理論力學(xué)第七章

1、第七章：非線性力學(xué)簡介非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念 任意擺角情況下單擺的運動 則則( )f x是線性的；是線性的；( )g x為非線性，則為非線性，則1212()( )()g xxg xg x( )f x若若滿足滿足1212()( )()f xxf xf x若若自由單擺的運動方程：自由單擺的運動方程：lmONA22sindgdtl 當(dāng)當(dāng) 很小，很小，線性近似：線性近似：22dgdtl (sin )lmONA若若 為為任意值，任意值，故自由單擺為非線性振動系統(tǒng)：故自由單擺為非線性振動系統(tǒng)：22sindgdtl (sin )ddt令令，以及，以及000,t 2220022cos1 cos2gl

2、積分積分上式可得上式可得方程解的非唯一性方程解的非唯一性1. 設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為 0= 0，進(jìn)行運動進(jìn)行運動分析：分析：在在最高點最高點 = ， = 0，0ddtlmONA則其解為則其解為204gl0cos2 最高點位非最高點位非穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡點，可能點，可能出現(xiàn)三種運動情況：出現(xiàn)三種運動情況：a. 停留在該頂點，爾后徑直下落；停留在該頂點，爾后徑直下落； b. 調(diào)頭沿原路返回；調(diào)頭沿原路返回；c. 越過該頂點繼續(xù)向前運動。越過該頂點繼續(xù)向前運動。 lmONA最高點最高點( = )，非穩(wěn)平衡，非穩(wěn)平衡，運動非唯一性。運動非唯一性。結(jié)論：結(jié)論：對于一個非線性系統(tǒng)，在確定的對于一個非線性系

3、統(tǒng)，在確定的初始條件下初始條件下，其解可能具有不可預(yù)測的隨機性。其解可能具有不可預(yù)測的隨機性。相圖相圖描述系統(tǒng)運動的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。描述系統(tǒng)運動的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。例：例：小角度線性單擺（簡諧振動小角度線性單擺（簡諧振動）2220ddt cos ,sinAtAt 單擺一般運動的相圖單擺一般運動的相圖0sin 22sindgdtl dddtddddtd 因此，單擺運動方程（因此，單擺運動方程（1 1）可表達(dá)為相空間）可表達(dá)為相空間 ( ( ， ) )的軌道微分方程：的軌道微分方程：0sindd對角度對角度 做積分得做積分得Ecos1212上式中上式中E是積分常數(shù)，方程表述了單擺能量

4、守恒是積分常數(shù)，方程表述了單擺能量守恒定律：等式左端第一項是系統(tǒng)的動能，第二項是定律：等式左端第一項是系統(tǒng)的動能，第二項是勢能，右端積分常數(shù)勢能，右端積分常數(shù)E是總能量。是總能量。定義常數(shù)：定義常數(shù)：2/Ek 衡量單擺運動的大小或強度衡量單擺運動的大小或強度積分方程變?yōu)榉e分方程變?yōu)?22cos121k對于每個對于每個k值，上述方程給出值，上述方程給出了了（ , ）相平面上的運動軌相平面上的運動軌道，如右圖所示。圖中青色軌道，如右圖所示。圖中青色軌道對應(yīng)道對應(yīng)k=0.2，藍(lán)色，藍(lán)色k=0.5，紅，紅虛線虛線k=1，黑色，黑色k=1.2。圖中的。圖中的原點（原點（0，0）對應(yīng)）對應(yīng)k=0，是系，是

