2020年高三理科數學一輪復習講義6.1【數列的概念及簡單表示法】

1、2020年高三理科數學一輪復習講義6.1【數列的概念及簡單表示法】最新考綱1 .了解數列的概念和幾種簡單的表示方法 （列表、圖象、通項公式）；2 .了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數知識梳理1 .數列的定義按照一定順序排列著的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫做這個數列的項2 .數列的分類分類標準滿足條件項數后窮數列項數有限無窮數列項數無限項與項間的大小關系遞增數列an+ 12_ an*其中nC N遞減數列an+ 1二_ an常數列an + 1 = an擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列3 .數列的表示法數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

2、4 .數列的通項公式（1）通項公式：如果婁列an的第n項an與序號n之間的關系可以用一個式子an=f（n）來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式.（2）遞推公式：如果已知數列an的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式微點提醒 S1, n=1，1 .右數列an的刖n項和為Sn ,通項公式為an,則an = iSnSn 1, n2.2 .數列是按一定“次序”排列的一列數，一個數列不僅與構成它的“數”有關， 而且還與這些“數”的排列順序有關.3 .易混項與項數的概念，數列的項是

3、指數列中某一確定的數，而項數是指數列的項對應的位置序號基礎自測疑愛辨析1 .判斷下列結論正誤(在括號內打”或“X”)(1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列.()(2)1, 1, 1, 1,，不能構成一個數列.()(3)任何一個數列不是遞增數列，就是遞減數列.()(4)如果數列an的前n項和為Sn,則對任意nC N *,都有an+1 = Sn+1-Sn.()解析 (1)數列：1, 2, 3和數列：3, 2, 1是不同的數列 (2)數列中的數是可以重復的，可以構成數列 (3)數列可以是常數列或擺動數列答案(1)X (2)X (3)X (4)V2.(必修5P33A4改編)在數列an中,a

4、 = 1,一(T)n an 1 +an 1(n2),則a5等于(3A.25B.38C.5解析a2 = 1 +=2, a3 = 1 +a1a231一2a5= 1 +(1) 5a423.18答案 D3.(必修5P33A5改編)根據下面的圖形及相應的點數，寫出點數構成的數列的一個通項公式an =解析 由 a1=1 = 5X14, a2=6=5X2-4, a3= 11= 5X 3-4,，歸納 an=5n 4.答案 5n 4考題作騎4.（2019衡水中學摸底）已知數列an中，ai=1, an+i= 2an+1（n C N*）, Sn為其前n項和，則S5的值為（）A.57B.61C.62D.63解析 由條

5、件可得 a2 = 2a1 + 1 = 3, a3= 2a2 +1 = 7, a4 = 2a3 + 1 = 15, a5= 2a4 + 1 = 31 ,所以 S5= ai + a2 + a3 + a4 + a5=1 + 3 + 7+ 15+31=57.答案 A5.（2019北京朝陽區(qū)月考）數列0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,的一個通項公式an等于（）(1)n+1n %A.2 B.cos -n+1n+ 2C.cos 2 兀D.cos 2 兀 解析 令n=1, 2, 3,，逐一驗證四個選項，易得 D正確.答案 D 一一.r - a1 W一1）4 一6.（2019鄭州一模）設數列an的刖

6、n項和為Sn,且Sn=,右a4= 32,則a=3a1 (4 1)解析Sn=, a4 = 32,貝U a4= S4 S3= 32.3.255a1363a11-=32, . a1 = 2.答案2旅奧產練,以例求送i考點聚焦突破考點一由數列的前幾項求數列的通項【例1】（1）已知數列的前4項為2, 0, 2, 0,則依此歸納該數列的通項不可能是（）A.an= ( 1)n 1 + 1B.an =2, n為奇數,0, n為偶數C.an= 2sin_2D.an = cos(n 1)計 1(2)已知數列an為4 1, 8, 16, -39, 6,，則數列an的一個通項公式是 解析(1)對n=1, 2, 3,

7、4進行驗證，an=2sinn合題意.(2)各項的分母分別為21, 22, 23, 24,，易看出從第2項起，每一項的分子都比分母少3,且第1項可變2-3為-2-，故原數列可變?yōu)橐?1-321，22-322 23-323243-2,2n 3故其通項公式可以為an=(- 1)n -2. 一n 2n 3答案(1)C (2)an=(-1)n-2n-規(guī)律方法由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律卜比較(比較已知數列卜歸納、轉化(轉化為特殊數列卜聯(lián)想(聯(lián)想常見的數列) 等方法.(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征

