2015年高考復(fù)習(xí)核按鈕理科數(shù)學(xué)—第八章立體幾何

1、第八章立體幾何8.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖考綱解讀|權(quán)威解讀科學(xué)預(yù)刪1 .認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2 .能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3 .會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.高考主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)和視圖，柱、錐、臺、球的定義與性質(zhì)是基礎(chǔ)，以它們?yōu)檩d體考查線線、線面、面面的關(guān)系是重點(diǎn)，三視圖一般會在選擇題、填空題中考查，以給出空間圖形選擇其三視圖或給出三視圖判斷其

2、空間圖形的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力.考點(diǎn)梳理，思勤筆卷定蠱砒1.棱柱、棱錐、棱臺的概念(1)棱柱：有兩個面互相,其余各面都是,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.注：棱柱又分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.(2)棱錐：有一個面是,其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.注：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐.(3)棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，叫做棱臺.注：由正棱錐

3、截得的棱臺叫做正棱臺.派2.棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)(1)棱柱的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面是；兩個底面與平行于底面的截面是的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是;直棱柱的側(cè)棱長與高相等且側(cè)面、對角面都是.(2)正棱錐的性質(zhì)側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的;棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構(gòu)成一個;棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也構(gòu)成一個;側(cè)面的斜高、側(cè)棱及底面邊長的一半也構(gòu)成一個;側(cè)棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構(gòu)成一個.(3)側(cè)面是全等的;斜高相等；棱臺的高、斜高和兩底面的邊心距組成一個;棱臺的高、側(cè)棱和兩底面外接圓的半徑組成一個;棱臺的斜高、側(cè)棱和兩底面邊長的一半也組成一個3 .

4、圓柱、圓錐、圓臺(1)圓柱、圓錐、圓臺的概念分別以的一邊、的一直角邊、中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺.(2)圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是、;平行于底面的截面都是4 .球(1)球面與球的概念以半圓的所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的.(2)球的截面性質(zhì)球心和截面圓心的連線截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關(guān)系為5 .平行投影在一束平行光線照射下形成的投影，叫做.平行投影的投影線互相.6 .空間幾何體的三視圖、直觀圖(1)三視圖空間幾何體

5、的三視圖是用正投影得到的，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的.三視圖包括、.三視圖尺寸關(guān)系口訣：長對正，高平齊，寬相等.”長對正指正視圖和俯視圖長度相等，高平齊指正視圖和側(cè)(左)視圖高度要對齊，寬相等指俯視圖和側(cè)(左)視圖的寬度要相等.(2)直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：在已知圖形所在空間中取水平面，在水平面內(nèi)作互相垂直的軸Ox,Oy,再作Oz軸，使/xOz=且/yOz=.畫直觀圖時，把Ox,Oy,Oz畫成對應(yīng)的軸Ox,Oy；Oz；使/xOy=,/xOZ=.xoy所確定的平面表示水平面.已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線

6、段，在直觀圖中分別畫成x軸、y軸或z軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.注：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上的區(qū)別是：(1)觀察角度：三視圖是從三個不同位置觀察幾何體而畫出的圖形，直觀圖是從某一點(diǎn)觀察幾何體而畫出的圖形；(2)投影效果：三視圖是在平行投影下畫出的平面圖形，用斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形.【自查自糾】1. (1)平行四邊形平行(2)多邊形三角形2

7、. (1)平行四邊形全等平行四邊形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3. (1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圓4. (1)直徑球心(2)垂直于d=/R2?5 .平行投影平行6 .(1)正(主)視圖側(cè)(左)視圖俯視圖(2)909045(或135)90平行于一半基礎(chǔ)自測|小站全活牛刀小證口下列說法中正確的是()A.棱柱的底面一定是平行四邊形B.棱錐的底面一一定是三角形C.棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱解：根據(jù)棱柱、棱錐的性質(zhì)及截面性質(zhì)判斷，故選D.國以下關(guān)于幾何體的三視

8、圖的論述中，正確的是（）A.球的三視圖總是三個全等的圓B.正方體的三視圖總是三個全等的正方形C.水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形D.水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓解：幾何體的三視圖要考慮視角，只有球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個全等的圓.故選A.回（2012陜西）將正方體（如圖a所示）截去兩個三棱錐，得到圖b所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為解: 選B.Q解:ABCD且BiC被遮擋為虛線.故還原正方體知該幾何體側(cè)視圖為正方形，ADi為實(shí)線，BiC的正投影為AiD,用一張4cmX8cm的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱軸截面的面積為cm2（接頭忽略不計）.以4cm或8cm為底面周長，所

