河南省洛陽市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次統(tǒng)一考試試題理(含解析)

1、洛陽市2020學(xué)年高中三年級第三次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理）、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1 .若復(fù)數(shù)/滿足= |4+洞，則訝的虛部為（A. -4B.C.D.先根據(jù)已知求出復(fù)數(shù)z,再求F及其虛部得解.【詳解】由題得/ =5（3+ 川） 5（3 + 41） 3 + 也3-4, 一3-41）（3 +幻）一25所以，的虛部為-4.故選：B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)的模的計算和共軻復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù) 的虛部的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力2 .設(shè)全集廿=凡丹=團B = 阿1則刊門。；&

2、quot;陰=（）A.歸力B.C.。二莖；D.WO<X<1【答案】C【解析】【分析】 先化簡集合A,B,再結(jié)合集合補集交集的定義進行求解即可.【詳解】A - jt|/-2x <G = xQ<x<2,則（心=川*】或“吐則4 n （C泄）= x|K<2,故選：c.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，結(jié)合集合補集交集的定義是解決本題的關(guān)鍵.3 .已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取 2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()小學(xué)箱中離中年儂 &A. 100 ,

3、 10【答案】DB. 100 , 20C. 200 , 10D. 200 , 20根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】由題得樣本容量為 (3500 + 2000 + 4500) 乂2%= 10000 x2% = 200 ,抽取的高中生人數(shù)為2000 x 2% = 40人，則近視人數(shù)為40x03 = 20人，故選：D.【點睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.4.在等比數(shù)列4)中，已知則% =()A. 6B.C. -8D. 8【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列冊J的公比為工則4= 4,所以口 i = qn / = 2,則%j = jqi = 8,選D.5

4、.已知向量屈=(2r1),點D(4，則向量而在說|方向上的投影為(A.1-¥B. 一至匚C.)D.【答案】C【解析】分析：運用向量的加減運算可得 cl)= (5, 5),運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及向量心缶不方向上的投影為即可得到所求值.詳解：而二L),點 C(1 0), D (4, 5),可得&= (5, 5),? =2X5+1X5=15,|直|=5嗣,可得向量月方在方向上的投影為：腦.心3色的了故選：C.點睛：這個題目考查了向量的點積運算和模長的求法；對于向量的題目一般是以小題的形式出現(xiàn)，常見的解題思路為：向量基底化，用已知長度和夾角的向量表示要求的向量，或者建系實現(xiàn)

5、向量坐標(biāo)化，或者應(yīng)用數(shù)形結(jié)合.6 .某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為(B.D.,由此計算體積即可.,、一八一，一，一，、，1由已知三視圖得到幾何體是底面半徑為2,局為3的圓枉的£【詳解】由已知三視圖得到幾何體是底面半徑為2,高為3的圓柱的二，所以幾何體的體積為 x?tx22x3 = 2tt;故選：H.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，關(guān)鍵是正確還原幾何體的形狀，利用公式求體積.7 .執(zhí)行如圖所示的框圖，若輸入的 內(nèi)是7,則輸出戶的值是（）*=t,凡/粕4/A. 720B.120C.5040D.1440【答案】C【解析】【分析】直接模擬程序框圖運行程序即得

6、解.【詳解】由題得k=1,p=1,p=1,1 < 7,k=2,p=2,2 <7,k=3,p=6,3 <7,k=4,p=24,4 < 7,k=5,p=120,5 <7,k=6,p=720,6 <7,k=7,p=5040,7 >7,輸出 P=5040.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖和循環(huán)結(jié)構(gòu)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分 析推理能力8 .歐陽修的賣油翁中寫到：“（翁）乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為:km的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，若

