積分中值定理的推廣和應用情形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上積分中值定理的推廣和應用積分中值定理的推廣定理和應用情形The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading andApplicationExtension theorem of integral mean value theorem and its application論文作者： 專 業(yè)： 指導老師： 完成時間： 摘 要積分中值定理和微分中值定理在微積分學中有著重要的地位，微分中值定理是研究函數(shù)的有力工具，反映了導數(shù)的局部性和與函數(shù)的整體性

2、之間的關系，而積分中值定理在證明有關中值問題時具有極其重要的作用。它是數(shù)學分析課程中定積分部分的一個基本定理之一。積分中值定理包括積分第一中值定理和積分第二中值定理,在之前的數(shù)學分析課程中我們已經(jīng)學習了這兩個定理的證明，但這兩個定理的推廣與應用尚未提及。在這里，我討論了積分第一中值定理和積分第二中值定并給出了這些定理的詳細證明過程，并且給出了集中推廣形式。在積分中值定理的應用方面，我給出了一些較簡單的情形如估計積分值，求含有定積分的極限，確定積分號等，并且通過列舉例題，加以歸納總結(jié)，并且充分體現(xiàn)積分中值定理在學習解題練習中的應用。The integral mean value theorem

3、and the differential mean value theorem play an important role in the calculus. Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function. It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays

4、a very important role in the proof of the mean value problem. It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis. The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals, we ha

5、ve learned the proof of the two theorems In the course of mathematical analysis. But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet. Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of thes

6、e theorems and I give the form of centralized generalizations here.In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on. And by citing examples, I summa

7、rized and fully reflect the integral mean value theorem in the application of learning problem solving exercises.關鍵詞：積分中值定理； 推廣； 應用Keyword: mean value theorem of integrals; extension; Application1 引言中值定理在數(shù)學分析中占有非常重要的地位，學好積分中值定理和微分中值定理能為進一步學好微積分理論打下堅實的基礎。積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。積分中值定理揭示了一

8、種將積分化為函數(shù)值，或者是將復雜函數(shù)的積分化為簡單函數(shù)的積分的方法， 是數(shù)學分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質(zhì)點、估計積分值等方面應用廣泛。本文將通過對積分中值定理的證明，給出了積分中值定理幾種推廣形式，同時給出了它們確定數(shù)列極限及函數(shù)極限等方面的應用,加深對這一定理的更深層次的理解。2 積分中值定理的證明2.1積分第一中值定理定理1 若 在上連續(xù)，則至少存在一點，使得.證 由于在上連續(xù)，因此存在最大值和最小值.由，使用積分不等式性質(zhì)得到，或.再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點，使得，即有 .定理2 若 在上連續(xù)，則至少存在一點，使得.證 由于在上連續(xù)，從而在上可積。設其原函數(shù)為

9、，則根據(jù)原函數(shù)存在定理可知，在上連續(xù)，且在上可導，由拉格朗日中值定理知存在一點使得，則得.顯然定理2的結(jié)論要強于定理1的結(jié)論,所以將積分第一中值定理敘述成定理2的形式更好一些。2.2積分第二中值定理積分第二中值定理則比積分第一中值定理更為精細,下面我同樣會給出積分第二中值定理與其證明。定理3 若 在上可積，在上單調(diào)且在上連續(xù)，那么存在一點，使得在上可積. 證 假設在上單調(diào)減少且非負，將區(qū)間分成幾部分，即而，記則：由于在上單調(diào)減少且非負，即 根據(jù)阿貝爾引理有：當時，有即：，所以，當時有：時成立的），而當時也成立。由介質(zhì)定理知連續(xù)函數(shù)在上某點處取得上、下確界之間的中間值即：  （2）令，

10、由于單調(diào)減少且非負，由（2）得：即 如果在a,b處不一定連續(xù)，則公式(1)可改寫成：如果在上具有連續(xù)導數(shù)，在上連續(xù)則上述定理可用一個比較簡單的方法證明，在證明的過程中主要使用分布積分法和積分第一中值定理。證 由于在連續(xù)，則為其原函數(shù)，現(xiàn)對使用分布積分，其中令對使用積分第一中值定理，所以 3積分中值定理的推廣3.1 積分第一中值定理的推廣定理4（定積分中值定理的推廣） 若在閉區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)，則在開區(qū)間上存在唯一一點使得。定理4是在加強了定理1和定理2的條件的基礎上得到的。證 利用微分中值定理來證明，令，因為在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導，而且，應用拉格朗日微分中值定理可得，在在內(nèi)至少存在一點