9、得圓柱的軸截面面積均為2cm2,故填絲.兀兀已知正三角形ABC的邊長為a,那么4ABC的平面直觀圖ABC的面積為.13由圖可知，AB=AB=a,OC=2OC=a,在圖中作CDAB；垂足為DSABC=1ABXCD=14a=a222816故填費(fèi)a2.16典例I解析分類解析觸類帝通類型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（2012湖南）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）D解：D選項(xiàng)的正視圖應(yīng)為如圖所示的圖形.故選D.A, B, C 都【評析】本題主要考查空間想象能力，是近年高考中的熱點(diǎn)題型.本題可用排除法一一驗(yàn)證:有可能，而D的正視圖與側(cè)視圖不可能相同.辱工3若某幾何體的三視圖如

10、圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是正視圖制視圖D也是符合的.故選D.解：從俯視圖看，B類型二空間幾何體的三視圖：如圖，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（）A.C.解:故選B.6 .312 3B,973D.18犯由三視圖可知該幾何體是一個斜四棱柱，高h(yuǎn)=22221=*,底面積為9,所以體積V=9V3=9f3.【評析】通過三視圖考查幾何體的體積運(yùn)算是較為常規(guī)的考題，考生對此并不陌生.對于空間幾何體的考查，從內(nèi)容上看，柱、錐的定義和相關(guān)性質(zhì)是基礎(chǔ)，以它們?yōu)檩d體考查三視圖、體積是重點(diǎn).本題給出了幾何體的三視圖，只要掌握三視圖的畫法長對正、高平

11、齊，寬相等”，不難將其還原得到斜四棱柱.解：由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，此三棱錐的底面為直角三角形，直角邊長分別為h=cm.棱錐的高為hcm,則三棱錐的體積為V=34X5對沖=20,解得h= 4cm.故填 4.類型三空間多面體的直觀圖如圖是一個幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.亞視圖惻視圖俯現(xiàn)圖解：由三視圖知該幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個正四棱臺，上部是一個正四棱錐.畫法：(1)畫軸.如圖1,畫x軸、y軸、z軸，使ZxOy=45,ZxOz=90.圖1(2)畫底面.利用斜二測畫法畫出底面ABCD,在z軸上截取。使。等于三視圖中相應(yīng)高度，過。作Ox的平行線Ox；Oy的平行線

12、Oy,利用OX與Oy畫出底面ABCD.畫正四棱錐頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P,使PO等于三視圖中相應(yīng)的高度.（4）成圖.連接PA；PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖所示.圖2【評析】根據(jù)三視圖可以確定一個幾何體的長、寬、高，再按照斜二測畫法， 建立x軸、y軸、z軸，使/xOy= 45, /xOz=90,確定幾何體在x軸、y軸、z軸方向上的長度，最后連線畫出直觀圖.已知一個四棱錐的高為方形，則此四棱錐的體積為 （）3,其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個邊長為1C.7 D, 27231的正解：因?yàn)樗睦忮F的底面直觀圖是一個邊長為i的正方形，該正方

13、形的對角線長為3=22.選D.33類型四空間旋轉(zhuǎn)體的直觀圖用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1 ： 16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺的母線長.解：設(shè)圓臺的母線長為1,截得圓臺的上、下底面半徑分別為r,4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，所以，圓臺的母線長為9cm.【評析】用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相似），同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面）的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，設(shè)相關(guān)幾何變量列方程求解.圓錐底面半徑為1cm,高為 V2cm,其中有一個內(nèi)接正方體，求這個內(nèi)接正方體的棱長解：過圓錐的頂點(diǎn)S和

14、正方體底面的一條對角線CD作圓錐的截面，得圓錐的軸截面SEF,正方體對角面CDDiCi如圖所示.設(shè)正方體棱長為x,則CC=x,CiDi=M2x.作SOXEF于O,則SO=2。=2y3,側(cè)面積為3X2X1=6,所以其表面積為6+23.故填6+2小.8 .如圖是某個圓錐的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)尺寸可得俯視圖中圓的面積為,圓錐母線長為20正視圖10,則俯解：由三視圖可知，圓錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面圓的中心，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，底面圓的半徑為視圖中圓的面積為100兀，母線長為寸302+102=10a/i0,故填100兀；10瓶.9 .如圖a是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖.解：圖a中幾何體三

