2021屆高考數(shù)學(xué)(浙江專用)一輪試題：§8.5空間向量及其在立體幾何中的應(yīng)用

1、§8.5空間向量及其在立體幾何中的應(yīng)用基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 用向量法證明平行、垂直L如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PAJ_平面ABCD.E.F分別是AB.PD的中點(diǎn)，且PA=AD.求證:AFII平面PEC:(2)求證:平面PECJ.平面PCD.證明PAJL平而ABCD,底面ABCD為正方形，:.PA±AB.PA± AD.AB ± AD.以A為原點(diǎn).AB.AD.AP所在直線分別為x軸.y軸.z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由已知 PA=AD.不妨設(shè) PA=AB=AD=2,則 B(2,0,0), P(0.0.2).A(0.0.0).C

2、(220).D(020).(DVF為PD的中點(diǎn),E為AB的中點(diǎn)，.,.F(OJJ)BIAO),兩=(L0.2)7?M22-2).設(shè)平面PEC的法向量為m=(XLyi,zi),則1nl，空=。即0CZ=。JUrPC = O, ll2x1 + 2yr2z1 = 0,取力=1 .則又 V 4?MOJJ),.B.AF-ni=O-l+l =0.平面 PEC.(2)P?=(2.2.-2)JD=(0,2,-2).設(shè)平面PCD的法向量為m=(X2,y2,r.1Jn2-PC = 0,.(2x2 + 2y2-2z2 = O»,fx2 + y2-z2 = 0, U-PD = 0/l2yr2z2=0,= 0

3、,取 zaI.則又12,-1,1)是平面PEC的一個(gè)法向量，*. n 2=(2,-1,1 )-(0,1,1 )=0,:. n i JL lb,平面PECd.平面PCD.2.如圖，已知四枝臺(tái)ABCD-AiBiCiDi的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形.A】A=6,且AiA_L底而ABCD.點(diǎn)P.Q分別在棱 DDi.BC 上.若P是DDi的中點(diǎn)，證明:ABPQ;(2)若PQII T lfll ABB內(nèi)二而角P-QD A的余弦值為真求四面體ADPQ的體積.2解析 由題設(shè)知.AAlAB.AD兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB.AD.AAl所在直線分別為x軸.y軸.z軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo) 系,

4、則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為人(0,0,0)3(3.0,6)。(0.6,0)回(0,3,6)。(6皿0),其中m=BQ,0<m<6.證明:因?yàn)镻是DDi的中點(diǎn)，所以P(04,3),所以麗=(6,7W，3).又被=(3.0，于是而;而=18/8=0,所以福，麗.即ABi±PQ.由題設(shè)知質(zhì)=(6.m60).西在0.36)是平面PQD內(nèi)的兩個(gè)不共線向里.設(shè)川=(xyz)是平面PQD的法向里,則卜1 少 °,即IX'+(=O=。取k6得nE6-n】63).又平面AQD的一個(gè)法向量是2(0.01).所以 COS<ni.I12>一廣：2 _3-3.Inllln2l

5、 ixJ(6-m)2+62+32 J(6-m)2+45而二面角P-QD-A的余弦值為,因此-r 1 J解得m=4或m=8(舍去).此時(shí)Q(640). J(6-m)2+45 '設(shè)赤=>西(0<W 1),而西=。36),由此得點(diǎn)P(0.63Z6Q,所以所=(6,3入26%).因?yàn)镻QII平面ABBN,且平而ABBiAi的一個(gè)法向量是13=(0.1。),所以可3=0.即312=0,亦即:日.從而 P(0,4,4).于是，將四面體ADPQ視為以ADQ為底面的三棱錐PADQ.則其高h(yuǎn)=4.故四面體ADPQ的體積V=S，ADQ-h=ixx6x6x4=24.考點(diǎn)二用向量法求空間角與距離3

6、.在平面四邊形ABCD 4AB=BD=CD=LAB±BD.CD±BD.ABD沿BD折起,使得平面ABD,平面BCD.如圖.(1)求證:ABLCD:(2)若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值：(3)在的條件下，求點(diǎn)D到平面BMC的距離.解析(1)證明:.平面 ABDJL 平而 BCD.平面 ABDATlftl BCD=BD.ABu 平面 ABD.ABBD, AAB±YiftlBCD.又 CDu 平面 BCD.ABLCD.(2)過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BELBD.如圖.由(1)知 AB，平面 BCD,又 BEc T-nn BCD.BDu 平面 BCD,A

7、AB±BE.AB±BD.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以麗麗瓦?的方向?yàn)閤Jlthy軸.z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意，得 B(OAO).C(l.LO),D(O,LOkA(OAl訃0,1 則就=(1 . 1.0)而=(0, , 1).AD=(0J.-l).設(shè)平面MBC的法向量為n=(xo,yo,zo).,fn.BC = o (X。+ y0 = 0, 則坐。，即日0,(n-BM = 0, (2° + 2Z° 取z0=l.得平面MBC的一個(gè)法向量為n=(L-l.l).設(shè)直線AD與平面MBC所成角為8,即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為年.由可知平面MBC的