8、；化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k+1, kCN*處理.【訓練1】寫出下列各數列的一個通項公式：L ，.()-1X2，2X3，3X4 4X5，(2)1, 2, 9, 8, 25,;(3)5, 55, 555, 5 555,.解(1)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，所以它的一個通項公式是 an=(1)nx1, nCN*n (n+ 1)(2)數列的各項，有的是分數，有的是整數，可將數列的各項都統(tǒng)一成分數再觀察.即2, 4, 9, 16, 25,，2分子為項數

9、的平方，從而可得數列的一個通項公式為an=y.(3)將原數列改寫為5X9,卜99, 5X999,，易知數列 9, 99, 999,的通項為10n1,故所求的數列 999 5的一個通項公式為 an = (10 1).9考點二 由an與Sn的關系求通項一T易錯警示【例2】(1)(2019廣州質檢)已知Sn為數列an的前n項和,且log2(Sn+1)= n+ 1,則數列an的通項公式為.(2)(2018全國I卷)記Sn為數列an的前n項和.若Sn=2an + 1,則&=.解析 由 log2(Sn+1) = n+1,得 Sn + 1 = 2n+1,當 n=1 時，a1 = S = 3;當 n2 時，a

10、n = Sn Sn1=2、-3, n= 1,所以數列an的通項公式為an=S2n, n2.(2)由 Sn = 2an + 1,得 a = 2a + 1,所以 a1 = 1.當 n2 時，an = SnSn 1 = 2an + 1-(2an 1 + 1),得 an = 2an 1.，數列an是首項為一1,公比為2的等比數列.a1 (1 q) 1 1 26) S6 = 一 63.1 q1 23, n = 1答案(1)an=n(2) - 63|2n, n2回，n= 1,規(guī)律方法 數列的通項an與前n項和Sn的關系是an=S當n=1時，a1若適合Sn-Sn-1,向&-1, n2.則n=1的情況可并入n

11、2時的通項an；當n=1時，a1若不適合 &S1,則用分段函數的形式表示.易錯警示 在利用數列的前 n項和求通項時，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數列的通項公式寫成an= Sn-Sn 1的形式，但它只適用于 n2的情形.例如例2第題易錯誤求出an = 2n(nC N*).【訓練2】(1)已知數列an的前n項和Sn=2n2-3n,則數列an的通項公式an=.(2)已知數列an的前n項和Sn=3n+1,則數列的通項公式 an =.解析(1)a= S= 2 3= 1,當 n2 時，an=SnSn i=(2n23n) 2(n1)23(n 1) = 4n5,由于ai也適合上式，an= 4n 5.(2

12、)當 n = 1 時，ai=Si = 3+1 = 4,當 n2 時，an=Sn-Sn 1=3n+ 1-3n 1-1 = 2 3n-1.顯然當n=1時，不滿足上式.4, n = 1,an = S|2 3n 1, n2.4 n= 1答案4n5 (2或3n 12考點三由數列的遞推關系求通項-易錯警示【例 3】(1)在數列an中，a1=2, an+1= an+ln 1 + 1則 an等于()A.2 + In nB.2+(n1)ln nC.2+ nln nD.1 + n+ In n(2)若 a1=1, nan 1= (n+ 1)an(n2),則數列an的通項公式 an=.若a1=1, an+1=2an

13、+ 3,則通項公式 an=.解析 (1)因為 an+1 an=ln 一n =ln(n+1)In n,所以 a2 a= In 2 In 1 ) a3 a2= In 3 In 2)a4 一In 4 In 3 , an an1 = ln n ln(n 1)(n2).把以上各式分別相加得an- a1= ln n In 1 ,則an= 2+ In n,且a= 2也適合)因此 an= 2+ ln n(n 鄰).ann .(2)由 nan i = (n+1)an(n2),得=(n2).an i n+1所以an an- 1 an2 an=an- 1 an-2 an3a3 a2-L a2 a1a1n n1 n2

14、3 22:彳1 =n+ 1 n n 14 3n+1又a1也滿足上式，所以an =2n+ 1由 an+1=2an+3,得 an+1+ 3= 2(an+ 3).bn+1 an+1 + 3令 bn=an+3,則 b1=a1+3 = 4,且-;= 2.bnan+3所以bn是以4為首項，2為公比的等比數列.，bn = 4 2n-1 = 2n+1, .-.an=2n+1-3.答案 (1)A(2)-2 (3)2 n+1 3n +1規(guī)律方法由數列的遞推關系求通項公式的常用方法(1)已知a1,且an-an 1 = f(n),可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1w0),且一an-=f(n),可用“累乘法”求