15、視圖如圖 b所示:正視側(cè)視府視圖B10 .如圖1是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并用斜二測畫法畫出它的直觀圖.M視圖圖I解：圖1中幾何體是由上部為正六棱柱，下部為倒立的正六棱錐堆砌而成的組合體.斜二測畫法：(1)畫軸.如圖2,畫x軸，y軸，z軸，使/xOy=45,ZxOz=ZyOz=90.(2)畫底面，利用斜二測畫法畫出底面ABCDEF,在z軸上截取O,使OO等于正六棱柱的高，過。作Ox的平行線Ox,，Oy的平行線Oy,利用。攵與Oy畫出底面ABCDEF.(3)畫正六棱錐頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P,使PO等于正六棱錐的高.CC, DD, EE, FF,整理得到三視圖表示的(4)成圖.

16、連接PA；PB,PC,PD；PE,PF,AA；BB幾何體的直觀圖如圖3所示.H圖2注意：圖形中平行于 X軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變;11.某長方體的一條對角線長為 由,在該長方體的正視圖中，圖3平行于 y軸的線段，長度為原來的一半.這條對角線的投影長為.6,在該長方體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條對角線的投影長分別為a和b,求ab的最大值.解：如圖，則有正視ACi= V7， DCi= 65BC1= a, AC = b,設(shè) AB=x, AD=y, AA1 = z,有 x2+y2+z2=7, x2+z2=6, .y2=1. a2=y2+z2=z2+1, b2=x2+y2=x2+1,，a= z2+

17、 1, b= x2+ 1.j 22 z2+ 1 + x +1ab = 5/ (z2+1)()與2= 4,當(dāng)且僅W z2+1 = x2+1,即x=z=*時，ab的最大值為4.陶加則 水以勻速注入某容器中，容器的三視圖如圖所示，其中與題中容器對應(yīng)的水的高度 函數(shù)關(guān)系圖象是()h與時間t的解:由三視圖知其直觀圖為兩個圓臺的組合體，水是勻速注入的，所以水面高度隨時間變化的變化率先逐漸減小后逐漸增大，又因?yàn)槿萜鞯膶ΨQ性，所以函數(shù)圖象關(guān)于一點(diǎn)中心對稱.故選C.8.2空間幾何體的表面積與體積考綱解讀|權(quán)威解讀科學(xué)預(yù)制1 .了解棱柱、棱錐、臺、球的表面積和體積的計算公式.2 .會利用公式求一些簡單幾何體的表面

18、積與體積.高考主要考查空間幾何體的側(cè)面積、表面積、體積以及相關(guān)元素的關(guān)系與計算，這些內(nèi)容常與三視圖相結(jié)合，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，也可能以空間幾何體為載體，考查線面關(guān)系、側(cè)面積、表面積以及體積.考點(diǎn)梳理|，思勤筆卷定寒軸1 .柱體、錐體、臺體的表面積(1)直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積S直棱柱側(cè)=,S正棱錐側(cè)=,S正棱臺側(cè)=(其中C,C為底面周長，h為高，h為斜高).(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積S圓柱側(cè)=,S圓錐側(cè)=,S圓臺側(cè)=(其中r,r為底面半徑，l為母線長).(3)柱或臺的表面積等于與的和，錐體的表面積等于與的和.2 .柱體、錐體、臺體的體積(1)棱柱、棱錐、棱臺的體積V棱柱=,V

19、棱錐=,V棱臺=(其中S,S為底面積，h為高).(2)圓柱、圓錐、圓臺的體積V圓柱=,V圓錐=,V圓臺=(其中r,r為底面半徑，h為高).3 .球的表面積與體積(1)半徑為R的球的表面積$球=.(2)半徑為R的球的體積V球=.【自查自糾】11,、1. (1)Ch2Ch2(C+C)h，(2)2rll兀r+rl)(3)側(cè)面積兩個底面積側(cè)面積一個底面積112. (1)Sh-Sh-h(S+VsS+S)33解：分兩種情況：以邊長為6兀的邊為局時，4兀為圓柱底面周長，則271r=4兀，r=2,，$底=2=4%,S側(cè)=6兀X47t=24t?,S表=2S底+S側(cè)=8兀+24兀2=8兀（3#1）;以邊長為4兀的