8、一個(gè)法向量為 又，麗=(0.L0),點(diǎn)D到平面BMC的距離為嘴L/厚 4.如圖，在四棱錐A-EFCB中/AEF為等邊三角形，平面AEFJ_平面EFCB.EFllBCBC=4.EF=2a.NEBC=NFCB=60。為EF的中點(diǎn).(1)求證:AO«LBE:(2)求二面角F-AE-B的余弦值；(3)若BE_L平面AOC,求a的值；(4)在(3)的條件下，求BE與AF所成角的余弦值.解析 證明:因?yàn)镸EF是等邊三角形Q為EF的中點(diǎn)，所以AO±EF.又因?yàn)槠矫鍭EF±Ylftl EFCBAOu平面AEF.所以AOJ_平面EFCB.所以AOLBE.(2)取BC的中點(diǎn)G.連接O

9、G.由題意知四邊形EFCB是等腰梯形.所以O(shè)GLEF.由知AOJ_平面EFCB,又OGu平面EFCB,所以O(shè)ALOG.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則 E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,屈2-a),0), 所以 E4=(a.0./la).8E=(a2?/5(a-2).0).設(shè)平面AEB的法向量為n=(x.y,z),= 0,即1 ax + 娼az = 0, U-BE = 0, ' l(a-2)x + V3(a-2)y = 0.令 z=I 廁 xW，.y=-I.于是 n=(/l.-l J).又平面AEF的一個(gè)法向量為p=(OJ.O).所以cos<n.p>瑞rE由題設(shè)

10、知二面角F-AE-B為鈍二面角.所以它的余弦值為(3)因?yàn)锽E_L平面AOC.所以BEJ_OC.即希,沃=0.因?yàn)辂?(a2.JJ(a2).0).5?=(-2,J，(2a).0),所以辰5?=2(a2)3(a-2E由盛,灰=0及0<av2,解得a=1.(4)由可知 A(0,0,竽),F(-30,0),eGq,0),B(2,笫,0).力(母。制扉C，cos(麗萬X耦向小.BE與AF所成角的余弦值訃綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一求異面直線所成角的方法1.(2017課標(biāo)1110.5分)已知直三楂柱人80上©中2八1'=120:位=230。=1,則異向直線481與四1所成角的

11、余弦值為A萬B.W 答室C2 .(2019吉林長春外國語學(xué)校一模.15汝”圖所示，平面BCGBiL平面ABC.nABC=120。.四邊形BCCiBi為正方形，且AB=BC=2,則異 面直線BCi與AC所成角的余弦值為.考法二求直線與平面所成角的方法3 .(2018江蘇.22.10分)如圖，在正三棱柱ABC-A】BiG中.AB=AA12,點(diǎn)P.Q分別為AiBuBC的中點(diǎn).(1)求異面直線BP與AG所成角的余弦值；(2)求直線CG與平面AQG所成角的正弦值.解析如圖,在正三棱柱ABCABG中,設(shè)ACAiCi的中點(diǎn)分別為O.Oi,則 OB，OC.OOOC.OO JOB.以濟(jì)方乙而；)為基底，建立空間

12、直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)?AB=AA2,所以 A(O,-1,O),B(褥,0,0),C(0J,0),Ai(0,-1,2)B(V102)C(0,1,2).因?yàn)镻為AiBi的中點(diǎn)，所以P俘，2).從而加=( y,-1,2)=(0.2.2).故 kosvBPWG%BPACl 1-14-41 SvrlO|87卜以媼7取2、= 20 '因此，異面直線BP與AG所成角的余弦值為察.因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q俘，0),因此而=俘1，0)配=(022),至=(0。2).設(shè)n=(xyz)為平而AQCi的一個(gè)法向量，則(絲"=。即腎+|y= °，不妨取x信i,i).(AC1T1=0,

13、 (2y + 2z = 0.設(shè)直線CG與平面AQQ所成角為6.則 sin 0= co5<CC1.n>l=”尸I 一 2iccll lnl X2、寫T所以直線CCi與平面AQG所成角的正弦值為g.4.(2018湖北八校4月聯(lián)考.如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,FA=FC,且nDAB=nDBF=60。. (1)求證4(：，平面8口£收求直線AD與平面ABF所成角的正弦值.E解析（1）證明:設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O.連接FO.四邊形ABCD為菱形,，ACLBD,且O為AC中點(diǎn).VFA=FC,AAC±FO,又 FOABD=O.A AC± 平面 BDEF.

