傳染病的傳播及控制分析數(shù)學建模

1、傳染病的傳播及控制分析摘要為進一步探索傳染病的傳播和流行規(guī)律及其與防治措施的關系， 本文通過建立傳染病的傳播模型， 了解傳染病的擴散傳播規(guī)律， 為預測和控制傳染病提供可靠、足夠的信息。本文針對該問題建立了 SEIR 微分方程模型，對病毒的傳播過程進行了模擬分析，得出了患者人數(shù)隨時間的變化規(guī)律。我們將人群分為五類：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。前三者作為傳染系統(tǒng)。我們認為治愈者獲得終身免疫，和死亡者一樣移出傳染系統(tǒng)，即后兩者合并為移出者。本模型將病毒的傳染與擴散分為兩個部分： 控制前和控制后。 在控制前，相當于沒有對病毒擴散做任何限制， 患者數(shù)量短時間內大量增長， 并以死亡的形式退出傳

2、染系統(tǒng)；在控制后，由于對潛伏者進行了一定強度的隔離，與此同時，確診患者得到有效的治療，使得傳染源數(shù)量減少，患者平均每天接觸的人數(shù)減少，治愈者增多，并作為主要的移出者移出傳染系統(tǒng)。在模型建立的基礎上， 通過 Matlab 軟件擬合出患者人數(shù)隨時間變化的曲線關系圖，得到如下結果：控制前，患者人數(shù)呈指數(shù)增長趨勢；控制后，在 p=0.4 時，患者人數(shù)大致在 7 天時到達最大值，在 25 天時基本沒有患者；在 p=0.3 時，患者人數(shù)大概在第 8 天到達最大值 186383，大概在 28 天之后基本沒有患者；在 p=0.6 時，大概在第 5 天患者人數(shù)到達峰值為 47391，在 21 天時基本沒有患者。

3、綜上分析，對隔離強度的處理是控制傳染病的一個重要手段。 針對所得結果， 對H7N9的傳播控制時提出了醫(yī)院、政府和個人應有的一些控制措施。關鍵詞： 隔離強度潛伏期SEIR 模型0一、問題重述：2013年中， H7N9是網上的熱點，尤其是其高致死率，引起了人們的恐慌，最近又有研究顯示， H7N9有變異的可能。假設已知有一種未知的現(xiàn)病毒1 潛伏期為a1 : a2 天，患病者的治愈時間為a3 天，假設該病毒可以通過人與人之間的直接接觸進行傳播，患者每天接觸的人數(shù)為r ，因接觸被感染的概率為(為感染率 ) 。為了控制疾病的傳播與擴散，將人群分成五類，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。潛伏期內的患者

4、被隔離的強度為p （為潛伏期內患者被隔離的百分數(shù)）。在合理的假設下建立該病毒擴散與傳播的控制模型，利用所給數(shù)據(jù)值生成患者人數(shù)隨時間變化的曲線，增強或者減弱疑似患者的隔離強度，比較患者人數(shù)發(fā)生的變化，并分析結果的合理性。最后結合該模型的數(shù)據(jù)對控制 H7N9的傳播做出一些科學的建議。二、問題假設：1、假設單位時間內感染病毒的人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例；2、假設單位時間內治愈人數(shù)與現(xiàn)有感染者成比例；3、假設單位時間內死亡人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例；4、假設患者治愈恢復后不會再被感染同種病毒，有很強的免疫能力，即被移除出此傳染系統(tǒng)；5、假設正常人被傳染后，進入一段時間的潛伏期，處于潛伏期的人群不會表現(xiàn)癥狀