20、邊為高時，6兀為圓柱底面周長，則27f=6& r=3.，Si?=疔2=9兀, 國正三棱錐的底面邊長為S表=2S底+S側(cè)=18兀+24兀2=6兀（4+3）.故選C.A.|mB. .2CV2,側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為（）解：二正三棱錐的側(cè)面均為直角三角形，故側(cè)面為等腰直角三角形，且直角頂點(diǎn)為棱錐的頂點(diǎn),為山，v=1x1%的2H2=坐.故選c.323已知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則圓柱的體積與球體積之比為A.1 ： 2 B. 2 ： 1C. 2 ： 3 D. 3 ： 2解:設(shè)球半徑為R,圓柱底面半徑為 R,高為2RV球=1求3, V圓柱=tR2 2R=2tR3,Y圓柱：3V 球

21、=3 ： 2.故選D.EJ長方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)在同一個球面上，且AB= 2,AD =寸3,AA1 = 1 ,則球面面積為解：.長方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)在同一個球面上，則外接球的直徑是長方體的體對角線，而長方體的體對角線的長為 UAB2+AD2+AA2 = 242, .半徑R=山.S球=4 tR2= 8兀故填8兀目若圓錐的側(cè)面積為 2國底面面積為 兀，則該圓錐的體積為解：設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l ,則2兀r=兀,有r= 1,!=2,從而可知圓錐的高 h = l2-r2 =，4= AE=2X63/3=9d3,在RtSHA中，SA=如，AH=2/3,SH

22、=SA2AH2=15-12=艱.V正三棱錐=1ABCXSH=1X932=9.331【評析】（1）求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧途?，然后?yīng)用公式V=-Sh進(jìn)行計算.（2）求空間幾何體體3積的常用方法為割補(bǔ)法和等積變換法：割補(bǔ)法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出柱體和錐體的體積，從而得出要求的幾何體的體積；等積變換法：特別的，對于三棱錐，由于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來求體積；利用等積性”還可求熏到面的距離如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且AADE,BCF均為正三角形，EF/AB,EF=2,則該多面體的體積為-4C.3解：如

23、圖，過A, B兩點(diǎn)分別作AM3 D.2BN垂直于EF,垂足分別為 M, N,連接DM, CN,可證得DM，EF ,CNXEF,則多面體 ABCDEF分為三部分,即多面體的體積VaBCDEF = VAMD-BNc+ VE-AMd + VF-BNC.依題意知AEFB為等腰梯形.易知RtADMERtACNF,.EM=NF=2.又BF=1,BN=3.2作NH垂直于BC,則H為BC的中點(diǎn)，NH=-.SABNC=2BCNH=-42.-v-onf一2vf-bnc-3bncNF24，_2_2Ve-AMD=VF-BNC=24，VAMD-BNC=SABNCMN=4.2-VABCDEF=3,故選A.類型四空間旋轉(zhuǎn)體

24、的體積問題某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（）A.2兀8-TC.兀B. 8-3D2-解:正（主】視圖側(cè)L左）視圖俯視圖由三視圖知幾何體為一個正方體中間去掉一個圓錐，所以它的體積是V=23-故選A.（2012河南模擬【評析】根據(jù)已知三視圖想象出該幾何體的直觀圖，然后分析該幾何體的組成，再用對應(yīng)的體積公式進(jìn)行計算.）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正（主）視圖、側(cè)（左）視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與其內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為A.C.2 132Z 1664兀 1.36D”D. 3 2惆視圖解：由三視圖可得該幾何體的上部是一個三棱錐，下部是半球，根據(jù)三視圖

25、中的數(shù)據(jù)可得X1MI1=2-+6.故選C.名師點(diǎn)津揭示規(guī)律總皓方法1 .幾何體的展開與折疊（1）幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得的，利用空間問題平面化的思想，把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法.（2）多面體的展開圖直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；正棱臺的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形.(3)旋轉(zhuǎn)體的展開圖圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，矩形的長(或?qū)?是底面圓周長，寬(或長)是圓柱的母線長；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑長是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；圓臺

26、的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長.注：圓錐中母線長l與底面半徑r和展開圖扇形中半徑和弧長間的關(guān)系及符號容易混淆，同學(xué)們應(yīng)多動11手推導(dǎo)，加深理解.圓錐和圓臺的側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=2cl和S圓臺側(cè)=2(c+c)l與三角形和梯形的面積公式在形式上相同，可將二者聯(lián)系起來記憶.2 .空間幾何體的表面積的計算方法有關(guān)空間幾何體的表面積的計算通常是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，這是解決立體幾何問題常用的基本方法.(1)棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積可以分別求各面面積，再求和，對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式；(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算其側(cè)面積時需