14、（5 分）（2）連接DR： I四邊形BDEF為菱形，且nDBF=60。，"DBF為等邊三角形為BD的中點(diǎn),FO«LBD,又AC，F(xiàn)O.ACnBD=O.FOJ_平面ABCD.VOA.OB.OF 兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示.（7分） 設(shè)AB=2.V四邊形ABCD為菱形.nDAB=60。，.BD=2.AC=2GV DBF 為等邊三角形,AOF=V3.，A( V3 A0).B(0.1.0).D(0r 1.0) J(0,0V3).而=(依 i ,0)萬=(-V5,0,內(nèi)至1,0).設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y.z),則 |AF,ti = -V5x + /

15、3z = 0,l屈 F = -V'Jx + y = 0,取 x=l.得分)設(shè)直線AD與平面ABF所成角為包則sin Acosv萬.11>1=叵雪半(12分)|AD|n| 5考法三求二面角的方法5.（2018廣東茂名模擬.18）如圖,在矩形ABCD中,CD=2.BC=LE.F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn).EAllFC.AE，AB.EA=2,DE=JS.FC=l.證明:平面CDFJL平面ADE;求二面角EBDF的正弦值.解析(1)證明:.四邊形ABCD是矩形,J CD，AD.,: AE _L ABCD H AB. CD ± AE.又 ADnAE=A.；.CDJ_ 平面 ADE

16、.VCDc 平面 CDF. A 平C CDRL 平面 ADE.(2)V AD=BC= LEA=2.DES. DE2=AD2+AE2, J AE ± AD.又 AE，AB.ABnAD=A.，AE_L 平而 ABCD.以D為坐標(biāo)原點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則 D(0.0O).B( 1.2.0).R021),E(1.0.2). 麗=(120向=(021), 設(shè)平面BDF的法向量為m=（x.y,z）.pn-DK = x + 2y = 0, bn-D? = 2y + z = 0,同理可求得平面BDE的一個(gè)法向量為n=(2.-l,l),/. cos<m.n>m-n

17、32，r6|m| |n|=3x、 6.sin<m,n>=等,故二面角E-BD-F的正弦值為厚. OO6.(2019河北石冢莊4月模擬.18)如圖，已知三極錐P-ABCqPC±AB.ABC是邊長為2的正三角形.PB=4.nPBC=600.(1)證明:平面PACJ_平面ABC;(2)設(shè)F為棱PA的中點(diǎn).求二面角P-BC-F的余弦值.解析 證明:在2PBe中.NPBC=600.BC=2.PB=4,由余弦定理可得PC=2。. PU+BC'PB; PC ± BC,(2 分)XPC±AB.ABABC=B.PC,平面ABCPCu平面PAC.平面PACJ_平面

18、ABC.(4分)(2)在平面ABC中,過點(diǎn)C作CMJXA.以CACM.CP所在的直線分別為x軸.y軸.z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz(圖略). 則 C(0,0,0).P(0.0,2>/3),A(2.0.0),B( 1 .>/3,0),F( 1,0V3 ).(6 分)設(shè)平面PBC的法向量為m=(xi,yi,zi),則圖煎則xS即m=(G.10)為平面PBC的一個(gè)法向量48分)設(shè)平面BCF的法向量為n=(X2»2&),則理'=+ J3y2 = 0,取X2=d±則即為平面BCF的一個(gè)法向量,(10分)mn cos<m,n>=3+1+02xJ

19、(s/?)2+(.l)2+(.l)2 5由題圖可知二面角P-BC-F為銳二面角, 故二面角P-BCF的余弦值為新<12分)應(yīng)用篇知行合一【應(yīng)用集訓(xùn)】1 .(2018天津十二校4月聯(lián)考.17)如圖.四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面ADEFL平面 ABCD. AF IIDE.AD ± DE. AF=2 e.DE=3 傷.求證:平面ACE_L平面BED;(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值；(3)在線段AF上是否存在點(diǎn)M.使得二面角M-BE-D的大小為60,若存在,求出笠的值;若不存在,說明理由.解析(1)證明:因?yàn)槠矫鍭DEFJL平面ABCD.平面ADEFC平面ABCD

20、=AD.DEu平面ADEF,DE±AD.所以DE_L平面ABCD.（2分）又因?yàn)锳Cc平面ABCD,所以DE，AC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形.所以ACJ_BD.又因?yàn)镈EflBD=D.DEu平面BED.BDu平面 BED.所以ACL平面BDE.（3分）又因?yàn)锳Cu平面ACE.所以平面ACE±平面BED.（4分）（2）因?yàn)镈EJ_DC.DE，AD.ADLDC,所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.則 A(3,0,0),F(3,0,26),E(0.0,3后),B(3,3.O),C(O,3,O),(5 分) 所以芥(3,-3,0)砥(-3,-3,3而)罰=(3,0,-倔.設(shè)

21、平面BEF的法向量為nHxnyi.zi).則=0,即3xx-3yl + 3房工=0,InEF = 0, (SXiVZi = 0，令 Xi=j6.則 y1=2j6.zi=3.則 n=(/6.2/K.3).(6 分)所以cos<1n*求3募9零(7分)所以直線CA與平而BEF所成角的正弦值為當(dāng).（8分） X，（3）存在，理由如下:設(shè)平面MBE的法向量為m=(X2»2,Z2),4m ,南=0 f3% + tz = 0, ' (加前=0, l-3x2-3y2 + 3倔之=°，今以=1,則 Z2=3.X2=3/Kt,貝ij m=（3d6t.t.3）.（10 分） 又諭=