7、隨機向銅錢上滴一滴油（油滴的直徑忽略不計），則正好落入孔中的概率是（）B.D.求出銅錢面積的大小和中間正方形孔面積的大小，然后代入幾何概型計算公式進行求解.【詳解】如圖所示：,"正林=1，5國=尸乂弓產(chǎn)=彳，【點睛】本題考查的知識點是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要求出銅錢面積的大小和中間正方形 孔面積的大小，然后代入幾何概型計算公式進行求解.9 .已知拋物線| = 4度的焦點為F,過焦點廣的直線交拋物線于 K 8兩點，。為坐標(biāo)原點，若C.D. 4|Q?|=6,則用的面積為（）A.卜吊|B.而【答案】A【解析】解：設(shè)直線的方程為：ly二總工一1）,與拋物線方程聯(lián)立可得：y2-y-4 = 0

8、, k則：，由弦長公式可得:三角形的面積為:本題選擇A選項.10.若中盟/E (0.1),且Hg3m =395 =舊,則(【解析】【分析】設(shè)Mg/l =1的=火"<0）,再求出；:利用哥函數(shù)的性質(zhì)比較得解巾.打，P【詳解】設(shè) 5gmm =打唱? = igp = aa < 0）,所以小=5/=時=（舸；p訪=10武=（"而片=式鏟）口，+ OO）單調(diào)遞減,因為函數(shù)y=xaa M0）在（0,且興尹 >軻3力臥，所以m: < n <p故選：A【點睛】本題主要考查對數(shù)指數(shù)運算，考查哥函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識 的理解掌握水平和分析推理能力

9、 .對稱，則關(guān)于函數(shù)1y =©（工）以11 .函數(shù)（幻=占布（左一的圖象與函數(shù) 儀幻的圖象關(guān)于直線下說法正確的是（）A.最大值為1 ,圖象關(guān)于直線對稱C.在一百百|(zhì)上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)B.在o'）上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)D.周期為叮，圖象關(guān)于點（器,0）對稱【答案】B【解析】分析】先求出函數(shù)y=g（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)對每一個選項逐一分析判斷【詳解】設(shè)點 P（x,y）是函數(shù)1y =或了）圖像上的任意一點，則點Q-x + -ry)在函數(shù)y=f(x)的圖 4像上,對于選項A,函數(shù)所以該選項是錯誤白對于選項B,li;對于選項C,由前偶函數(shù)，故該選項對于選項D,函數(shù)白

10、以該選項是錯誤的#方-MM獷斤+ 4TTy= sin2( - z +1,但是=0# + 1,所以圖象不關(guān)于直線“別稱,以函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，解ZA斤一萬三2萬M 2#獷+ 得歷以函數(shù)在（0,看上單調(diào)遞減，所以該選項是正確的;y=g（x）的增區(qū)間為M斤+ *上斤+ Z）,且函數(shù)y=g（x）不是所以函數(shù)圖像的對稱中心為苧）a七幻，所故選：B【點睛】本題主要三角函數(shù)的解析式的求法，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力12 .已知函數(shù)月打=（展>0），若f< 0的解集為（?。遥ù?中恰有兩個整數(shù),則【解析】【分析】XX設(shè)以公=,所以函數(shù) 次工）

11、在電1）為增函數(shù)，在（L + 5）為減函數(shù)，作函數(shù) 貝"=一的圖象與 ex一，L XI） > -2, z 2 11 直線歹=區(qū)-2,由其位置關(guān)系得：目> 2k一2,解得另+得解.U（3）<3fc-21 世H【詳解】設(shè)目=:,則90） J ：當(dāng)0cxM 時，g'#） > 0,當(dāng)此 >時，火工）< 0 ,所以函數(shù)（為在0 1）為增函數(shù)，在（1, + 3;為減函數(shù)，處。的解集為（比等價于（Ax-2；的解集為| 3。，a即當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間|區(qū)。上函數(shù)雙幻=；的圖象在直線，二仙-2|的上方,函數(shù) 必）=:的圖象與直線y二小*-2的位置關(guān)系如圖所示，6一