27、將曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.3 .空間幾何體的體積的計算方法(1)計算柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.(2)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、還臺為錐法等，它們是計算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法，應(yīng)熟練掌握.(3)利用三棱錐的等體積性”可以解決一些點(diǎn)到平面的距離問題，即將點(diǎn)到平面的距離視為一個三棱錐的高，通過將其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助體積的不變性解決問題.4 .由幾何體的三視圖求幾何體的表面積與體積問題，一般按如下

28、三個步驟求解：(1)由三視圖想象出原幾何體的形狀；(2)由三視圖給出的數(shù)量關(guān)系確定原幾何體的數(shù)量關(guān)系；(3)如果是規(guī)則幾何體，直接代入公式求解，如果不是規(guī)則幾何體，通過割補(bǔ)”后，轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求解.課時作業(yè)|查漏撲缺拓展延伸1.已知圓錐的正視圖是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐體積為()A.2B.、/2tiC.|Da/3tt23解：易知圓錐的底面直徑為2,母線長為2,則該圓錐的高為后不=73,因此其體積是kM3=|Jt.33故選C.2 .一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是&3,乖,則這個長方體的體對角線的長是()A.2mB.3V2C.6D善解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則有ab

29、=R2r2=當(dāng)，SC為球O的直徑？點(diǎn)S11326_2V=SaabcX2d=xV七.33436解法二：V4/2+1X8X5=40+24/2.個高為x的內(nèi)接圓柱.當(dāng)x為何值時,11 .一個圓錐的底面半徑為R=2,高為H=6,在這個圓錐內(nèi)部有圓柱的表面積最大？最大值是多少？解：如圖是圓錐的軸截面，設(shè)圓柱的底面半徑為r,則RR=Hx，解得 r=R 一皋=2-1x.圓柱的表面積S= 2 兀？ - 3x + 2 兀？ 一13x.S是x的二次函數(shù)，且開口向下.3.Jx= 3時，S取得最大值9兀.附加逋（2013湖北）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為Vi, V2

30、, V3, V4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有正視圖側(cè)規(guī)圖楣f視圖A.V1V2V4V3B,V1V3V2V4C.V2V1V3V4D.V2V3V11x計44T兀3,、7兀一.2_3.1，/、28.+4nt)=,V2=兀X1X2=2&V3=2=8,V4=%X1X(4+-4M6+16)=%.綜上可知，V2V1V3V4.故選C.3338.3空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系考綱解讀|權(quán)成解讀科學(xué)預(yù)制1 .理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2 .了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.本節(jié)內(nèi)容在高考中常以幾何體為載

31、體，考查平面的基本性質(zhì)、空間兩直線的位置關(guān)系的判定及運(yùn)用，特別是異面直線的概念、所成角的計算等.題型多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，有時也出現(xiàn)在解答題中，以此考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力.考點(diǎn)梳理學(xué)忠勤芯存實(shí)基地4 .平面的基本性質(zhì)(1)公理1:如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).它的作用是可用來證明點(diǎn)在平面內(nèi)或.(2)公理2:過上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.公理2的推論如下：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.公理2及其推論的作用是可用來確定一個平面，或用來證明點(diǎn)、線共面.(3)公理3:如果兩個

32、不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們過該點(diǎn)的公共直線.它的作用是可用來確定兩個平面的交線，或證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題.5 .空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類1相交直線：同一個平面內(nèi)有且只有產(chǎn)面直線;平行直線：同-個平面內(nèi).一鼻面直線：不同在任何一個平面內(nèi).(2)異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.注：異面直線定義中不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線”是指不可能找到一個平面能同時經(jīng)過這兩條直線”，也可以理解為既不平行也不相交的兩條直線”，但是不能理解為分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線”異面直線的畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行又不相交，也不共面的特點(diǎn)，常常需

33、要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性.異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a7/a,b7/b,把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).異面直線所成角的范圍是.若兩條異面直線所成的角是直角，則稱兩條異面直線,所以空間兩條直線垂直分為相交垂直和.6 .平行公理公理4:平行于的兩條直線互相平行(空間平行線的傳遞性).它給出了判斷空間兩條直線平行等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角.【自查自糾】1 .（1）兩點(diǎn)直線在平面內(nèi)（2）不在一條直線（3）有且只有一條2 .（1）一個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)（2）21互相垂直異面垂直3

34、.同一條直線4 .相等或互補(bǔ)基礎(chǔ)自測|小為全活牛刀小流D（2013安彳t）在下列命題中，不是公理的是（）A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行B.過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線解：公理是不需要證明的原始命題，而選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，故選A.國若/AOB=/A1O1B1,且OA/O1A1,OA與0小的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是（）A. OB/O1B1且方向相同B. OB/O1B1C.OB與O1B1不平行D. OB與O1B1不一定平行