5、系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。當(dāng)當(dāng) k1時，時，q和和w均為小量，方程于是可近似為均為小量，方程于是可近似為2222k即相軌道近乎半徑為即相軌道近乎半徑為2k的圓。隨著的圓。隨著k的增大，軌道的增大，軌道方程所圍區(qū)域擴大，軌道形狀也逐漸偏離圓形。但方程所圍區(qū)域擴大，軌道形狀也逐漸偏離圓形。但只要能量足夠小乃致只要能量足夠小乃致k1，軌道仍是環(huán)繞平衡點，軌道仍是環(huán)繞平衡點(0,0)而閉合曲線。在此情形下，擺角而閉合曲線。在此情形下，擺角|1，則，則表明，角頻率表明，角頻率要么恒負(fù)，要么恒正，即單擺的質(zhì)要么恒負(fù)，要么恒正，即單擺的質(zhì)點作圍繞支點的順時針或反時針旋轉(zhuǎn)運動點作圍繞支點的順時針或反

6、時針旋轉(zhuǎn)運動在此情形下，質(zhì)點即使運動到在此情形下，質(zhì)點即使運動到=的最高點也具的最高點也具一定的角速度，驅(qū)使其繼續(xù)往原方向轉(zhuǎn)動。所以，一定的角速度，驅(qū)使其繼續(xù)往原方向轉(zhuǎn)動。所以，k=1的軌道是單擺擺動與轉(zhuǎn)動的分界線的軌道是單擺擺動與轉(zhuǎn)動的分界線自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng) 不顯含時間不顯含時間 t 的動力學(xué)方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含的動力學(xué)方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含時間時間 t 的動力學(xué)方程稱為非自治系統(tǒng)。的動力學(xué)方程稱為非自治系統(tǒng)。 2 由線性單擺方程可得由線性單擺方程可得不顯含不顯含 t ，在二維相空間中為自治系統(tǒng)。，在二維相空間中為自治系統(tǒng)。（角諧振動）（角諧振動）受阻受阻力和周

7、期策動力作用的非線性單擺力和周期策動力作用的非線性單擺方程方程sincosgFtmlml 顯含顯含 t ，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。引入新變量引入新變量 = t ，可將方程化為三維可將方程化為三維相空間中的自治系相空間中的自治系統(tǒng)：統(tǒng)：sincosgFmlml 自治系統(tǒng)的相空間與相軌線自治系統(tǒng)的相空間與相軌線一個自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會相交，一個自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會相交，即通過每一相點的軌線是唯一的。即通過每一相點的軌線是唯一的。 而非自治系統(tǒng)中相軌線則會相交。如上述系統(tǒng)在二而非自治系統(tǒng)中相軌線則會相交。如上述系統(tǒng)在二維維 相平面相平面上相軌

8、線有相交情況。上相軌線有相交情況。()Poincare 截面圖截面圖 若若沿沿 方向方向截取截取一截面一截面，則根，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個截?fù)?jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個截面上只有一個交點，即相軌線面上只有一個交點，即相軌線一次性的穿過每一個截面。一次性的穿過每一個截面。 2n相軌線環(huán)形相空間相軌線2n2(1)n2三維相空間因因 ，若以若以2 為周長，將為周長，將相空間彎成相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為稱為龐加萊截面龐加萊截面。2tn 通過分析相軌線通過分析相軌線在龐加萊截面在龐加萊截面上的交點的上的交點的分布分布規(guī)律規(guī)律

9、，就可了解到在長時間周期性的演變，就可了解到在長時間周期性的演變過程過程 中系統(tǒng)的運動規(guī)律。中系統(tǒng)的運動規(guī)律。阻尼運動阻尼運動周期運動周期運動多周期運動多周期運動混沌運動混沌運動時間序列時間序列相圖相圖討論：討論：單周期振動，每隔單周期振動，每隔2 運動狀態(tài)復(fù)原，即運動狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同一點相軌線每次都從同一點穿過龐加萊截面穿過龐加萊截面，在龐加萊截面圖在龐加萊截面圖上只有一個不動點；上只有一個不動點；運動無周期性，運動無周期性，則龐加萊截面圖則龐加萊截面圖上有無窮多個點。上有無窮多個點。 倍周期的運動倍周期的運動，龐加萊截面圖，龐加萊截面圖上有上有兩個不動點；兩個不動點； 確定性系