22、（3,3.0）是平面BDE的一個(gè)法向量，F(xiàn)cosvni.C 4 >1=|m-CA|ImllCI19、樂6tl3、Cx1="=2 +9，分）整理得2-6倔+15=0 .解得1邛或舍去）,（12分） .岑=加3分）2 .（2019安徽六安一中 4 月月考.18）如圖 1,在 RHABC qzC=90°,BC=3,AC=6.D.E 分別是 AC.AB 上的點(diǎn)，且 DEllBC.DE=2,ADE 沿DE折起到3AQE的位置,使ACCD,如圖2.若M是AiD的中點(diǎn)，求直線CM與平面ARE所成角的大??；線段BC上是否存在點(diǎn)P.使平面AQP與平面A】BE垂直?說明理由.解析(1)由

23、折段的性質(zhì)得 CD，DE.AQ_LDE,又 CDAAiD=D. ADE± Tlfll ACD.又 A】Cu 平面 ACD.：. ACDE,又 AiC±CD,CDADE=D.AiC_L 平面 BCDE.(3 分)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0.0.0),D(20.0).AM.0.2*).E(-220).B(0.3.0),工布 K0.3.-2回族=(222同設(shè)平面AiBE的法向量為n=(x,y,z),則但m=0,檔-2w/21AlEw = 0, (-2x + 2y-2 商=0,分)又 V M(-1 .06).初=(-1,0«5). Cff-n 1+3/ cos

24、vCAf .>= |CM| |n| vl+4+3x sTFI 2ACM與平面A>BE所成角的大小為45°.(6分)(2)假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P滿足條件,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(OaO),則aG03L 漉=(0a-2/I).麗=(2.a.O).設(shè)平面AiDP的法向量為nlxi.yi.zi),則儂1著21二0°'取y尸6,則x3&ZiSa. ni=(-3a.6.怖a).(9 分)若平面AQP與平面A,BE垂直，則nrn=O,J 3a+12+3a=0,即 6a=-l 2., a=-2, O0a&3,a=2舍去. 線段BC上不存在點(diǎn)P,使平而A】DP與平面

25、AiBE垂直工12分)【五年高考】考點(diǎn)一 用向量法證明平行、垂直1 .(2018 天津.17.13 分)如圖.AD IIBC 且 AD=2BC.AD±CD.EGll AD 且 EG=AD,CDllFG 且 CD=2FGDG J,平面ABCD.DA=DC=DG=2.若M為CF的中點(diǎn),N為EG的中點(diǎn)，求證:MN II平面CDE;(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若點(diǎn)P在線段DG匕且直線BP與平面ADGE所成的角為60。,求線段DP的長.解析 木題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查 空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論

26、證能力.依題意,可以建立以D為原點(diǎn)，分別以蘇.瓦.濟(jì)的方向?yàn)閤軸,y軸.z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得 60.0.0)八(2.00)上(120).(：(0.2.0汨202)(0.1.2)0(0.0.2).必0白1)岫1.0.2).(1)證明:依題意得比=(020).反=(2.0.2).設(shè)nEx°,yo.Zo)為平向CDE的法向量，則喘:軻穹3。，不妨令Zo=l,可得刖=(1.0.-1).又麗=(1,| ,1) ,可得麗ngO.又因?yàn)橹本€MNQ平面CDE.所以MNII平面CDE.(2)依題意，可喻=(-11,22).K=(0.-1.2).設(shè)n=(xi.yi.zi)為平面BC

27、E的法向量， 則噫二a層”+2 不妨令ZI=1.可得n=(O.l.l).設(shè)小=汽2.>2)為平面BCF的法向量.則匣=0,叱M0bn-CF = 0, l% + 2z2 = 0,不妨令及=1 .可得m=(O.2J).ci tn*n 3、'i0 p 曰'i0因此有 s<nu)>-=sin<m,n>=.所以,二面角EBCF的正弦值為等.(3)設(shè)線段DP的長為h(h0O.2J),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(O.O.h),可得加=(“.2h). 易知沆=(020)為平面ADGE的一個(gè)法向量，故Icos礪沆*|j?D?|2由題意，可得2 sin 60。4,解得h?

