試驗一_基于AR模型的股票價格預測

1、基于AR模型的股票價格預測1 .問題描述AR模型是一種線性預測，即已知N個數(shù)據(jù)，可由模型推出第N點前面或后面的數(shù)據(jù)(設推出P點)，所以其本質(zhì)類似于插值，其目的都是為了增加有效數(shù)據(jù)。本次實驗使用從雅虎上下載的美國某股票七年共2000個收盤價格數(shù)據(jù)來進行數(shù)據(jù)分析建模，取其前1000個價格數(shù)據(jù)構建預測方程，預測剩下的股票收盤價格。2 .原理簡述2.1 基本原理自回歸模型(AutoregressiveModel,ARModel)是用自身做回歸變量的過程，即利用前期若干時刻的隨機變量的線性組合來描述以后某時刻隨機變量的線性回歸模型，它是時間序列中的一種常見形式。考慮一組隨機自變量觀測值與因變量觀測值之間

2、的關系，設自變量觀測值為x(n),因變量觀測值為Y=y(n),y(n-1),y(n-N),則依據(jù)ARModel,滿足如下關系式：a°ynayn_1fyn-N)：=xn(2.1)其中，a=a0,a1-aN為各項因變量觀測值系數(shù)。通常情況下，我們令a0=1?？紤]到式(2.1)的迭代性，我們可以將其轉(zhuǎn)化為一組自變量觀測值和一個因變量觀測值的形式如下：yn)=xn廠：4xn-1r：i2xn-2(2.2)(2.3)其中，人=%,0(2,是各項自變量觀測值的系數(shù)。另外，我們假定自變量觀測值的自相關函數(shù)為：Elxnxn-k=。2、k其中，。2是自變量觀測值的方差，每(k)是狄拉克函數(shù)。將所得的y(

3、n)代入可得：(2.4)E'.ynxnJ=E|xn)r%xn-1xn:2:-2同樣，將任意的一個y(n-K)代入可得：En-k)x(n)=。26(k)。接下來，我們將所得各式寫成向量的形式如下：一11_y(ny(n1),y(nN):=x(n)分一(2.5)二E"(n)x(n?=E<y(n)y(n),y(n1),.,y(nN)：11工fN(2.6)一iTEy(nk)x(n»=E«y(nk)y(n),y(n1>.,y(nN)a>LWNi一1l=rk,rk,.,rk_N】：=。A1(2.7)將因變量觀測值的自相關函數(shù)寫成矩陣形式可得如下:一r0

4、r1"rN1KaJ-rJ1r0rNJ2a2r23ams_rNrNJ2.r°aN_1I一n_(2.8)該矩陣由Yule-Walker方程描述為：Ra=-r對于該系統(tǒng)預測的關鍵在于對系統(tǒng)系數(shù)向量a的求解。將ARModel方程寫成如下形式:(2.9)Nyn-Jakyn-kxnk=1將因變量觀測值y(n)的L個觀測值寫成矩陣形式如下:一y(N)1y(N-1)y(N-2)y(0)一ajx(N)1y(N+1)=y(N)ay(N-1)may(1)a2+x(N+1)sy(LT)11y(L-2)-y(LN_1)_aN-x(L11(2.10)將上式寫成Yule-Walker方程形式為：y=，a

5、+x。其中，x是自變量觀測值矩陣，a是系數(shù)矩陣，Y是ToepHtz矩陣，y是因變量觀測值矩陣。2H使用取小二乘法(LeastSquare,LS)尋找一個取優(yōu)斛為：|x|=(y+Ya)(y+Ya)。對該1式進行求解可得：a=-(YhY)YHy0將所求系數(shù)代入即可得到擬合方程，根據(jù)擬合方程可以得到問題的估計值。2.2 實現(xiàn)步驟具體實現(xiàn)步驟如下：(1)利用自變量觀測值x,因變量觀測值y和系數(shù)矩陣a構建系統(tǒng)模型y=Ya+x；(2)依據(jù)LS求解系統(tǒng)系數(shù)矩陣a=-(YHY)YHy;(3)將a代入構造預測方程；(4)將已知值代入到預測方程中對未知值進行預測。2.3 實現(xiàn)框圖圖1預測實現(xiàn)框圖3.仿真結果及分析