12、 -1暝“ 一4由圖可知：目> 2卜-2 ,I成3）我一221 .1解得：-+-<1+ ,J *中【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖像，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的有解問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力第n卷（非選擇題，共 90分）二、填空題：本大題共 4個小題，每小題 5分，共20分.JT13.若則&一川上十/丁的展開式中,含3項的系數(shù)為 【答案】【解析】【分析】先根據(jù)打6"，rdr求出n=6,再求卜+ 的的系數(shù), 0最后求含當(dāng)6 - 現(xiàn)/=2該項 系數(shù)為:“德=135, 3當(dāng)6-1=口時，”斗該項的系數(shù)為：射4=12】5 所以含

13、/項的系數(shù)為135-2X 1215=-2295.【點睛】本題主要考查定積分的計算，考查二項式展開式的系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.14 .甲、乙、丙三位同學(xué)，其中一位是班長，一位是團支書，一位是學(xué)習(xí)委員，已知丙比學(xué)習(xí)委員的年齡大，甲與團支書的年齡不同，團支書比乙的年齡小，據(jù)此推斷班長是 【答案】乙【解析】【分析】推導(dǎo)出丙是團支書，年齡從大到小是乙|>|丙> 團支書，由此得到乙不是學(xué)委，故乙是班長.【詳解】根據(jù)甲與團支書的年齡不同，團支書比乙年齡小，得到丙是團支書，丙的年齡比學(xué)委的大，甲與團支書的年齡不同，團支書比乙年齡小，得到年齡從大到小是乙| 二

14、丙二學(xué)委，由此得到乙不是學(xué)委，故乙是班長.故答案為：乙.【點睛】本題考查簡單推理的應(yīng)用，考查合情推理等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.15 .若數(shù)列滿足口1 = 1,且對于任意的nwN*都有%+ 1 = % +打+ 1 ,則工+工+口】a2°2017 °2018咯案】儒【解析】先利用累加法求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法求解 【詳解】由題得白工-。工=2冉3-附=3,，-% = 4二必冊二?192 2)1所以%1 = 2 + 3 + 鼾"% = 1+ 2 + 3 + 口 = /(打 + 1；,適合 n=i.12 J 1 1所以- = -/F”=2( -J,12019, I。.

15、%打 5 + 1) R R + 1 1 1 1 1 1所以一+ - + ,+= 2 (1口 I02a201?0 2010故答案上?？?010【點睛】本題主要考查累加法求數(shù)列的通項，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16 .如圖所示，在棱長為6的正方體力的八-久叫6。1|中，點£/分別是棱,為自的中點,如圖，延長打AS相交于相,連接4M,交R%于",延長出力。1相交于州，連接力N交。于G, 可得截面五邊形為口是邊長為6的正方體，且aF分別是棱。/曲/；1的 中點，；.£/=：九% /G = AH=梅+ 4*=, EG = PH=

16、、b、K =截面的周長為他十鄧,故答案為613+3.三、解答題：本大題共 6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17 .在A川虞中，已知內(nèi)角A, H, £'所對的邊分別為|a,'d，向量帚=1、學(xué)一2$歷的|, 而二 (2s，4-Le襦砌，且加加D為銳角.(1)求角H的大??；(2)若b=2,求A/IBC的面積的最大值.【答案】(1)；嘏【解析】【分析】先利用正弦定(1)由啟“得出必2H十2叫左口弓卜0,再化簡得到角 川 大?。?2)一一 44 一2n一一一一，”一一.一，一，、理得a = -=si依4, c = -；口由6且內(nèi)+ C = 一

17、.再利用二角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求必根的面積的最大值.【詳解】（1）矯二（&-25MH l,而=cos2-fcos2Hy 且而R.j1率 852B + ZsinBricos1=0,2s汨伊+§ = »因為B為銳角，所以TT所以 2K + -=?r.n(2)由(1)知8 =，在八月C中，由正弦定理得時面積有最大值nA =3【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理解三角形和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì), 在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力18 .如圖，四棱錐 P-ABCD43,底面 ABCM菱形，PA!底面ABCD AC=，,PA=2, E是PC上的一點，PE=