28、3;似21.所以，線段DP的長為方法歸納利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟審清題意并建系,利用條件分析問題.建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系：確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).結(jié)合建系過程與圖形.準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)：(3)確定直線的方向向量和平面的法向量利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)直線的方向向量和平面的法向曼若已知某直線垂直某平面,可直接 取該直線的方向向量為該平面的法向量；轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系.空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題去論證、求解：問題還原.結(jié)合條件與圖形.作出結(jié)論(注意角的范圍).2.(2017天津17.13分)如圖，在三棱錐P-ABC中.PA_L底面ABCnBAC=90。,點(diǎn)DEN分別

29、為棱PA.PC.BC的中點(diǎn).M是線段AD的中 點(diǎn).PA=AC=4.AB=2.求證:MN II平面BDE:(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知點(diǎn)H在楂PA .匕且直線NH與直線BE所成角的余弦值為求線段AH的長. / X 解析 木題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.如圖，以A為原點(diǎn)，分別以而N?.赤方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A(0A0).B(2A0).C(0.4.0),P(0.0.4),D(0.0.2),E(0,2,2)A1(0,0.1),N(L

30、2.0).不妨設(shè)z=l,可得n=(l.0.1).又麗=(121),可得麗n=0.n2,EN( = 0,712'MN = 0.因?yàn)镸NQ平面BDE.所以MNII平面BDE.(2)易知m=(LO.O)為平面CEM的一個(gè)法向量,設(shè)m=(x.y.z)為平而EMN的法向量.則 因?yàn)榍芭?.2.1麗=(1所以;瀉;z°= 0.不妨設(shè)y=l,可得nE4.1,2).于是 sin<ni.n>=空士 所以,二面角C-EM-N的正弦值為絆.依題意,設(shè)AH=h(O$h*).則H(O.O.h),進(jìn)而可得麗=(-1.2h).麗=(-222).由已知,得Icos麗.屁>1=黑需擔(dān)山整理得

31、-I JM+5X2W 2110M21h+8=0,解得 厚或h,.所以，線段AH的長為飄之 方法總結(jié) 利用空間向量法證明線面位置關(guān)系與計(jì)算空間角的步驟：(1)根據(jù)題目中的條件,充分利用垂直關(guān)系.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角 坐標(biāo)系.盡量使相關(guān)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo):求出相關(guān)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量根據(jù)題目的要求,選擇適當(dāng) 的公式.將相關(guān)的坐標(biāo)代入進(jìn)行求解或證明：(3%檢驗(yàn),得出最后結(jié)論.3.(2016 課標(biāo)IH.19.12 分)如圖,四棱錐 P-ABCD 中.PAJJ氐面 ABCD,ADIIBC.AB=AD=AC=3.PA=BC=4,M 為線段 AD 上一 點(diǎn).AM=2MD.N為PC的中點(diǎn)

32、.證明MNII平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.c解析證明:由已知得AM=4aD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT.TN.由N為PC的中點(diǎn)知TN II BC.TNBC=2.(3分)又ADIIBC,故TN及AM,故四邊形AMNT為平行四邊形，于是 MNIIAT.因?yàn)锳Tc平面PAB.MN平面PAB,所以MN II平面PAB.(6分) (2)取 BC 的中點(diǎn) E,連接 AE.由 AB=AC 得 AE_LBC,從而 AE«LAD.且 AE=VABBE-=JAB2- 以A為坐標(biāo)原點(diǎn).荏的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由題意知 RO.O.AMQZO

33、.C(正 20).N(*L2).成=(02下=住1,2)前=仔1,2).設(shè)n=(x.y.z)為平面PMN的法向量.（10 分）fnPM = 0,印作4=0,% 麗=0惇x + y.2z = 0, 可取 nM0.2J）.即直線AN與平面PMN所成角的正弦值為第.(12分) 4.（2019 浙江.19.15 分）如圖，已知三棱柱 ABC-ABG,平面 AACGL平面 ABC.nABC=90°.nBAC=300.A】A=AC=ACEF 分別是AC.AB的中點(diǎn).(1)證明:EF«LBC;(2)求直線EF與平面A】BC所成角的余弦值.解析 證明:連接AE因?yàn)锳iA=ACE是AC的中點(diǎn)

34、,所以AiE±AC.又平面 AiACG J_ 平面 ABC.AiEu 平面 AiACCi,平面 AiACCifl平面 ABC=AC,所以,AiE，平面ABC.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn),分別以射線EC.EAi為y.z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.不妨設(shè)AC=4.則 AM0.0.2炳.B（叵 1O）B（技3.2回F信尚,2遍）.C（020）.因此罰=俘(,20反=(.值L0). FlE?BC=OEF±BC.(2)設(shè)直線EF與平面A】BC所成角為6. 由(1)可得前=(-行.1.0)點(diǎn)=(02-24). 設(shè)平面AiBC的法向量為n=(x,y,z).由感=。闈今+y;。,(A

35、xCti = o, lyv 無=o.取】i=（i ,）,因此，直線EF與平面AiBC所成的角的余弦值為" 評析本題主要考查面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面角的求解、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí).在建立空間直角坐標(biāo)系之 前.應(yīng)有必要的證明過程,保證從E引發(fā)的三條直線兩兩垂直.在用直接法求線面角時(shí).一定先“找角”.再”求角”.5.（2018 課標(biāo) 11.20.12 分）如圖，在三棱傕 P-ABC 中.AB=BC=26.PA=PB=PC=AC=4.0 為 AC 的中點(diǎn).證明:PO_L平面ABC;（2）若點(diǎn)M在楂BC上，且二面角M-PA-C為30。,求PC與平而PAM所成角的正弦值.解析（1