10、統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性在一個確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性在一個確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性性質(zhì)所產(chǎn)生的運動隨機性稱為確定性系統(tǒng)的性質(zhì)所產(chǎn)生的運動隨機性稱為確定性系統(tǒng)的內(nèi)在內(nèi)在隨機性隨機性。 例如，上述非線性單擺的運動。例如，上述非線性單擺的運動。支配整個系統(tǒng)運動的因素是嚴(yán)格確定的（具有確支配整個系統(tǒng)運動的因素是嚴(yán)格確定的（具有確定的運動方程），系統(tǒng)完全不存在隨機力的作用。定的運動方程），系統(tǒng)完全不存在隨機力的作用。然而經(jīng)過時間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)然而經(jīng)過時間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)了隨機行為，產(chǎn)生出完全不可預(yù)測的、極為復(fù)雜的了隨機行為，產(chǎn)生出完全不可預(yù)測的、極為復(fù)雜的結(jié)果

11、來，最后得到一條完全隨機的運動軌道。結(jié)果來，最后得到一條完全隨機的運動軌道。 混沌的發(fā)現(xiàn)19611961年冬的一天，美國麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛年冬的一天，美國麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛德華德華洛侖茲在計算機上模擬天氣情況，他的真空洛侖茲在計算機上模擬天氣情況，他的真空管計算機速度約每秒做管計算機速度約每秒做6 6次乘法。次乘法。經(jīng)簡化后的洛侖茲氣象模型為經(jīng)簡化后的洛侖茲氣象模型為()()xyxyrz xyzxybz蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)在確定性的非線性動態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似隨機的、不能預(yù)測的運動,它對初始條件有極其強烈的敏感性。 為省時間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸為省時間，洛侖茲將上次記錄

12、的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計算的后半段結(jié)果，入重新計算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計算機然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計算機卻偏離了上次的結(jié)果。卻偏離了上次的結(jié)果。他第二次輸入時去掉了小數(shù)點后面三位：他第二次輸入時去掉了小數(shù)點后面三位：0.5061270.506混沌的初值敏感性混沌的初值敏感性x, ,z 的時間演化序列，初始值的時間演化序列，初始值 x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10 x, ,z 時間序列，初始值時間序列，初始值 x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10.01微小初始值對應(yīng)的相軌道

13、比較x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10 x(0)=1.01; y(0)=1; z(0)=10 蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵；丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國。輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國?！扒Ю镏?，潰于蟻穴千里之堤，潰于蟻穴”“失之毫厘，謬以千里失之毫厘，謬以千里” 埃文埃文泰瑞博泰瑞博( (艾什頓艾什頓庫奇飾庫奇飾) )是是一個平平無奇的大學(xué)生，唯一和普通人一個平平無奇的大學(xué)生，

14、唯一和普通人不同的是從童年時代起，就有心理學(xué)家不同的是從童年時代起，就有心理學(xué)家不停記錄他每日生活中的全部細(xì)節(jié)。某不停記錄他每日生活中的全部細(xì)節(jié)。某天，埃文忽然讀到了那些記錄中的一部天，埃文忽然讀到了那些記錄中的一部分，頓時，那些已經(jīng)被他自己埋葬在內(nèi)分，頓時，那些已經(jīng)被他自己埋葬在內(nèi)心最深處許多年的黑暗記憶又再次被喚心最深處許多年的黑暗記憶又再次被喚醒，那是改變了他整個少年時代的不堪醒，那是改變了他整個少年時代的不堪回首往事。機緣巧合，埃文忽然發(fā)現(xiàn)自回首往事。機緣巧合，埃文忽然發(fā)現(xiàn)自己可以通過一直擱在床下那些寫著當(dāng)年己可以通過一直擱在床下那些寫著當(dāng)年記錄的筆記本回到過去，進(jìn)入自己當(dāng)年記錄的筆記