11、使即亦即定理5（定積分第一中值定理的推廣） 如果函數(shù)、在閉區(qū)間上可積，且在上不變號, 連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：。證 由于函數(shù)在閉區(qū)間上是可積函數(shù)，在上可積且不變號，令，很顯然，和在上連續(xù)。并且由柯西中值定理即可得到即，定理5即證。注：定理5的逆命題為：若函數(shù)在上連續(xù)且嚴格單調(diào)，且在上可積且不變號，則任意的一點，必存在，使得，且滿足3.2積分第二中值定理的推廣定理6 如果函數(shù)在閉區(qū)間上有界且可積，且在上單調(diào)，則也可積，且在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：。證 因為在可積，在上單調(diào)，故在有界且可測，所以在上可積。下證。（1）在上連續(xù)的情形。令，則，因為在上單調(diào)，可知在

12、是有界變差的，故存在，進而有又由在上連續(xù)，可得在上有最值。故可設所以有，則存在， ，所以（2）在上有界且可積情形。因為在上有界且可積，故是上的可測函數(shù)，所以對任意的，存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得在上，且，對于任意的，取及使得當時，有，由（1）知：，所以，對于任意有，故。定理7 特別的：（1）函數(shù)在上可積, 在上單調(diào)遞減,且，則存在，使得： （2）函數(shù)在上可積, 在上單調(diào)遞增，且，則存在，使得：4積分中值定理的應用因為積分中值定理可以使積分號去掉，簡化問題，在數(shù)學問題的解決中有很大的應用性，我在這里歸納整理，挑選列出了一些運用積分中值定理解決的數(shù)學問題估計積分值、求含有定積分的極限和確定積分符號

13、，并且列舉出一些典型例題和解法，來說明其應用性。4.1運用積分中值定理估計積分值例1：估計定積分的積分值。解：因為，所以，于是那么就可以估計出此定積分的積分值為例2：估計定積分的積分值。解：根據(jù)積分第一中值定理的推廣形式有，并且其中因為，所以有那么可以得出所以該定積分的積分估計值為4.2求含有定積分的極限例3：求的極限。解：根據(jù)積分中值定理可得 那么 例4：求的極限。解：如果直接運用積分中值定理那么得到。但是因為而不能判定。所以應進行下列計算：，其中為人意無窮小正數(shù)。對第一個積分使用積分第一中值定理的推廣形式，得到：；對于第二個積分：因為為人意無窮小正數(shù)，所以可得到積分的極

14、限：。注：解決此類的數(shù)學問題的關鍵是運用積分中值定理去掉積分符號，在運用時，要注意中值不僅由積分區(qū)間確定，還有限式中的自變量的趨近方式確定。4.3確定積分符號例5：確定積分的符號。解：，利用積分中值定理可得到：（其中）又因為在上不恒等于0，所以可得到積分。注：在解決確定積分符號的這類數(shù)學問題時，我們通常會把0作為上下限的中界點，然后把原積分寫成以0為中界點的兩個積分的和，如上題中的，然后化成一個積分的形式，最后再用積分中值定理確定積分的符號。5結(jié)論積分中值定理是數(shù)學分析中的一個基礎定理，所起到的重要作用是可以使積分號去掉，簡化問題。當題目中還有函數(shù)積分，或者要求證的結(jié)論中含有定積分，或者所求的

15、極限式中含有定積分時，就可以考慮使用積分中值定理去解決問題。我們學習的數(shù)學分析課程中并沒有提及積分中值定理的推廣和應用，在這里，我對積分第一中值定理和積分第二中值定理的幾種推廣形式進行了列舉和證明，并且列舉了三種推廣定理的運用情況估計積分值、求積分的極限、確定積分符號，并且舉例了5道例題給以具體的解答，對應用情形加以說明。在應用方面，還有證明積分不等式和判斷某些點的存在問題、判斷收斂情況、證明函數(shù)單調(diào)性等等，在這里我不加以說明。參考文獻1歐陽光中，朱學炎，金臨福，陳傳漳.數(shù)學分析(上冊)M.第三版.北京：高等教育出版社，2007年.2張筑生.數(shù)學分析新講M.北京:北京大學出版社,1990.92-95.3 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學分析講義M.第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47. 4李惜雯.數(shù)學分析例題解析及難點注釋M.西安:西安交通大學出版社,2004.311-313.5馬亞利.談積分中值定理中的位置M.陜西師范大學學報（自然