36、）證明:因?yàn)锳P=CP=AC=4,0為AC的中點(diǎn),所以O(shè)PLAC,且0P=2jI 連接OB.因?yàn)锳B=BC=/AC.所以LABC為等腰直角三角形，且OB±AC.OB=AC=2.由 OPOB2=PB2知 PO±OB.由 OP，OB.OPJ_AC.OBnAC=O,知 POJ_ 平面 ABC.如圖.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn).據(jù)的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得0(0。0).8(2.0.0).40.2.0).(2(0.20)?(002/3).»=(0226).取平面PAC的法向曼而=(2,00).設(shè) M(a,2-a,0)(0<a42),則而?=(a,4-

37、a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(x.y,z).由萬n=0飄n=0得 戶：丁廣 °n 可取 n=(V3(a-4).V3a,-a), (ax + (4-a)y = 0,所以 cos<ggji>= , 2x/1(a-4)2j3(a-4)2+3a2+a2所以2<J|a-4| 臼43(04)2+初2+浸 2,解得a=4（舍去）或a=-.又正=(02-2所以 cos<PC.n>=.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為今考點(diǎn)二用向量法求空間角與距離6.(2019課標(biāo)I .18.12分)如圖，直四極柱ABCD-AjBiCiDi的底面是菱形.AAH.AB=2.nBA

38、D=60Q.E.M.N分別是BC.BBi.AiD的中點(diǎn).證明:MNII平面C2E;求二面角A-MAi-N的正弦值.解析 木題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理，二面角求解等知識(shí)點(diǎn);旨在考查學(xué)生的空間想象能力:以直四楂柱為 模型考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)證明:連接BC.ME,因?yàn)镸.E分別為BBi.BC的中點(diǎn)，所以MEIIBC,且ME=gBC.又因?yàn)镹為A,D的中點(diǎn)，所以NDAQ.由題設(shè)知AB或DC可得B】C幺AQ.故ME區(qū)ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形.MNllED,又MN0平面EDG.所以MNII平面GDE. 由已知可得DELDA.以D為坐標(biāo)原點(diǎn).位

39、的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則人(200)人1(2.0.4)41(1.2)(1.0.2)融=(0.0.4)布=(-171-2).不=(-1。.-2)詢=(0.-0.0).設(shè)MXW)為平面AiMA的法向量喊毀;；所以x + 遍y-2z = 0,可取 m=(.LO).-4z = 0.設(shè)n=(pqr)為平面A,MN的法向量，則;溫二:所以只:軻取X2, ON).于是 cos<m,n>=；m-n 2x*J /IS所以二面角A-MAi-N的正弦值為手.7.(2019課標(biāo)IIL19.12分)圖1是由矩形ADEB.Rt-ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形.其中

40、AB=1.BE=BF=2.nFBC=60。.將其沿AB.BC折起使得BE與BF重合,連接DG.如圖2.證明:圖2中的A.C.G.D四點(diǎn)共面,且平面ABCJ_平面BCGE:(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.圖2解析 木題主要考查平面與平面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的計(jì)算:本題還考查r學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算 能力:通過平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化.考查了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).證明:由已知得ADHBECGHBE,所以ADIICG,故AD.CG確定一個(gè)平面從而ACG.D四點(diǎn)共而.由已知得ABJ_BE.AB，BC,故ABJ.平面BCGE.又因?yàn)锳Bc平面ABC,所以平面ABC

41、±平面BCGE.(2)作EH J_BC.垂足為H.因?yàn)镋Hc平面BCGE.平面BCGE1.平面ABC.所以EH±平而ABC.由已知，菱形BCGE的邊長為2.nEBC=60。.可求得BH=LEH=.以»為坐標(biāo)原點(diǎn).玩的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則 A(-1,1,0),C( 1,0,0),G(2,0g萬=(1,0,餡).正=(2.- L0).設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x.y.z).n = 0, 所以可取nM36曲).B HADIICG.進(jìn)而可得A、C、G、D四點(diǎn)共又平面BCGE的法向量可取為m=(0.L0), 所以 cos<

42、n.mx 即 因此二面角B-CG-A的大小為30°.思路分析(1)利用折疊前后AD與BE平行關(guān)系不變.可得 面.由折疊前后不變的位置關(guān)系可得ABLBE.ABLBC從而AB,平面BCGE,由面面垂直的判定定理可得結(jié)論成立.由(1)可得EI平面ABC以II為坐標(biāo)原點(diǎn)沆的方向?yàn)閤軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量.進(jìn)而求得二面角BCGA的大小.8.(2018課標(biāo)IIL 19.12分)如圖,邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半網(wǎng)弧力所在平面垂直,M是a上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面AMD,平面BMC;當(dāng)三棱惟M-ABC體積最大時(shí),求面MAB與向MCD所成二面角的正弦值.解