15、本回到過去，進(jìn)入自己當(dāng)年的身體。也許這些落滿灰塵的筆記本可的身體。也許這些落滿灰塵的筆記本可以讓他從此擺脫所有不愉快的記憶，抱以讓他從此擺脫所有不愉快的記憶，抱著這樣的想法，埃文回到過去，力圖改著這樣的想法，埃文回到過去，力圖改寫歷史，以為這樣就可以治愈他受傷的寫歷史，以為這樣就可以治愈他受傷的記憶，讓他和所愛的人們能從此之后幸記憶，讓他和所愛的人們能從此之后幸福生活。福生活。 他制定出無懈可擊計劃，執(zhí)行起來也他制定出無懈可擊計劃，執(zhí)行起來也小心翼翼。但等他一旦回到現(xiàn)實，卻發(fā)小心翼翼。但等他一旦回到現(xiàn)實，卻發(fā)現(xiàn)一切都已面目全非。他的行為已經(jīng)造現(xiàn)一切都已面目全非。他的行為已經(jīng)造成了損失慘重的改變

16、，而他最親密的那成了損失慘重的改變，而他最親密的那些朋友的生活已經(jīng)南轅北轍。些朋友的生活已經(jīng)南轅北轍。從不同的角度看從不同的角度看Lorenz吸引子吸引子從不同的角度看從不同的角度看Lorenz吸引子吸引子Lorenz 吸引子的吸引子的 Poincare 截面截面人人( (蟲蟲) )口模型：口模型：Logistic equationxx馬爾薩斯人口論馬爾薩斯人口論texx02xxxtcex人人( (蟲蟲) )口模型：口模型：Logistic equationr = 2r = 3.329r = 3.5r = 3.9人人( (蟲蟲) )口模型：口模型：Logistic equation人人( (蟲

17、蟲) )口模型：口模型：Logistic equation31混沌混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性 利用最簡單的非線性方程作進(jìn)一步分析：利用最簡單的非線性方程作進(jìn)一步分析：21yx -拋物線方程拋物線方程 1,nnyxxx，得拋物線形迭代方程，得拋物線形迭代方程 令令2110,2, 1,1nnnxxx 在整個區(qū)間取值迭代便在整個區(qū)間取值迭代便得出由周期運動到倍周得出由周期運動到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個演化過程。態(tài)的整個演化過程。 nx1. 混沌的演化（通向混沌的道路）混沌的演化（通向混沌的道路）32倍周期分岔序列：倍周期分岔序列：12482n .

18、當(dāng)當(dāng)n，則解的數(shù)目，則解的數(shù)目，意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混，意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。將混沌開始時對應(yīng)的沌狀態(tài)。將混沌開始時對應(yīng)的 記為記為 ( =1.40115518909205 )。nx2. 混沌區(qū)的結(jié)構(gòu)混沌區(qū)的結(jié)構(gòu) a. 窗口窗口 在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運動。的周期性運動。窗口中包含著與整體窗口中包含著與整體完全相似的結(jié)構(gòu)。完全相似的結(jié)構(gòu)。周期三窗口周期三窗口通向混沌的其它道路通向混沌的其它道路準(zhǔn)周期道路：平衡態(tài)準(zhǔn)周期道路：平衡態(tài)周期周期準(zhǔn)周期準(zhǔn)周期混沌混沌.陣發(fā)混沌道路陣發(fā)混沌道路1框內(nèi)部分放大得下頁圖框內(nèi)部分放大得下頁圖框內(nèi)再放大得下頁圖框內(nèi)再放大得下頁圖23123混沌

19、內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)混沌運動的刻畫：混沌運動的刻畫：Lyapunov 指數(shù)指數(shù)看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)構(gòu)。任何局部的小區(qū)域都包含著整體的信息，具有與任何局部的小區(qū)域都包含著整體的信息，具有與整體完全相似的規(guī)律。整體完全相似的規(guī)律。 在混沌內(nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)在混沌內(nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)構(gòu)稱為構(gòu)稱為自相似性自相似性。從拓?fù)淇臻g上來講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是從拓?fù)淇臻g上來講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是整數(shù)維，而是分?jǐn)?shù)維的，也就是具有整數(shù)維，而是分?jǐn)?shù)維的，也就是具有分形分形的性質(zhì)。的性質(zhì)。

