概率統(tǒng)計(jì)課件35兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1、第五節(jié)第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 小結(jié)小結(jié) ZXY2022-4-13一般，先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，然后將其一般，先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，然后將其 推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形。推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形。 在在多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量中需討論：已知隨機(jī)變中需討論：已知隨機(jī)變 量量X1, X2, ,Xn 及其聯(lián)合分布，如何求及其聯(lián)合分布，如何求 出它們的函數(shù)：出它們的函數(shù)： Yi =gi (X1, X2, ,Xn ), i = 1, 2, m 的聯(lián)合分布。的聯(lián)合分布。 研究的問題

2、研究的問題在在一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量中討論了：已知隨機(jī)中討論了：已知隨機(jī)變量變量 X 及它的分布，如何求其函數(shù)及它的分布，如何求其函數(shù))(XgY 的分布。的分布。2022-4-13一一. Z=X+Y 的分布的分布(和的分布和的分布)設(shè)設(shè) ( X, Y )的概率密度為的概率密度為 f( x, y). 則則 Z= X + Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:( )()( , )Zxy zFzP Zzf x y dxdy ( , )zxdxf x y dy ( ,)zdxf x ux du固定固定 z 和和 x , 對(duì)內(nèi)層積分對(duì)內(nèi)層積分作變量替換作變量替換 y= u x( ,)zf x ux dx du

3、累累次次積積分分是直線是直線x+y =z 左下方左下方的半平的半平面面xyz交換交換積分積分次序次序2022-4-13,)(求導(dǎo)求導(dǎo)對(duì)對(duì)zFZ得得 Z=X+Y 的概率密度為的概率密度為:( )( ,)Zfzf x zx dx ( )(, )Zfzf zy y dy 注注: 當(dāng)當(dāng) X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立時(shí)，則由時(shí)，則由( , )( )( )XYf x yfxfy( )( )()ZXYfzfxfzx dx ( )()( )ZXYfzfzyfy dy 或或稱為稱為卷積公式卷積公式記為：記為：XYff ()( )( )()XYXYXYfffzy fy dyfx fzx dx由由 X 和和 Y 的對(duì)

4、稱性，的對(duì)稱性， fZ (z)又可寫為：又可寫為： 有有:( )( )()ZXYfzfx fzx dx 22122212()()221211() ()22xzxeedx 22122212()()221212xzxedx 2022-4-13例例1. 設(shè)設(shè) X 和和 Y相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且211(,)XN 222(,)YN 求求：Z = X + Y 的概率密度的概率密度解解: 利用利用卷積公式卷積公式：2022-4-132122212()2()221212ze 222221221121221212()ztx 令令: :221212dtd x dxeezxz 22221212

5、21122222122212221221)(2)(2)(2121 2022-4-13 結(jié)論結(jié)論:推廣推廣到到 n 個(gè)相互獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和，即：個(gè)相互獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和，即： 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 和和 Y 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且211(,)XN 222(,)YN 221212(,)ZXYN 則它們的則它們的和和仍服從正態(tài)分布，仍服從正態(tài)分布，即：即：2(,)1,2,3,iiiXNin 且它們相互獨(dú)且它們相互獨(dú)立，則它們的立，則它們的和和仍服從正態(tài)分布。即有：仍服從正態(tài)分布。即有： 更更一般一般的有：有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的的有：有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的的的線性組合線性組

6、合仍然服從正態(tài)分布。仍然服從正態(tài)分布。),(222212121nnnNXXX 2022-4-13例例2.,21分布分布的的且服從參數(shù)為且服從參數(shù)為相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)設(shè) YX且且 X, Y 的概率密度分別為的概率密度分別為: )(xfX11110()00 xxexx 1(0,0)求求: Z = X + Y 的分布的分布( )Yfy 2(0,0)21120()00yyeyy 2022-4-13解解:( )( )()ZXYfzfxfzx dx 121211()012() ()()()zxzxxexedx 121211012()()()zzexzxdx ( )0Zfz 0z 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0z 當(dāng)當(dāng)

7、時(shí)，時(shí)，2211211111102()(1)ztetztd 令：令：xz t 從從x0z2022-4-131212112()()zez 1212121212() ()()()()zez 1212()112()zze 12(,)B Beta 函數(shù)定義：函數(shù)定義： B(m,n) =且且 B 函數(shù)與函數(shù)與 函數(shù)之間有關(guān)系式：函數(shù)之間有關(guān)系式：dxxxnm1101)1( ,0,0mn)()()(),(nmnmnmB 2022-4-1312121120( )()00zZzezfzz 12(,0,0) 結(jié)論結(jié)論:,21相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若nXXX服從服從且且iX,分布分布的的參數(shù)為參數(shù)為 i從而得：從而得