6、仿真分為三組進行，分別是固定系數(shù)矩陣a的股價預測圖樣；迭代更新系數(shù)矩陣a的股價預測圖樣；加窗更新系數(shù)矩陣a的股價預測圖樣。3.1 固定系數(shù)矩陣a的股價預測仿真采用1000個股票收盤價格構建預測方程，來預測接下來300個股票收盤價格，具體仿真如下圖所示：2800260024002200格價2000盤£1800票股16001400120010002800260024002200200018001600140012001200100004002800260024002200格價2000盤收1800票股1600140012001000數(shù)據(jù)量（a）(b)2800260024002200格價20

7、00盤收1800票股16001400120010001200100010001200(c)(d)圖2固定系數(shù)矩陣時不同階數(shù)下股票價格預測圖圖2所示為利用前1000個數(shù)據(jù)求得系數(shù)矩陣a之后對接下來300個股票價格的預測圖，藍色為股票價格實際值，紅色為股票價格預測值。圖中（a）、（b）、（c）、（d）分別代表階數(shù)為10、50、100、200時的不同情況。從圖中可以看出，在階數(shù)為10時，股票價格預測效果較差；當階數(shù)為50和100時，預測效果有較大提升；而在階數(shù)為200時，出現(xiàn)過度擬合的情況，預測效果開始下降。四種不同階數(shù)的預測均方誤差如表I所示:1050100200均方誤差（父104）5.73281

8、.65523.87456.0020表I不同階數(shù)下股票價格預測均方誤差從表I中可以看出，階數(shù)位于10100之間時，具有最優(yōu)預測。3.2 迭代更新系數(shù)矩陣a的股價預測本節(jié)中，我們利用原始數(shù)據(jù)求解系統(tǒng)系數(shù)矩陣a,利用該系數(shù)矩陣a構建預測方程，通過預測方程求解接下來的一個值，再將該值代入，更新系數(shù)矩陣a,實現(xiàn)一種交叉迭代的預測求解。仿真采用1000個股票收盤價格構建預測方程，來預測接下來1000個股票收盤價格，具體仿真如下圖所示：O003ot)ot)O格價盤收票股8040002M0022格價盤收票股且值冰測頭預0000O00002004006008a)格價盤收票股008O12O862(c)(d)圖3迭

9、代更新系數(shù)矩陣時不同階數(shù)下股票價格預測圖圖3中（a）、（b）、（c）、（d）分別為階數(shù)取10、50、100和200時的股票價格預測圖，從圖中可以看出，由于對系數(shù)矩陣a進行不斷的迭代更新，因此求得的預測值近似為線性預測，即只能預測股票的升降趨勢。觀察之前1000個數(shù)據(jù)可知，股票價格以下降趨勢為主，因此在這里的預測函數(shù)為一近似單調(diào)遞減的線性函數(shù)。3.3 加窗更新系數(shù)矩陣a的股價預測考慮到3.2中系數(shù)矩陣a是在每次得到新的預測值就進行更新，在本節(jié)中，我們利用前1000個股價預測接下來長度為m的股價，m即為我們加窗的長度。在這里我們?nèi)為一系列的值，分別為50、100、200、300和400。通過預測

10、的估計，更新系統(tǒng)矩陣a,進而預測接下來的股價。仿真時階數(shù)分別取為100和300,顯示如下圖所示：00ot)ot)240004006oooo。208221格價盤收票ot)2Iotw200數(shù)據(jù)量(b)圖4加窗長度為50時不同階數(shù)下的股價預測圖o格價盤收票股282X107實際盾預測值400600800100012001400數(shù)據(jù)量(a)圖5加窗長度為實際值預測值0數(shù)據(jù)量100012001400(b)100時不同階數(shù)下的股價預測圖格價盤收票股實際值預測值400600800100012001400數(shù)據(jù)量圖6加窗長度為-1-24X10-30實際值預測值200400600800100012001400數(shù)據(jù)量