15、an. an 1已知a1,且an+1=qan+b,則an+k= q(an+k)(其中k可用待定系數法確定),可轉化為an+k為等比數列.易錯警示本例(1), (2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式.【訓練3】(1)(2019山東、湖北部分重點中學聯(lián)考)已知數列an的前n項和為Sn,若a1 = 2, an+1=an+2n1 + 1,貝U an =.(2)若 a1=1, an+1=2nan,則通項公式 an=.2a右a1=1, an+Ia +2，則數列an的通項公式an=.解析(1)a1 = 2, an+1=an+2 + 1? an+1 an=2 +1?an=(an an 1) + (an

16、 1 an-2)+ (a3 a2) + (a2一a1)+ ai,則 an=2n +2n + 2+1 + n1 + a11-2n 1.+ n 1 + 2 = 2n J + n.1-2(2)由 an+1= 2nan,得 =2n (n 2), an 1所以an an 1an=an 1 an 2a2a1a1n(n-b=2n 1 2n 2 2 1=2+2+3+ +(n,)= 22又a1 = 1適合上式，故n(n-ban = 222a(3)因為 an+1=, a1=1,所以 anWan+ 2一 1111所以=-+；,即an+1an 2 an+111-=-an 2又 ai=1,則一=1, ai所以。是以1為

17、首項, , 111所以相=+ (n1)x2an a1212為公差的等差數列1- 2+n- 2所以 an=-2-(n N*).n+ 1答案（1）2nT+nn (n1)(2)2 2-2n+ 1考點四數列的性質【例4】（1）數列an的通項an = #90,則數列an中的最大項是（）B.19A.3 ,1012 2an, 0W anW23(2)數列an滿足an+i = ai =-,則數列的第2 019項為,152an 1, 2an0),運用基本不等式得f(x)2啊，當且僅當x=3回時等號成立.因為an=90, X90n+v所以一三& U，由于nCN ,不難發(fā)現(xiàn)當n= 9或n=10時，an=M最大.n+9

18、0 2 啊19(2)由已知可得，a2 = 2x |- 1 = 1, a3= 2x 1=|, 555 5a4 = 2x -= a5 = 2x 二一 1 =15 555an為周期數列且T=4,2 a2 019 a504x4 + 3 a3 c.5，一2答案C(2)5規(guī)律方法 1.在數學命題中，以數列為載體，常考查周期性、單調性2.(1)研究數列的周期性，常由條件求出數列的前幾項，確定周期性，進而利用周期性求值.(2)數列的單調性只需判定an與an+1的大小，常用比差或比商法進行判斷.【訓練 4】(1)已知數列an滿足a=1,an+1 = an2an+1(nCN*),貝Ua2 020 =.(2)若an

19、=n +kn+4且對于nCN ,都有an+1an成立，則頭數 k的取值氾圍是 .解析 (1) . a1= 1, an+1= an 2an+ 1 = (an 1), -a2 = (a1 1)2= 0, a3= (a2-1)2= 1, a4=(a31)?= 0,，可知數列an是以 2 為周期的數列，a2 020=22=0.(2)由an+1an知該數列是一個遞增數列，又通項公式 an=n2+kn+4,所以(n+1)2+k(n+1) +4n2+kn +4,即 k 1 2n.又 nC N*,所以 k 3.答案(1)0 (2)( 3, +8)反思與感悟思維升華1 .數列是特殊的函數，要利用函數的觀點認識數

20、列 2 .已知遞推關系求通項公式的三種常見方法：(1)算出前幾項，再歸納、猜想.(2)形如an+i=pan+q”這種形式通常轉化為 an+1+甘p(an+ ?),由待定系數法求出再化為等比數列an+1(3)遞推公式化簡整理后，若為an+ian=f(n)型，則采用累加法；若為 =f(n)型，則采用累乘法an易錯防范1 .解決數列問題應注意三點(1)在利用函數觀點研究數列時，一定要注意自變量的取值是正整數(2)數列的通項公式不一定唯一.(3)注意an=Sn-Sn 1中需 廿2.2 .數列an中，若 an 最大，則 anan 1 且 an an+ 1 ；若 an 最小，則 anW an1 且 anW