5、，不可傳染健康人，不具有傳染性；6、假設患者入院即表示患者被隔離治療，被視為無法跟別人接觸，故不會傳染健康人；7、假設實際治愈周期過后，如果患者沒有治愈，則認為患者死亡，即實際治愈周期過后，患者都被移出此感染系統(tǒng)；8、假設考察地區(qū)內疾病傳播期間忽略人口的出生，死亡，流動等種群動力因素對總人數(shù)的影響。即：總人口數(shù)不變，記為 N；三、符號說明：1符號解釋說明S(t)t 時刻正常人（易受感染）人數(shù)E(t)t 時刻疑似患者的人數(shù)Q(t)t 時刻處于潛伏期的人數(shù)I(t)t 時刻確診患者的人數(shù)R(t)t 時刻退出傳染系統(tǒng)的人數(shù) （包括治愈者和死亡者）潛伏期的人數(shù)中轉化為確診患病的人數(shù)占潛伏期1人數(shù)的比例2

6、每日退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)比例a3確診患者的治愈時間r患者的人均日接觸人數(shù)因接觸被感染的概率p潛伏期內的患者被隔離的強度四、問題分析：根據(jù)題意，這是一個傳染性病毒隨著時間演變的過程， 需要研究傳染病在傳播過程中各類人群的人數(shù)變化， 特別是通過研究患者和疑似患者的人數(shù)變化， 預測傳染病的傳染的高峰期和持續(xù)時間長度， 從而我們可以采取相應隔離措施達到控制傳染病傳播的效果。我們要分析、預測、研究它就得建立動態(tài)模型，查閱相關資料可知，關于傳染病的模型已有不少， 其中以微分方程模型最具代表性， 因題目中把人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我們采用微分方程中的 SIER 模型，將死亡

7、者和治愈者都歸于系統(tǒng)移出者統(tǒng)稱為恢復人群。 在此基礎上，我們找出單位時間內這五類人群人數(shù)的變化來建立微分方程， 得出模型。再利用 matlab 編程畫出圖形，改變其隔離強度后重新作圖進行比較，對結果進行分析，并利用此模型對控制H7N9 的傳播做出建議。五、模型的建立和求解：5.1 傳染病模型的準備不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點， 弄清這些特點需要相當多的病理知識，因此我們不可能從醫(yī)學的角度一一分析各種傳染病的傳播， 而只是按一般的傳播機理建立模型。查閱相關資料可知， 目前關于傳染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比較具有代表性，模型復雜程度有區(qū)別，故適合的情形也不同，包括

8、I 模型、 SI 模型、 SIR 模型、 SEIR模型等 2 。2I 模型是最簡單的模型，從已感染人數(shù)和有效接觸率出發(fā)構建模型，但未區(qū)分已感染者 ( 病人 ) 和未感染者 ( 健康人 ) ，結果發(fā)現(xiàn)，隨著時間增加， 病人人數(shù)會無限增長，這顯然不符合實際； SI 模型是 I 模型的改進模型，它區(qū)分了已感染者和未感染者， 但是該模型沒有考慮到病人可以治愈， 導致人群中的健康者只能變成病人，病人不能變成健康者， 這也是不符合實際的； 在考慮病人治愈后有較強免疫力的情況下， SIR 模型對 SI 模型進行了改進，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在實際情況下，傳染病會出現(xiàn)疑似患者，故需要考慮隔離

9、的情況。SEIR 模型 3-4 對 SIR 模型進行了改進， 增加了疑似患者， 考慮到了隔離強度，故我們選擇 SEIR 模型進行此次建模。根據(jù)題目所給的條件，人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。根據(jù) SEIR 模型重新歸類，得到以下結果：（1）健康人群，即易感染（ Susceptibles）人群。記其數(shù)量為 S(t)，表示 t 時刻未感染病但有可能感染該疾病的人數(shù)；（2）確診患者，即被感染（ Infection）該疾病的人群，記其數(shù)量為 I(t) ，表示 t 時刻已經確診為患者入院的人數(shù)；（3）疑似病患，即被入院隔離的人群，包括一部分正常人一部分處于潛伏期的感染者，記其數(shù)量