18、2EC(I ) 證明PC平面BED(II )設(shè)二面角A-PB-C為90° ,求PD與平面PBC所成角的大小【答案】【解析】解法一：因為底面 ABCM菱形，所以BD_LAC,又PAI AB CD,/. PC1BD2 分設(shè)ACcBD = F,連接EF,因為 AC=2 JI PA = 2, PE = 2EC,故 PC-TlEC 二七,FC=從而生=63FC空=戊EC.AC =PC ace = /PCA：所以AFCE 二 APCAC, F C,ZEEC = ZPAC = 90:由此知PC _LEFPC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD,EF都垂直，所以PC，平面BED6分(2)在平面PAB內(nèi)過點

19、A作AG，PB,G為垂足，因為二面角A-PBY為 90°,所以平面PAB 一平面PBC又平面PABc平面PBC=PB,故AG 一平面PBCAG.BC, RC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA：AG都垂直， 故BC_平面PAB,于是BC_AB,所以底面ABB為正方形， AD = 2, PD =7PA:+AD: = 272吩設(shè)D到平面PBC的距離為d,因為ADBC,且AD7平面PBQBC u平面PBC, 故AD平面PB C, A, D兩點到平面PBC的距離相等，即d=AG=0設(shè)PD與平面PRC所成的角為“則鬲皿=4=: 所以PD與平面PBC所成的角為30°解法二：以力為坐標(biāo)原點，射

20、徹1C為X軸的正半軸，建立如圖所示的空間愛直角坐標(biāo)系4 ryz 設(shè)C (2,0,0)(也b,0),其中b>0廁P(0,0,2)E(挈0,3,8(以一瓦0)2分r L r 42 2干是PC = (2扃0,0 - 2), BE =從而無.晶=0, PGDE = 0.-.PC lBEtPC IDE BE n DE = E所以PC 1平面"DE6分19 .某商場營銷人員對某商品 M進行市場營銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每回饋消費者一定的點數(shù)，該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過統(tǒng)計得到下表：回饋點數(shù)012345銷量（百件）/天0.50.611.41.7（1）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合該商品每

21、天的銷量y （百件）與返還點數(shù)4之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求卜關(guān)于1的線性回歸方程 "加+ a,并預(yù)測若回饋6個點時該商品每 天銷量；（2）已知節(jié)日期間某地擬購買該商品的消費群體十分龐大，營銷調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的返點數(shù)額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查，得到如下頻數(shù)表：返還點數(shù)預(yù)期值區(qū)間13瓜7)719J1)|1113|頻數(shù)206060302010（i）求這200位擬購買該商品的消費者對返點點數(shù)的心理預(yù)期值的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計值（同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點值代替；估計值精確到 0.1 ）;（ii ）將對返點點數(shù)的心理預(yù)期值在 1,3；和113的消費者分別定義為“

22、欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費者中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調(diào)查，設(shè)抽出的 3人中“欲望緊縮型”消費者的人數(shù)為隨機變量 ,，求，的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：nV nty 匚£ n = J.【答案】(1) y0.32f + 0 08, 2 百件；(2) (i) 6,|57; (ii ) 2.(1)利用最小二乘法求y關(guān)于(的線性回歸方程f二次+自，并預(yù)測若回饋6個點時該商品每天銷量；(2) (i )利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式和中位數(shù)公式求樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計值；(ii )由題得X=1,2,3

23、,再求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)易知f=l + 2 + 3 + 4 + 5 = ：,= 505 + 0.6 + 1 + 1.4 + L7= 1.04,5工匕= 12+22 + 32 + 42+ =55,從而5108-5x3 x 1,04 =0.3255-5x3?所以.則3關(guān)于f的線性回歸方程為 夕二Q.32t + 0.08,當(dāng)工二6時，|y = 2.00,即返回6個點時該商品每天銷量約為2百件.(2) (i)根據(jù)題意，這200位擬購買該商品的消費者對返回點數(shù)的心里預(yù)期值的平均值貝U |r = 2x 0.1 + 4 X 03 + 6x 0J + 8x 0.15 + 1OX D: + I