43、析本題考查曲面垂直的判定、二面角的計(jì)算、空間向量的應(yīng)用.(1)證明:由題設(shè)知，平面CMD«L平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C±CD,BCc平面ABCD,所以BC±平面CMD,故BC±DM. 因?yàn)镸為&上異于C.D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM±CM.又 BCnCM=C,所以 DMJ.平面 BMC.而DMc平面AMD.故平而AMD±平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)方的方向?yàn)閤軸正方向.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.當(dāng)三棱錐 M-ABC 體積最大時(shí),M 為徐的中點(diǎn).由題設(shè)得 D(0.0.0),A(2,0.0),B(2.2

44、.0),C(0,2,0).M(0.1.1) Jmh.2JJ)=(0,2.0),D=(2.0.0).設(shè)n=(x.y.z)是平面MAB的法向量，則 鬻:即修君+).。4是平面MCD的法向量，因此所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是少.解后反思一、面面垂直的判定在證明兩平面垂直時(shí).一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.二、利用向量求二面角問題的常見類型及解題方法1 .求空間中二面角的大小,可根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系.再分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量.然后通過兩個(gè)平面的法 向量的夾角得到二面角的大小.但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銃角還是

45、鈍角.2 ,給出二面角的大小求解或證明相關(guān)問題.可利用求解二面角的方法列出相關(guān)的關(guān)系式.再根據(jù)實(shí)際問題求解.9.(2017課標(biāo)II.19.12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)而PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD.AB=BC=1AD.zBAD=zABC=90E是PD的中點(diǎn).證明:直線CEII平面PAB;點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45。,求二面角M-AB-D的余弦值.解析本題考查了線面平行的證明和線面角、二面角的計(jì)算.證明:取PA的中點(diǎn)F.連接EF.BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EFlI AD.EFAD.由NBAD=NABC=90。得BCH AD.又BC=*D.所以EF

46、幺BC,則四邊形BCEF是平行四邊形，所以CEllBF,又BFu平面PAB.CE平面PAB.故CEH平面PAB.由已知得BALAD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)方的方向?yàn)閤軸正方向,施I為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0 A0).B( 1 A0).C( 1.1.0),P(0.1 .>/3 )7?=( 1,0.-73 )J4B=( 1 AO).設(shè) M(x,y,z)(O<xv 1),則前=(x-1 ,y,z)聞?=(x,y-1).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45。，而n=(0,0,l)是底面ABCD的法向量,所以lcos<麗?,n>l=sin 45°,

47、-f.|r|J(x-l)2+y2+r2即(Xl-+y2-z2=o .又M在核PC匕設(shè)兩=屁.則由,解得(舍去)，或x=兀y= 1 ,z=VJ-#入.所以j乎).從而俞=(iq,i*).設(shè)mTxo.yo.zo)是平面ABM的法向量，= 0,即(2 .魚)x° + 2y0 + 病 z0 = 0, x bn-AB = 0, lx0 = 0,所以可取m=(0.V62).于是COS<fflJl>= m n -易知所求二而角為銳角.因此二面角M-AB-D的余弦值為手.方法總結(jié)本題涉及直線與平面所成的角和二面角.它們是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).解決此類題時(shí)常利用向量法.解題關(guān)鍵是求平面的法 向

48、量.再由向量的夾角公式求解.解題關(guān)健 由線面角為45。求點(diǎn)M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.10.(2016 浙江.17,15 分)如圖，在三棱臺(tái) ABCDEF 中，平面 BCFEL平面 ABC.nACB=900.BE=EF=FC=LBC=2.AC=3.求證:BF_L平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.解析(1)證明:延長AD.BECF相交干一點(diǎn)K.如圖所示.伙I為平面BCFEL平面ABC.fL AC，BC,所以.AC J.平面BCK,因此.BFJ_AC.又因?yàn)镋FIIBCBE=EF=FC=1.BC=2.所以，BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF±CK.所以BFJ平

49、面ACFD.(2)由(1)知BCK為等邊三角形,取BC的中點(diǎn)0.連接K0,則KO，BC,又平面BCFE±平而ABC.所以.KO_L平面ABC.以點(diǎn)0為原 點(diǎn),分別以射線OB.OK的方向?yàn)閤.z軸的正方向.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得 B( LO.O).C(LO.O).K(O.O.郎).A( 1.30),eR,唁).哈端).伙I此刀=(030)加=(1.3.0)方=(2.3.0).設(shè)平面ACK的法向量為m=(x.yi.zi),平面ABK的法向量:為n=(X2.y2,Z2).由(歉=。，得f y二 0,取 m=(73.o.-i)；(AK-?n = 0+ 3yl + 但1

50、=0,由管i =網(wǎng)2取 n=(3,-2,a.(AK-n =0 收2 + 3% + V3z2 = 0,十日m-n 罵于是.cos<m,n>而而不又易知二面角B.AD.F為銳二面角， 所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為泉 方法思結(jié) 著二面角的平面角為6.兩半平面的法向量分別為n,和以則Icos 8|=|cosv川.嶺1 .要求cos 6的值.還需結(jié)合圖形判斷二面 角的平面角是鍬角還是鈍角迸而決定cos 6=|cosvn】.nz>l,還是cos 8=lcos<ni.nAl.評析本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系.二面角等基礎(chǔ)知識(shí).同時(shí)考亙空間想象能力和運(yùn)算求解能力.1

