xiàn)由所要解決的問題向已解決的或較容易解決的問題的轉(zhuǎn)化，這里蘊含著發(fā)現(xiàn)、發(fā)明及創(chuàng)造性的活動。從廣義上的理解化歸是一種思想，如果從狹義上來看， 化歸乃是重要的常用的和具體的解決方法之一，而且又有分割組合、映射反演等分別。分割組合的一般模式：分割組合： 就是把所要求的問題，按照可能和需要，分割成若干部分，使他們更容易于求解，再將這些解答有機地組合起來，過渡到問題的最終結(jié)論。映射反演 就是映射和反演兩種方法并用。25-映射：就是在兩類數(shù)學對象或兩個

21、數(shù)學集合的元素之間建立的某種對應關(guān)系。反演：就是從已知運算往回推（每一步運算都以其逆運算來代替，相對映射而言，反演就是逆映射。）在數(shù)學解題中，這種映射反演具體表現(xiàn)為坐標法、復數(shù)定向法、換元法等。萬能發(fā)現(xiàn)法：（笛卡爾）這種模式在某些情況下是不適用的。這種方法包含了“數(shù)學化”、“代數(shù)化、”“計算化”等合理的化歸思想方法。二、類比法 ：是根據(jù)兩個或兩類不同的對象在某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的類同之處，猜測著兩個對象在其它方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方26-法?；灸Ｊ剑侯惐鹊慕Y(jié)論屬于或然性推論，因為從前提到結(jié)論并不具備邏輯必然性。也就是說，類比也有一定的局限性，其結(jié)論常常是不可靠

22、地的，甚至是完全錯誤的。三、歸納法 ：是指通過對特殊情形的分析引出普遍的結(jié)論的推理方法。德國大數(shù)學家高斯就曾說過，他的許多定理靠的是歸納法發(fā)明的，證明只是一個補行的手續(xù)。歸納常常是建立在有目的、有計劃的觀察和試驗基礎(chǔ)上的。根據(jù)對象是否完備，歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。完全歸納法 ：是根據(jù)某類事物中每一個27-對象的情況或每一個子類的情況，而作出該類事物的一般性結(jié)論的推理。上面兩種安全歸納推理，前者根據(jù)每一個情況而得出一般性結(jié)論，后者根據(jù)每一類特殊（子類）情況而得出一般性結(jié)論。它們子本質(zhì)上是相互聯(lián)系的，前者是后者的特例，后者死前者的推廣。所以，通常也可以把后者作為完全歸納推理的一般

23、形式。完全歸納法實質(zhì)上也是一種演繹推理。不完全歸納法：是根據(jù)對某類事物中的一部分對象的情況，而作出關(guān)于該事物的一般性結(jié)論的推理。不完全歸納法的推理形式：和歸納法不同，數(shù)學歸納法屬于論證的范疇，而不是猜測的方法。但是在歸納法與28-數(shù)學歸納法之間也存在著相互依賴、相互滲透的辯證關(guān)系。換言之，數(shù)學歸納法所證明的往往是由歸納法所得出的猜測，而歸納法所得出的猜測有些可用數(shù)學歸納法來證明。而且，更為重要的是，歸納的過程往往為應用數(shù)學歸納法去證明相應的結(jié)論打下了基礎(chǔ)；反之證明的過程則加深了對原來猜測的理解。四 創(chuàng)造性及其體現(xiàn)創(chuàng)造：一般是指創(chuàng)造者的主觀意識活動，通過科學實踐而對自然界的某一方面或某些方面的合乎規(guī)律的反映，它是一種現(xiàn)象。創(chuàng)造的三大基本特征：1. 實踐性 2. 創(chuàng)造者的創(chuàng)造能力充分發(fā)揮3. 創(chuàng)新性，即開創(chuàng)性29-和新穎性。創(chuàng)造性作為一個認知范疇的概念，系指一種能力或特性，按教育心理學的觀點，它和人的智力、智慧品質(zhì)以及人格等有著密切的關(guān)系。創(chuàng)造和創(chuàng)造性不能等同，不可相互替代，但兩者共處一體。因為如果強調(diào)過程，著眼于心理機制的話，那