8、：12, 12, 布，則它們的布，則它們的和和仍服從參數(shù)為仍服從參數(shù)為 ,X Y若若 相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的的 分分的的 分布分布 推廣推廣：12nXXX服從參數(shù)為服從參數(shù)為.,1分布分布的的 nii則其和則其和2022-4-132212102()( )200nnxXxexnfxx 此時(shí)則此時(shí)則稱稱 X 服從自由度為服從自由度為 n 的的開平方分布開平方分布，記，記為：為：)(2nX 分布分布服從服從)(222221nYYYXn 1211,22n特別特別當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，12nXXXX的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：(0,1)N1,nYY若若 相互獨(dú)立，并均服從相互獨(dú)立，并均服

9、從, 則則正態(tài)分布的和仍服從正態(tài)分布；而正態(tài)分布的平方和和卻服從正態(tài)分布的和仍服從正態(tài)分布；而正態(tài)分布的平方和和卻服從 分布分布2 2022-4-13 例例3.求求: Z = X + Y 的分布的分布解解:(服從泊松分布服從泊松分布)，且且 X, Y 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。12(),()XY 設(shè)設(shè)0, 1, 2,XY與與 的取值均為：的取值均為：kZ的取值也為非負(fù)的整數(shù)的取值也為非負(fù)的整數(shù)()()P ZkP XYk(0,)(1,1)(,0)P XYkP XYkP Xk Y(0) ()(1) (1)() (0)P XP YkP XP YkP Xk P Y因?yàn)橐驗(yàn)?X與與Y 相相互獨(dú)立互獨(dú)立2022

10、-4-1322121112121!1!(1)!kkkeeeeeekkk 12()121211!1!kkkkek 12()121()!kek12()12()!kek 結(jié)論結(jié)論:服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，且的泊松分布，且若若,X Y12, 12()Z X, Y 相互獨(dú)立。則它們的和服從參數(shù)為相互獨(dú)立。則它們的和服從參數(shù)為 泊松分布，即：泊松分布，即：12() 2022-4-13例例4. 若若X 和和 Y 相互相互獨(dú)立獨(dú)立，具有具有相相同的概率密度同的概率密度：求：求：Z = X +Y 的概率密度的概率密度 101( )0 xf x 其其它它為確定積分限，先找出使被積函數(shù)不為為確定積分限，先

11、找出使被積函數(shù)不為 0 的區(qū)域的區(qū)域 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx 由卷積公式：由卷積公式：0101xzx 也即也即011xzxz 解解:由已知：由已知：2022-4-1301101( )2120zZzdxzzfzdxzz 其其它它 于是得：于是得：如圖示如圖示:011xzxz 區(qū)域區(qū)域2022-4-13例例1 例例3說明說明：不論是連續(xù)型隨機(jī)變量還是離：不論是連續(xù)型隨機(jī)變量還是離散型隨機(jī)變量，如果它們服從正態(tài)分布散型隨機(jī)變量，如果它們服從正態(tài)分布, 分布分布或泊松分布，那么它們的和也仍然服從正態(tài)或泊松分布，那么它們的和也仍然服從正態(tài), 分布或泊松分布，并且參數(shù)是單個(gè)參數(shù)之相加

12、分布或泊松分布，并且參數(shù)是單個(gè)參數(shù)之相加,具有這種性質(zhì)的隨機(jī)變量也具有這種性質(zhì)的隨機(jī)變量也稱稱其為滿足或具有其為滿足或具有可加性可加性的隨機(jī)變量。的隨機(jī)變量。 歸納歸納 求解例求解例1 例例3過程中知：過程中知： 在求隨機(jī)向量在求隨機(jī)向量( X, Y ) 的函數(shù)的函數(shù) Z = g( X, Y ) 的分布時(shí)，的分布時(shí)，關(guān)鍵是關(guān)鍵是設(shè)法將其設(shè)法將其 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為( X, Y )在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利 用已知的分布求出用已知的分布求出 Z = g( X, Y ) 的分布。的分布。2022-4-13 二二. 的分布的分布 (商的分布商的分布) XZY 設(shè)設(shè) ( X