24、Zx 0.U5 = 6,所以中位數(shù)的估計值為 5+2X100-20-6060(ii )抽取6名消費者中“欲望緊縮型”消費者人數(shù)為10“欲望膨脹型”消費者人數(shù)為 6父m=2JU故隨機變量的分布列為1231 耳35115所以 【點睛】本題主要考查回歸方程的求法，考查頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的計算，考查分布列的求法和期望的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力O v2#20 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓£： 1+可=1(口0,b。)經(jīng)過點小一上川2),且點 ab2為其一個焦點.(1)求橢圓同的方程；(2)設(shè)橢圓同與y軸的兩個交點為4, 2,不在9軸上的動點P在直

25、線y二M上運動，直線 風(fēng), 期拉別與橢圓E交于點N,證明：直線MN通過一個定點，且 從川州的周長為定值.21【答案】(1) 土 = 1； (2)證明見解析. 43【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得 a,b的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不妨設(shè)勺(02),%(0,-21.為直線|y = 4上一點(卜o注口)，幽/必卜N(勺必).求出M,N的坐標(biāo)，再寫出直線MN的方程，再證明直線的聲通過一個定點，求出此時 削;MN的周長為定值.,32,. 十 二1 【詳解】(1)根據(jù)題意可得 21az好 ,)b2-fl2 = l可解得府濘，22橢圓匹的方程為 + - = 1.43(2)不妨設(shè)一則2),

26、 A-2).以q.4 I為直線，=,1上一點(。¥ 0),丈+2,直線|P用J方程為/=氣-乙J0點”（馬必|,力的坐標(biāo)滿足方程組，22rjr y=1342y = x + 2可得I點M勺，y"， -2的坐標(biāo)滿足方程組J J 月6y= x-2 I幾可得I27+ W!6 / 2Xg61直線的方程為y-工+?故直線MN恒過定點 仇&I）.又 F（O1，,陶UJ）是橢圓冏的焦點,. MMN 周長=闞 + |MB| + BN + NF =4b = e.【點睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系和定點問題定值問 題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分

27、析推理計算能力。21 .已知函數(shù)，=lnx-k其中k w 為常數(shù).（1）討論函數(shù)幻的單調(diào)性；inx2 > 2inx1（2）若 “幻有兩個相異零點，。式/叼）,求證:【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】 【分析】(1)對f ' (x)=上把(工>0中的k分類討論，根據(jù)f ' (x)的正負(fù)判斷函數(shù)”燈的單調(diào) x性即可.(2)由題意得 lnx i -kxi = 0,lnx2-kx2=0,兩式作差可得，Inxi-lnx2=k (xi-X2),k =,要證lnxi+lnx2>2即k (xi+x2)>2,將k代換后，化簡變形得 加),xz 打 + x2設(shè)

28、t =>1,構(gòu)造函數(shù)g (t),利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，證得 g (t) >g (1) = 0X2即可.【詳解】(1)11 kx 1叫=& =(x > 0,XX當(dāng)時，/(©>0,在區(qū)間(0. + S)上單調(diào)遞增;當(dāng)上0時,由得口所以/(月在區(qū)間ft上單調(diào)遞增，在區(qū)間+ OQ上單調(diào)遞減.(2)因為卜】，是(工的兩個零點，則 ,-k勺=口，飾x憶” =o所以nx2-inx1=k(x2-x1.,+ lnx2=k(x1 +x2).要證歷勺> 2 -帕馬,只要證舊，1 +5勺> 2 ,即證k(x1 +> 2lnx-. - Ex，即證x2設(shè)勺 設(shè)以。=成-三J 則,虱口 = _- >o,所以b在1+ s)上單調(diào)遞增士+1t(t + I)2所以4t)>g(l)=Q即以絲二所以加+ />?,即加勺>2-5打【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間中的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的成立，考查 分類討論思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號后的方框涂黑選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程22 .已知極點與坐標(biāo)原點 口重合，極軸與,軸非負(fù)半軸重合，M是曲線。：第出9上任一點，點滿足