數(shù)學(xué)建模傳染病模型(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上傳染病模型醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。社會、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。一般把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；I類，感病者(Infective)，指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者(Removal)，指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。問題提出請建立傳染病模型，并分析

2、被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來?為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時(shí)，被傳染的人數(shù)大致不變？ 關(guān)鍵字:傳染病模型、建模、流行病 摘要：隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。20世紀(jì)80年代十分險(xiǎn)惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來極大的危害。還有最近的SARS病毒和禽流感病毒，都對人類的生產(chǎn)生活造成了重大的損失。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。 不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要

3、相當(dāng)多的病理知識，這里不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機(jī)理建立幾種模型。模型1 在這個(gè)最簡單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)， 方程（1）的解為 結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無限增長，這顯然是不符合實(shí)際的。 建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別健康人和病人這兩種人。 模型2 SI模型 假設(shè)條件為 1.在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者即健康人（Susceptible）（S）和已感染者即病人（

4、Infective）（i）兩類（取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型），以下簡稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。 2.每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?方程（5）是Logistic模型。它的解為 這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，意味著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門應(yīng)該關(guān)注的時(shí)刻。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變成健康者。 模型3 SIS模型 有些病毒人在感染并治愈之后，沒有免疫性，即還有可能再被感染。模型假設(shè) 在模型二

5、假設(shè)條件的前提下我們再增加一個(gè)假設(shè)條件3.病人每天治愈的比例為日治愈率。一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)模型構(gòu)成于是有 （8）可得微分方程 0 （9）得到 （10）模型 4 SIR模型大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀?，感病者可以被治愈，并會產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥?。人員流動(dòng)圖為：S-I-R。假設(shè)：1 總?cè)藬?shù)為常數(shù)N，且i（t）+s（t）+r（t）=1；2 .病人的日接觸率（每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)）為常數(shù)，日治愈率（每天被治愈的病人

6、占總病人數(shù)的比例）為常數(shù)，顯然平均傳染期為1，傳染期接觸數(shù)為=。該模型的缺陷是結(jié)果常與實(shí)際有一定程度差距，這是因?yàn)槟Ｐ椭屑僭O(shè)有效接觸率傳染力是不變的。3 單位時(shí)間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)l。稱為恢復(fù)系數(shù)。 在以上三個(gè)基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：sisiri 模型結(jié)構(gòu)在假設(shè)1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1）對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為 （2）不妨設(shè)初始時(shí)刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為（0），（0），=0.SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下： （3）s(t) ， i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)

7、算來預(yù)估計(jì)s(t) ， i(t)的一般變化規(guī)律。數(shù)值計(jì)算在方程（3）中設(shè)=1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB軟件編程：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1) 輸出的簡明計(jì)算結(jié)果列入表1。i(t) , s(t)的圖形以下兩個(gè)圖形，is圖形稱為相軌線,初值i(0)=0.02,s(0)=

8、0.98相當(dāng)于圖2中的P0點(diǎn),隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng).由表1、圖1、圖2可以看出,i(t)由初值增長至約t=7時(shí)達(dá)到最大值,然后減少,t,i0,s(t)則單調(diào)減少,t,s0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般變化規(guī)律.表1 i(t),s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果t 0 1 2 3 4 5 6 7 8i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 4

9、0 45i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.03981相軌線分析我們在數(shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1在方程（3）中消去并注意到的定義，可得 （5）所以： （6）利用積分特性容易求出方程(5)的解為： （7）在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向圖3下面分

10、析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t時(shí)它們的極限值分別記作, 和).1. 不論初始條件s0,i0如何,病人將消失,即：2. 最終未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方在(0,1/)內(nèi)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3.若>1/,則開始有，i(t)先增加, 令=0，可得當(dāng)s=1/時(shí),i(t)達(dá)到最大值：然后s<1/時(shí)，有 ，所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小至,如圖3中由P1(，)出發(fā)的軌線4.若 1/,則恒有，i(t)單調(diào)減小至零,s(t)單調(diào)減小至,如圖3中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出,如果僅當(dāng)病人比例i

11、(t)有一段增長的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延,那么1/是一個(gè)閾值,當(dāng)>1/(即>1/s0)時(shí)傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù),即提高閾值1/使得1/(即 1/),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可認(rèn)為接近1)。并且,即使>1/, 減小時(shí), 增加(通過作圖分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在=中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看, 是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被個(gè)健康者交換.所以當(dāng) 即時(shí)必有 .既然交換數(shù)不超過1

12、,病人比例i(t)絕不會增加,傳染病不會蔓延。群體免疫和預(yù)防：根據(jù)對SIR模型的分析,當(dāng) 時(shí)傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/變大以外,另一個(gè)途徑是降低 ,這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值有,于是傳染病不會蔓延的條件 可以表為這就是說，只要通過群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國天花傳染病的接觸數(shù) =5，至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高，也因很難做到免疫者的均勻分布，

13、使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的更高，根除就更加困難。模型驗(yàn)證:上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對SIR模型作了驗(yàn)證。首先，由方程（2），（3）可以得到 ，兩邊積分得 所以： (8)再 (9)當(dāng) 時(shí)，取（13）式右端Taylor展開式的前3項(xiàng)得： (10)在初始值=0 下解高階常微分方程得: (11)其中， 從而容易由（10）式得出：然后取定參數(shù) s0, 等，畫出（11）式的圖形，如圖4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn)表示，可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)

14、吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。模型的應(yīng)用與推廣：根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動(dòng)力學(xué)模型。傳染病動(dòng)力學(xué)1是對進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法,是根據(jù)種群生長的特性,疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播,發(fā)展規(guī)律,以及與之有關(guān)的社會等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過對模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性,定量分析和數(shù)值模擬,來分析疾病的發(fā)展過程,揭示流行規(guī)律,預(yù)測變化趨勢,分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。對于2003年發(fā)生的SARS疫情,國內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動(dòng)力學(xué)模型研究其傳播規(guī)律和趨勢,研究各種隔離預(yù)防措施的強(qiáng)度對控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關(guān)SARS傳播動(dòng)力學(xué)研究多數(shù)采用的是SIR或SEIR模型.評價(jià)措施效果或擬合實(shí)際流行數(shù)據(jù)時(shí),往往通過改變接觸率和感染效率兩個(gè)參數(shù)的值來實(shí)現(xiàn).