10、為 E(t)，表示 t 時刻可能感染該疾病的入院被隔離的人數(shù)；（4）潛伏期感染者，即已感染病毒但處于潛伏期的人群，記起數(shù)量為 Q(t) 表示 t 時刻已經感染病毒但沒有表現(xiàn)癥狀即處在潛伏期的人數(shù)。（5）恢復人群（ Recovered），記其數(shù)量為 R(t)，表示 t 時刻已從感染病者中移出的人數(shù)， 包括死亡者和治愈者， 這部分人數(shù)既不是已感染者， 也不是非感染者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已經推出了傳染系統(tǒng)。該傳染病的傳播流程圖如下：圖 1傳染病傳播流程圖5.2 傳染病模型的建立 5傳播過程中每一個群體都處于動態(tài)的變化中。對 S來說，一部分未被隔離的潛伏期感染者能感染正常人，使其成為

11、潛伏期感染者流出 S；對于 E 來說，流入者包括一部分潛伏期的感染者和一部分正常人， 流出者包括一部分沒有被感染的正常人和隔離后被確診患者；對于 I 來說，它既有從包括隔離和未被隔離的 H 中確診的流入者， 也有已經治愈的流出者； 對于 R 來說，它只有從 I 中治愈轉化而來的流入者。 以上過程在傳染的每一時刻都是相同的。 為此我們可將時間假定的非常小，在某一時刻對 S、E、I 、R 取其對時間的微分，這樣既可建立傳染病控制模型的微分方程組如下：3a3 ，則有退出人數(shù)1 、控制前階段：前兩天，患者沒有住院， 疑似患者沒有被隔離， 患者可以隨意接觸和感染正常人。分析控制前 Vt 階段時間內，疫情

12、的發(fā)展與變化。（ 1）正常人 -疑似患者：控制前階段病人尚未被隔離， 所以疫情發(fā)展比較迅速， 此時病人人均每天接觸 r 個正常人，假設t 時刻病人人數(shù)為I t，則新增疑似患者人數(shù)為E ，EI trtr I tt 。（ 2）疑似患者 -潛伏期：疑似患者中包括病毒攜帶者和非病毒攜帶者， 病毒攜帶者會進入潛伏期， 而非病毒攜帶者最終還是正常人。設疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例為，假設 t 時刻疑似患者人數(shù)為 E t，潛伏期患者人數(shù)為Q t，則 Q tE t，故新增潛伏期人數(shù)為QE。（ 3）潛伏期 - 確診患者：因為每日潛伏期病人變?yōu)榇_診患者的數(shù)量呈指數(shù)增長，用1 表示這一特性。那么新增確診患者

13、人數(shù)為 I 1 Q t t ，現(xiàn)在要確定 1 ，如果潛伏期天數(shù)為 a1 到 a2 ，假設其變化到了一個穩(wěn)定階段， 那么隨著天數(shù)的增加潛伏期的病人越來越多，其概率分布呈指數(shù)穩(wěn)步增長， 則每天有 11 1/ a2 a1 e t 概率的人變?yōu)樨i流感患者，即11 1 1/ a2 a1 e t。所以新增患者人數(shù)：I 1 1 1/ a2a1e tQ t 。（ 4）確診患者 - 治愈、死亡：設 T 為退出系統(tǒng)人數(shù)（治愈者和死亡者） ，如果治愈天數(shù)設為 a3 ，那么 a3 天后病人要么死亡要么被治愈， 而被治愈的人產生抗體， 不再會被傳染， 所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系統(tǒng)的人。設系統(tǒng)退出率為TIt2t

14、 。 2 的求解方法與1相同，即隨著天數(shù)的增加退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)也越來越多，則21 1 1/ a3e t 。 故 新 退 出 傳 染 系 統(tǒng) 的 人 數(shù)T1 1/ ae tI tt 。3根據(jù)上述（ 1）:（ 4）的式子可進一步得出：QEQ(tt)Q(t)rItt(1(11/ (a2a1 )e(t ) ) Q(t ) tIttI t111/a2a1etQ t(1(1(1/ a3) e t ) I t tTttTt(1(1(1/ a3)et )Itt所以得出以下：dQ / dtrI t(1(11/ (a2a1)e t )Q(t)tdI / dt(1 (11/ (a2a1) e( t ) Qt(1