21、 an+1.I方層限時調煉分:層訓煉葭,提升能力：I基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1 .數列1, 3, 6, 10, 15,的一個通項公式是 ()A.an= n2-(n- 1)B.an = n2 1n (n +1)n (n 1)C.an=2D.an=2解析 觀察數列1, 3, 6, 10, 15,可以發(fā)現(xiàn)：2 = 1,3=1 + 2,6= 1 + 2+3, 10= 1 + 2 + 3+4,n (n+ 1)所以第 n 項為 1 + 2+3+4+5+ n =2,n (n+ 1)所以數列1, 3, 6, 10, 15,的通項公式為 an =2一答案 C13 .已知數列an滿足：任息 m

22、, n N ,都有an am= an+m,且a1=,那么a5=（1A.321B.161C.41 D.211 -斛析 由題思，倚 a2 = a1a1=：, a3=a1 a2 = q,則 a5=a3 48-1a2 =32.答案 A13.（2019江西重點中學盟校聯(lián)考）在數列an中，a = 一4an= 1 一(n2, nC N ) an 1，則a2 019的值為（）B.54C.511解析 在數列an中，a1=- 4, an=1 (n2, nC N),所以a2= 1 一六4=5, a3= 1 = , a4= 1一二5 545T,所以an是以3為周期的周期數列，所以 a2 019= a673x3= a3

23、= 7. 45答案 C4.已知數列an的前 n 項和為 Sn,且 a = 2, an+1= Sn+ 1(n N ),則 S5=(A.31B.42C.37D.47解析由題意，得 Sn + 1 & = Sn+1(nC N*),Sn + 1 + 1=2(Sn + 1)(nC N*),故數列Sn+1為等比數列，其首項為3,公比為 2,則 S5+ 1 = 3X24,所以 S5=47.答案(2a 1) x+ 4 (x0 1) ,*5.(2019成都診斷)已知 心)=*(x1)數列an(nCN )滿足an=f(n),且%是遞增數列,則a的取值范圍是（）A.(1 , +)B.十 ；C.(1, 3)D.(3,

24、+8)解析 因為an是遞增數列，a1 ，所以解得a3,a22a-1+4,則a的取值范圍是(3, +8).答案 D二、填空題6.在數列一1, 0, 1, 1,，n 22,中，0.08是它的第項.9 8 nn 2 解析 令-2- = 0.08,得 2n225n+50=0,n5 . 則(2n 5)(n10) = 0,解得 n=10或 n=2(舍去).所以 ai0= 0.08.答案 107.若數列an的前n項和Sn = 3n22n+1,則數列an的通項公式an =解析 當 n=1 時，a1 = S1=3X 122X 1+1 = 2;當 n2 時，an = SnSn 1 = 3n 2n+1 3(n1)

25、2(n1)+1=6n5,顯然當 n = 1 時，不滿足上式2, n = 1, 故數列的通項公式為an= 16n-5, n2.答案2, n= 1, 6n5, n28.在數列an中，a = 2, .+1 + 1n +、卜則 an=an+ 1解析 由題意得n+ 1an3_n an 1n = ln(n+ 1) ln n, 口 一 = ln n ln(n 1)(n2). f=ln ”ln 2,an1an=In n ln(n 1)(n2).n n 1累加得知ar= In n, :.an= 2+ln n(n2), n 1n又 ai = 2 適合，故 an=2n+nln n.答案 2n + nln n三、解答

26、題29.(2016全國出卷)已知各項都為正數的數列an滿足a=1, an-(2an+1- 1)an- 2an+1 = 0.(1)求 a2, a3；(2)求an的通項公式. 11解 (1)由題意得a2 = 2, a3 = .(2)由 an (2an+1 1)an2an+1 = 0 得2an +1(an+ 1) = an(an + 1).因為an的各項都為正數，所以 電t =! an 2一一11故an是首項為1,公比為11的等比數列，因此an = 21.1 91*10 .已知Sn為正項數列an的刖n項和，且滿足 Sn = 2an + ian(ne N ).(1)求 a1，a2, a3, a4 的值

27、；(2)求數列an的通項公式. 12 1* 一斛 (1)由 Sn= 2an+ 2an(n N ),可得21 = 222+221,解得 a1=1,S2 = a1 + a2= 2a2+2a2,解得 a2=2,同理，a3 = 3, a4 = 4.1 2 an(2)Sn = 2an+y，當 n2 時，1 = 2an-1 + 2an-1,一得(anan-1 1)(an + an-1)= 0.由于 an+an1wo,所以 an an-1=1,又由（1）知a1= 1,故數列an為首項為1,公差為1的等差數列，故an=n.能力提升題組（建議用時：20分鐘）11 .（2019晉中高考適應性調研）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將孫子算經中“物不知數”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數學家馬西森指出此法復合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整