11、(b)200時不同階數(shù)下的股價預測圖格價盤收票股ot)42008量據(jù)O數(shù)0042(a)(b)圖7加窗長度為300時不同階數(shù)下的股價預測圖一實際幫預測值oOoO8622格價盤收票股0042-O8642(a)(b)圖8加窗長度為400時不同階數(shù)下的股價預測圖觀察以上各圖可知，加窗長度為100、200和300時，預測值和實際值具有較大偏差。而當加窗長度為50和400時，效果較之前三種有較大提高。其中當階數(shù)為100時，預測結果近似于線性，當階數(shù)為300時，兩者均具有較好的預測。其中，加窗長度為50時，具有最佳預測效果。從以上仿真結果可以看出，預測準確性和加窗長度和階數(shù)有關。所以，為了獲得較好的預測效果

12、，需要選擇合適的加窗長度和階數(shù)。4 .結束語本次實驗是基于AR模型的股票價格預測，在實驗中我們使用Yule-Walker方程對系統(tǒng)系數(shù)矩陣a進行求解，通過求解得到的系數(shù)矩陣a構造預測方程。同時，在仿真中我們討論了使用不同的方法對系數(shù)矩陣a進行優(yōu)化，分別為固定系數(shù)矩陣a的股價預測；迭代更新系數(shù)矩陣a的股價預測；加窗更新系數(shù)矩陣a的股價預測。實驗結果表明，在固定系數(shù)矩陣a的情況下,預測的準確性和階數(shù)的選取有關；而在更新系數(shù)矩陣a的情況下，預測的準確性和加窗長度及階數(shù)均有關。5 .附錄股票價格數(shù)據(jù)命名為xx'。%不更新A值clcclearload('xx.mat');data

13、=xx(:,1),;p=200;L=1000;MSE=0;data1=data(1:L);y=data(p+1:L)'fori=1:pY(:,p-i+1)=data(i:L-p+i-1)'enda=-inv(Y'*Y)*Y'*y;fori=L+1:length(data)data1(i)=data1(i-p:i-1)*(-a);endfori=1000:1300MSE=MSE+(data(i)-data1(i)A2;endMSE=MSE/300;figure(1)plot(data(1:1500),'b');holdonplot(data1(1:

14、1500),'r');xlabel('數(shù)據(jù)量');ylabel('股票收盤價格,);legend('實際值','預測值');axis(0130010002800);%每次預測一個點，代入更新a值clcclearallload('xx.mat');p=200;L=1000;datal=data(1:L);fori=L+1:length(data)y=data1(p+1:L)'forj=1:pfork=1:(L-p)Y(k,j)=data1(p-j+1+k-1);endendY1=Y'K=inv

15、(Y1*Y);a=-inv(Y1*Y)*Y1*y;data1(i)=data1(i-1:-1:i-p)*(-a);endfigure(2)plot(data(1:2000),'b');holdonplot(data1(1:2000),'r');xlabel('數(shù)據(jù)量');ylabel('股票收盤價格');legend('實際值,'預測值');%加窗的預測，窗的長度分別為100、200、300、400、500clcclearload('xx.mat');data=xx(:,1)'p=3

16、00;L=1000;L_list=50100200300400;select_number=5;data1=data(1:L);fori=0:30y=data1(L_list(select_number)*i+(p+1):L_list(select_number)*i+L)'forj=1:pfork=1:(L-p)Y(k,j)=data1(L_list(1)*i+p-j+1+k-1);endend%a(:,i+1)=-inv(Y'*Y)*Y'*y;a=-inv(Y'*Y)*Y'*y;form=1:L_list(select_number)data1(L+L