13、, Y ) 的概率密度為的概率密度為 f( x, y )則則 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: XZY 21)()(GGZzZPzF10( , )( , )yzGf x y dxdydyf x y dx 0(, )zdyy f yu y du xzy xy01G2G1:G對(duì)于對(duì)于固定固定 z, y 令令:yxu )0( y0(, )zy f yu ydydu 2022-4-13:2G對(duì)對(duì)(0)xuyy令令同樣有同樣有:2( , )Gf x y dxdy 0(, )zy f yu y dydu 故有故有:12( )zGGF z 00(, )(, )zy f yu y dyy f yu y dy du(

14、 )ZFzXZY 對(duì)對(duì) 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為: ( )Zfz 00(, )(, )y f yz y dyy f yz y dy (, )y f yz y dy 2022-4-13注注: 當(dāng)當(dāng) X, Y 相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí), 則有則有:( )()( )ZXYfzyfyzfy dy 的邊緣概率密度的邊緣概率密度關(guān)于關(guān)于關(guān)于關(guān)于為為YXYXyfxfYX,),()(),(例例5. 設(shè)設(shè) X, Y 的概率密度分別為的概率密度分別為:0( ),0 xexf x 其其它它220( )0yeyf y 其其它它并且并且 X, Y 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。XZY 求求： 的概率密度函數(shù)的概率密

15、度函數(shù) 2022-4-13解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?X, Y 的取值范圍分為大于零與小于等于零的取值范圍分為大于零與小于等于零兩段，所以兩段，所以 Z 的取值范圍也分為：的取值范圍也分為：00zz與與( )()( )0ZXYfzy fyz fy dy ( )()( )ZXYfzy fyz fy dy 0z 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)： 0z 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)： 202yzyy eedy 0() 0ydy 22(2) z 0)2(2dyyezy2022-4-13220(2)( )00Zzzfzz 三、三、M = max ( X, Y ) 及及 N = min( X, Y ) 的分布的分布最大值最大值和最小和最小值分布值分布

16、設(shè)設(shè)X，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布 函數(shù)分別為函數(shù)分別為FX ( x ) 和和FY ( y ) 所以得：所以得：求：求：M = max ( X, Y ) 及及 N = min ( X, Y ) 的分布函數(shù)的分布函數(shù).1. M = max ( X, Y ) 的分布的分布解：解：max(,)X YmXmYm和和因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?022-4-13max()()FmP Mm)()(mYPmXP )()(mFmFYX max()()()XYFmFmFm2. N = min ( X, Y ) 分布分布min( )()1()FnP NnP Nn1(,)P Xn

17、Yn所以：所以：(,)P Xm Ym 從而得：從而得：因?yàn)椋阂驗(yàn)椋河瑟?dú)立性由獨(dú)立性)(1 )(1 1nYPnXP )(1 )(1 1nFnFYX 2022-4-13min( )11( ) 1( )XYFnFnFn注注:(),iXiFx1,2,in 所以得：所以得：min( )Fnmax()Fm與與由由通過對(duì)其求導(dǎo)得相應(yīng)的通過對(duì)其求導(dǎo)得相應(yīng)的maxmin()( ).fmfn與與概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 推廣推廣：12,nXXXn是是 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為：量，它們的分布函數(shù)分別為：則：則：1212max(,)min(,)nnMXXXNXXX與與的分布函數(shù)分

18、別為的分布函數(shù)分別為:12max()()()()nXXXFmFmFmFm12min( )11( ) 1( )1( )nXXXFnFnFnFn2022-4-13max()( ) ,nFmF x min( )1 1( )nFnF n12,nXXX特別特別，當(dāng)，當(dāng)相互獨(dú)立且具有相同的相互獨(dú)立且具有相同的分布函數(shù)分布函數(shù) F(X) 時(shí)（即獨(dú)立同分布），則有：時(shí)（即獨(dú)立同分布），則有：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1, X2相互獨(dú)立，并且有相同的幾相互獨(dú)立，并且有相同的幾何分布，即何分布，即 P( Xi = k ) = p( 1 p ) k -1 , k=1, 2, ( i =1, 2) 例例6.求求： 的分布的分布12max(,)YXX 解解： 解法一解法一因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篜( Y = n ) = P( max( X1, X2) = n )2022-4-13= P( X1= n, X2n ) + P( X2 = n, X1 0 時(shí)時(shí) , 000 xtXFxdtedt 1xe 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 類似地類似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為于是于是 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 min,ZX Y = 1-1-FX(z)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0