51、1.(2017山東.17.12分)如圖,幾何體是圓柱的一部分.它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的.G是鈾的中點(diǎn).(1)設(shè)P是令匕的一點(diǎn)，且APJ_BE.求NCBP的大小;(2)當(dāng)AB=3.AD=2時(shí)，求二面角E-AG-C的大小.解析(1)因?yàn)?AP±BE.AB±BE.AB.APc 'Flftl ABP.ABnAP=A.所以BE，平而ABP,又BPu平面ABP,所以 BE_LBP,又nEBC=120。.因此NCBP=30。.解法一:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BEBP.BA所在的直線為x.y.z軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意得

52、 A(O,O,3),E(2AO).G( 1 ,3.3),C(-1 VIO), 故族=(2.03)刀=(1.G.O)扇=(2.0.3),設(shè)m=(xi.yi.zi)是平面AEG的法向量.aJm-AE = 0,訶泅 2xx-3zx = 0,取z1=2,可得平而AEG的一個(gè)法向量m=(3行.2).設(shè)n=(X2,y2a)是平面ACG的法向量.由竺=6可制：2 +警=0, (7i,CG = 0(2乂2 + 3z 0.取Z2=2,可得平面ACG的一個(gè)法向量n=(3,.代-2).所以cosvmmx贏=去易知所求角為銳二面角， 因此所求的角為60。.解法二:取位的中點(diǎn)H,連接EH.GH.CH.因?yàn)閚EBC=12

53、O。.所以四邊形BEHC為菱形，所以 AE=GE=AC=GCW32 + 22=/13.取AG的中點(diǎn)M.連接EMCM.EC.則 EMJ_AG.CM_LAG.所以nEMC為所求二面角的平面角.又 AM=1 .所以 EM=CM=x/TTT=2G.在2BEC 中，由于nEBC=12O0.由余弦定理得 EC2=22+22-2x2x2xcos 1200=12,所以EC=2J3,因此占EMC為等邊三角形.故所求的角為60°.12.(2015課標(biāo)1【.19.12分)如圖，長方體ABCDABGDi中,AB=16.BC=10.AA】=8,點(diǎn)E.F分別在AB.DC上,A正=D】F=4.過點(diǎn)E.F 的平面a

54、與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與平面a所成角的正弦值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作 EMLAB.垂足為 M.則 AM=A1E=4.EM=AAi=8. 因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=J即空礦=6,所以AH=10.以D為坐標(biāo)原點(diǎn).位的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D.xyz,則 A( 10.0.0).H( 10.10.0).E( 1O.4.8).F(O.4.8)7?=( 10.0.0)配=(016.8).設(shè)n=(x.y.z)是平面EHGF的法向量,幾屈=0,

55、n-HE = 0,0,所以可取n=(0A3).所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為聯(lián).思路分析(1)正方形是矩形且所有邊都相等.利用面面平行的性質(zhì)定理.結(jié)合長方體各棱長度作截面:(2)以D為坐標(biāo)原 點(diǎn)刀沆,血的方向?yàn)閤軸.y軸工軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面a的法向量與直線AF的方向向量從而利用向 量法求得直線AF與平面a所成角的正弦值.方法技巧 利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,進(jìn)而求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角):(2) 通過平面的法向量來求.即求出斜線的方向向量與平面的法向量的夾角或具補(bǔ)角(求銳角).取該角的余角就是斜線與平面所成的角.

56、13.(2017 江蘇,2210分)如圖,在平行六面體 ABCD-AiBCDi 中,AA J平面 ABCD.fL AB=AD=2,AAi= AzBAD= 120°.求異面直線AiB與AG所成角的余弦值：(2)求二面角B-AiD-A的正弦值.解析 木題主要考查空間向盤、異而直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用空間向量解決問題的能力.在平面ABCD內(nèi),過點(diǎn)A作AEJ_AD.交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A平面ABCD.所以 AAi_LAE,AAi_LAD.如圖，以(荏.前砧)為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因?yàn)?AB=AD=2,AAi=AzBAD=120°,所以 A(O.O,O).B(值-10).D(020).E(值0.0) A(0.0.#).C W3. W3).(1甲=1居1依屆M.則3為附>=席磊(信1八行)(、&、存)1=7="r因此異面直線AiB與AG所成處的余弦值為今(2)平面AiDA的一個(gè)法向量為近=(J3.0.0).設(shè)m=(x.y.z)為平面BAiD的法向量， 又淄=(行1.麗=(行.3,0).則，"逵=°，即jV*xy-Gz = 0,"bn-BD = 0, ' 信 + 3y = 0.不妨取 x=3.則 y=V3.z=2,所以m=(3.冉.2)為平面BAiD的一