20、 自相似自相似結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)普適性普適性 若將第若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時對應(yīng)的參倍周期分岔（或混沌帶合并）時對應(yīng)的參數(shù)數(shù) 記為記為 n，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之比趨于同一個常數(shù)：比趨于同一個常數(shù)：11lim4.66920160910299067nnnnn注意：注意：常數(shù)常數(shù) 并不只并不只限限于于logistic map，而是對所有而是對所有同一類的變換，所得的同一類的變換，所得的 值都精確地相同。值都精確地相同。 的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個系統(tǒng)的其他具體細(xì)節(jié)無關(guān)。各個系統(tǒng)的其他具體細(xì)節(jié)無關(guān)

21、。反映出混沌演化過程中所存在的一種反映出混沌演化過程中所存在的一種普適性普適性，是是混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個側(cè)面反映。混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個側(cè)面反映。 費根鮑姆常數(shù)費根鮑姆常數(shù)在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各對周期點之間的距離之比，以及第相鄰兩次周期分對周期點之間的距離之比，以及第相鄰兩次周期分岔中的各對周期點之間的距離之比又趨于另一個常岔中的各對周期點之間的距離之比又趨于另一個常數(shù)數(shù) ，稱為，稱為標(biāo)度因子標(biāo)度因子或或普適常數(shù)普適常數(shù): = 2.5029078750958928普適常數(shù)普適常數(shù) nx123混沌區(qū)123a2a1a例如，圖中例如

22、，圖中1lim=2.5029078750958928nnnaa注意：當(dāng)不滿足注意：當(dāng)不滿足n ，則比值只是近似的。，則比值只是近似的。討論討論相同的相同的常數(shù)常數(shù) 和和 出現(xiàn)在不同的非線性系統(tǒng)之中，出現(xiàn)在不同的非線性系統(tǒng)之中，充分顯示出非線性系統(tǒng)中存在的某種共性，說明通充分顯示出非線性系統(tǒng)中存在的某種共性，說明通往混沌的道路是有確定的規(guī)律可循的。往混沌的道路是有確定的規(guī)律可循的?；煦绗F(xiàn)象是確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機行為，是非混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機行為，是非線性系統(tǒng)的一種固有屬性。線性系統(tǒng)的一種固有屬性。 經(jīng)典力學(xué)的觀點并不能理解內(nèi)在隨機性。經(jīng)典力學(xué)的觀點并不能理解內(nèi)在隨機性。按照牛頓決定

23、論的觀念，一個沒有外來隨機因素按照牛頓決定論的觀念，一個沒有外來隨機因素影響的確定性系統(tǒng)，其運動的規(guī)律也必然是確定的。影響的確定性系統(tǒng)，其運動的規(guī)律也必然是確定的。就是說，只要初始條件給定，則系統(tǒng)在以后任一時就是說，只要初始條件給定，則系統(tǒng)在以后任一時刻的運動狀態(tài)都是完全可以預(yù)見的，決不可能出現(xiàn)刻的運動狀態(tài)都是完全可以預(yù)見的，決不可能出現(xiàn)任何任何“越軌越軌”的隨機行為。的隨機行為。 空間非線性迭代生成分形圖案：Mandelbrot集czznn21曼德勃羅集合：上述方程在復(fù)平面上經(jīng)過無窮次迭上述方程在復(fù)平面上經(jīng)過無窮次迭代后不會逃逸到無窮遠(yuǎn)處的點的集合代后不會逃逸到無窮遠(yuǎn)處的點的集合Mandelbrot set: This set is defined as the collection o