15、(1 (1/ a3) eI tdT / dt1 1 1/ a3e tI t2、控制后階段：4兩天之后，患者全部住院， 疑似患者全部被隔離， 剩下一部分未被隔離的感染者變成患者后可以接觸和感染正常人。分析控制后階段 t 時間內，疫情的發(fā)展與變化。（ 1）正常人 -疑似患者：控制后階段， 病人開始被隔離， 所以疫情發(fā)展開始變慢， 并受隔離強度p 影響，此時病人每天接觸的E r ' I t正常人數(shù)目 r '也在變小，假設病人的數(shù)目為 It ，則疑似患者數(shù)目。 又因為接觸率 r ' 與隔離強度 p 有關，也呈指數(shù)分布，所以 r 'r e pt ，故新增疑似患者的數(shù)目E

16、r e ptI tt 。（ 2）疑似患者 -潛伏期：不會改變。假設 t 時控制后階段，疑似患者中病毒攜帶者占疑似患者的比例刻疑似患者人數(shù)為 E t，潛伏期患者人數(shù)為 Q tE tu ，故新增潛伏期人數(shù)為 QE u 。（ 3）潛伏期 - 確診患者：潛伏期患者變?yōu)榇_診患者的過程與控制前時刻相同，所以新增患者人數(shù)I111/a2a1e tQt 。（ 4）確診患者 - 治愈者、死亡者：同樣退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)不變，則新增退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)T 1 1/ a3e t I tt 。（1）:（ 4）根據(jù)上述可進一步求得出：QEQ ttQ tr e ptI tt1 1 1/ a2a1e tQ ttI ttIt1 1

17、1/a2a1etQ tt(1(1(1/ a3) et I tt整理后得：dQ / dtr e ptI t1 1 1/ a2ae tQ tt1tdI / dt111/a2a1Qt(1(1(1/ a3)ette) IdT / dt(1(1(1/ a3)e) It5.3傳染病模型的求解：1 、控制前：通過對模型的推導，我們發(fā)現(xiàn)不能給出每個函數(shù)的解析解，因此考慮利用 Matlab 中的 ode 系列函數(shù)進行求解。首先，對傳染病模型進行標準化， 再帶入參數(shù)， 并由此建立微分方程組函數(shù)文件，隨后用 ode 函數(shù)對該文件進行調用， 即可得到微分方程組的解向量， 然后利用 plot 函數(shù)畫出此解向量即可得到各

18、類人群歲時間變化的曲線圖?？刂魄盎颊呷藬?shù)隨時間變化的關系如下圖所示：5患者隨時間的變化8000700060005000人/者 4000患300020001000000.20.40.60.811.21.41.61.82時間/天圖 2 控制前患者的人數(shù)隨時間的變化由上圖可以看出控制前還未采取任何措施時，患者的人數(shù)迅速增加，類似于指數(shù)型增長曲線。 這是由于在開始的兩天， 患者兩天后才入院， 疑似患者兩天后才被隔離缺乏。一方面，他們將病原體迅速地傳染給了健康人；另一方面，他們由于缺乏治療， 無法被治愈。當時，患者的數(shù)量越來越多， 增長速度越來越快?；痉蠈嶋H情況，可見模型的合理性。2、控制后：（1）

19、當 p0.4 隔離強度時，患者人數(shù)隨時間變化的關系如下圖所示：x 104患者隨時間的變化10max p=0.49t=6.5994ymax=93701.2174876人/者5患4321051015202530350時間/天圖 3 控制后p0.4 時患者人數(shù)隨時間的變化6由上圖分析可知，兩天后，對患者進行入院隔離， 對疑似患者進行部分隔離，使得新進入潛伏期的人數(shù)在減少。 因此，由于時間的延遲，患者人數(shù)的迅速增長，并在接下來的幾天內達到峰值， 隨后逐漸下降最后平緩的趨于零。 患者人數(shù)在增長趨于緩慢的幾天后到達一個峰值。我們求得當隔離率為 p=0.4 時，患者人數(shù)大致在 7天時到達最大值 93701，