35、解：兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，如圓錐的母線與軸的夾角.故選D.E1若點(diǎn)PC”，QC%RC&m,且REm,PQAm=M,過P,Q,R三點(diǎn)確定一個平面丫，則3n丫是（）A.直線QRB.直線PRC.直線RMD,以上均不正確解：1.PQnm=M,m?巴.MC0又MC平面PQR,即MC%故M是3與丫的公共點(diǎn).又R3,RC平面PQR,即RC%，R是3與丫的公共點(diǎn).3n產(chǎn)MR.故選C.H給出下列命題：空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線；空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面.其中正確命題的序號是.解：易知正

36、確.故填.目在空間四邊形ABCD中，已知E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF=5,又AD=6,BC=8,則AD與BC所成角的大小是.解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)G,連接EG,GF,根據(jù)題意有EG/AD,GF/BC,.直線AD與BC所成11的角與直線EG與GF的夾角相等，即/EGFJC-AD=6,BC=8,.EG=2AD=3,GF=/BC=4,在EGF中，EF=5,，EF2=EG2+GF2.，/EGF=90,則異面直線AD與BC所成的角為90.故填90.典例解析分矣解析觸類套通類型一基本概念與性質(zhì)問題如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD，底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是()A. ACX

37、SBB. AB/平面SCDC. SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D. AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解：由線面垂直關(guān)系知AC,SB.由線面平行判定知AB/平面SCD.由圖形對稱性知C也正確.對于選項(xiàng)D,AB與SC所成的角為ZSCD,DC與SA所成的角為ZSAB=90,，D錯.故選D.【評析】此題雖是小題，但對空間中的線與線和線與面的關(guān)系的考查卻很深刻，除用常規(guī)的方法證明垂直與平行外，對運(yùn)用線面角、異面直線所成角和二面角的定義證題的方法也要熟練掌握，否則此題若建系求解，就會造成小題大作”，浪費(fèi)時間.變式如圖，已知正方體 ABCD-ABCD.(1)哪些棱所在直線與直線

38、 BA是異面直線?(2)直線BA和CC的夾角是多少？哪些棱所在的直線與直線AA垂直？解：(1)由異面直線的定義可知，棱 AD(2)由BB 7/ CC可知，/ BBA為異面直線 45.(3)直線 AB, BC, CD, DA, AB； BC,DC, CC, DD, DC, BC所在直線分別與直線 BA是異面直線.BA與CC的夾角，/BBA= 45,所以直線 BA與CC的夾角為CD； DA分別與直線 AA垂直.類型二點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題如圖，E, F, G, H分別是空間四邊形內(nèi)AB, BC, CD , DA上的點(diǎn)，且 EH與FG交于點(diǎn)O.求證：B,D,。三點(diǎn)共線.證明：二.點(diǎn)EC平面ABD,點(diǎn)HC

39、平面ABD,EH?平面ABD. EHAFG=O, 點(diǎn)OC平面ABD.同理可證點(diǎn)OC平面BCD. 點(diǎn)Oe平面ABDn平面BCD=BD.即B,D,O三點(diǎn)共線.【評析】（1）本題是一道經(jīng)典的點(diǎn)共線問題，它體現(xiàn)了證明點(diǎn)共線的基本思路：首先由其中的兩個點(diǎn)B和D確定一條直線，然后證明點(diǎn)O也是直線BD上的點(diǎn)，也就是證明點(diǎn)O是兩個平面的交線上的點(diǎn).在證明點(diǎn)O也是直線BD上的點(diǎn)時，運(yùn)用了公理1以及公理3,這種方法是證明點(diǎn)共線的通用方法.（2）證明空間三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上，如變式2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,AAi的中點(diǎn).求證：（1）EF/D1C；(2)CE,D1F,DA三線共點(diǎn).證明：(1)連接AB,則EF/A1B,A1B/D1C.EF/D1C.(2),.面DAA面CA=DA,1且EF/DC,EF=2D1C,D1F與CE相交.又DF?面D1A,CE?面AC,D1F與CE的交點(diǎn)必在DA上.CE,DF,DA三線共點(diǎn).類型三共面問題如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，/BAD=ZFAB=90,BC觸；AD,BE觸2FA,G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).B(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？解：(1)證明：GH是4AFD的中位線，GH觸2a