20、在 25天時基本沒有患者。（ 2）改變隔離強度p=0.3 為時，患者人數(shù)隨時間變化的關系如下圖所示：x 105患者隨時間的變化2max p=0.31.8t=7.8604ymax=186383.57531.61.41.2人/者1患0.80.60.40.2051015202530350時間/天圖 4 控制后 p=0.3 時患者人數(shù)隨時間的變化由上圖分析可知，當 p=0.3 時，即隔離強度有所下降時，患者人數(shù)在前 8天屬于迅速增長趨勢，但增長趨勢慢慢減緩。大概在第 8天，患者人數(shù)到達最大值186383，其后由于大量的患者被治愈且受感染的人數(shù)越來越少， 導致患者人數(shù)顯著下降，大概在 28天之后基本沒有

21、患者。（3）改變隔離強度 p=0.6 為時，患者人數(shù)隨時間變化的關系如下圖所示：7x 104患者隨時間的變化max p=0.65t=5.41414.5ymax=47391.656143.53人/2.5者患21.510.5051015202530350時間/天圖 5 控制后 p=0.6 時患者人數(shù)隨時間的變化由上圖分析可知，當 p=0.6 時，患者人數(shù)在前四天增長迅速，但由于隔離率很高，病情很快得到有效的控制， 使增長人數(shù)越來越少， 在第 5 天患者人數(shù)到達峰值為 47391，其后患者由于治愈人數(shù)越來越多，人數(shù)逐漸減少，在21 天時基本沒有患者。3、控制前后模型總體：上圖皆為總體模型的分圖，在進

22、行總體分析時，可以進行進一步的表示。為更直觀的比較不同隔離強度引起的患者人數(shù)變化情況， 我們作圖 6 將不同強度的隔離強度情況相結合。 同時，為了貼合題意， 我們在圖像上將控制前的兩天和控制后的情況結合起來，得到總圖如下所示：8x 105患者隨時間的變化2max p=0.31.8t=7.8604ymax=186383.57531.61.41.2人max p=0.4/1者t=6.5994患0.8ymax=93701.21740.6max p=0.60.4t=5.4141ymax=47391.65610.2051015202530350時間/天圖 6患者人數(shù)隨時間的變化由上圖分析可知，控制前，患者

23、人數(shù)的增長速度遠高于控制后患者人數(shù)的增長速度，說明實行疑似患者隔離政策對控制傳染病傳播的效果是很明顯的； 三條曲線比較可知， 當隔離強度不同時， 對患者人數(shù)最高峰出現(xiàn)的天數(shù)和傳染病傳播的持續(xù)時間 （即患者全部痊愈沒有再出現(xiàn)患者） 有極大的影響。 在隔離強度較小時，患者人數(shù)的最高峰出現(xiàn)時間靠后， 傳染病持續(xù)的傳播時間較長； 在隔離強度較大時，患者人數(shù)能較快的出現(xiàn)最高峰再較迅速的下降， 因此傳染病持續(xù)的時間比較短，更有利于傳染病的控制。所以，在實際的傳染病控制過程中，對傳染病進行有效的控制，加大疑似患者隔離的強度是很有必要的。六、模型評價：優(yōu)點：本模型中采用微分方程中的SEIR 模型，對傳染病傳播

24、做出合理假設，對人群進行了合理的分類， 并對其進行數(shù)據(jù)擬合， 得出傳染病傳播過程中， 各類人群的人數(shù)發(fā)展趨勢， 采用數(shù)值計算 , 圖形觀察與理論分析相結合的方法, 先有感性認識，再用特殊點進行理論分析, 最后進行數(shù)值驗證和估算, 可以看作計算機技術與建模方法的巧妙配合。比較全面地達到了建模的目的, 即描述傳播過程、分析感染人數(shù)的變化規(guī)律 , 可以有效預報傳染病高潮到來的時刻和傳染病將持續(xù)的時期，對群眾接受傳染病的預防知識起到很好的警示作用。通過這些數(shù)據(jù)， 政府可以更好的探索制止蔓延的手段和措施。缺點：所建立的模型中， 沒有考慮不同年齡段病毒的抵抗力不同， 且將治愈者和死亡者當作一類人進行了處理

25、， 題目只給出了患者治愈所需的天數(shù)， 沒有給出患者死亡的概率，于是我們暫且認為其患者住院達到治愈天數(shù)時即被移出系統(tǒng)，可能是治愈也可能是死亡。 其所得的結果存在一定的誤差，只能粗略的反應9此傳染病的傳播情況。要準確反映，需對模型進行進一步的改進。七、模型應用：根據(jù)建立的 SEIR 模型和計算所得的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)，人群接觸的人數(shù)r 值越大，正常人被感染的幾率越大，疫情擴散得越快，因此在疫情期間，應減少公共活動，降低病毒的傳播率；通過改變隔離強大的大小后比較可知，p 值越小病情越難控制，所以要保證患者能及時住院治療， 從而遏制病毒的擴散； 綜上所述，結合實際情況我們可以對控制 H7N9傳播提供一些建

26、議：醫(yī)院方面：醫(yī)院應提高醫(yī)院的醫(yī)療水平和衛(wèi)生水平， 提高醫(yī)療工作人員的工作效率，加強醫(yī)院的合理化管理， 加大對感染者的隔離力度， 這樣有助于傳染病的治療和控制工作有序的展開：（1）根據(jù)人感染 H7N9 禽流感的流行病學特點，針對傳染源、傳播途徑和易感人群，結合實際情況，建立預警機制，制定應急預案和工作流程。（2）醫(yī)院應當規(guī)范消毒、隔離和防護工作，為醫(yī)務人員提供充足、必要、符合要求的消毒和防護用品， 確保消毒、 隔離和個人防護等措施落實到位， 并加大隔離疑似病患的力度，這有利于傳染病的快速控制。政府方面：應具有敏銳的警覺性， 在傳染病開始廣泛傳播之前， 應迅速采取一定的方法進行控制：（1）根據(jù)

27、H7N9 病毒的特點，加強醫(yī)院、學校、家禽養(yǎng)殖廠、活禽市場等這些重點區(qū)域的疫情防控，確保一旦發(fā)生疫情能及時應對和有效控制。（2）應對地方醫(yī)療保障措施進行完善， 防止患者不能及時就醫(yī)的情況出現(xiàn)，增加傳染病蔓延的趨勢。（3）一方面應加大傳染病的宣傳力度，使公眾對傳染病有一定的警覺和預防意識；另一方面應進行科學的引導， 不造成公眾的恐慌心理， 日常生活不受影響。個人方面：應加強對傳染病的認識， 提高自身的科學知識， 不盲從，不恐慌，以正確的態(tài)度進行預防：（1）保持良好的個人衛(wèi)生習慣，減少與家禽類的直接接觸，減少去禽流感疫區(qū)。（2）加強體育鍛煉，注意補充營養(yǎng)，保證充足的睡眠和休息，增強抵抗力。（3）不

28、要輕視重感冒， 禽流感的病癥與其他流行性感冒病癥相似， 如發(fā)燒、頭痛、咳嗽及喉嚨痛等，在某些情況下，會引起并發(fā)癥，導致患者死亡。因此，若出現(xiàn)發(fā)熱、頭痛、鼻塞、咳嗽、全身不適等呼吸道癥狀時，應戴上口罩，盡快到醫(yī)院就診，并務必告訴醫(yī)生自己發(fā)病前是否與病禽類接觸等情況， 并在醫(yī)生指導下治療和用藥。10八、參考文獻：1 張彤 . 一類具潛伏期和非線性飽和接觸率的流行病模型 J, 浙江工程學院學報 ,2004,21(2):136-140.2 姜啟源，謝金星，葉俊 . 數(shù)學模型 . 高等教育出版社， 2003.135-1443 Anderson RM,May RM.Infection diseases of humans:dynamics and control.Oxford Univ press,Oxford,1991.4 張娟 . 馬知恩 各倉室均有常數(shù)輸入的 SEIR 流行病模型的全局分析2003(06).5 Pagilla PR.Robust decentralized control of large-scale inter