數(shù)學教學的靈魂怎樣激活思維

1、數(shù)學教學的靈魂怎樣激活思維姓名：陳理安單位：廣東北江中學聯(lián)系電話：數(shù)學教學的靈魂怎樣激活思維內(nèi)容提要：數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)學生的思維能力，是一個常議常新的話題。教學實踐告訴我們，課堂上若能想方設(shè)法調(diào)動學生思維的積極性，使思維處于活躍狀態(tài)，不但能使學生克服學習中的障礙，達到理想的教學效果，而且使其思維能力得到充分的鍛煉和發(fā)展。因此，探討激活學生思維的教學方法，具有重要意義， 關(guān) 鍵 詞：最近發(fā)現(xiàn)區(qū) 知識內(nèi)蘊 好的教學問題 評價反饋 情感作用一、設(shè)計最近發(fā)現(xiàn)區(qū)心理學研究表明，學生的學習過程，是他們原有數(shù)學認識結(jié)構(gòu)與新知相互作用產(chǎn)生同化和順應(yīng)的過程。在這一過程中，學生已有的觀念和意識往往難以解釋和接

2、納新的概念和方法。此時，教師若把教學內(nèi)容能動地進行加工，創(chuàng)設(shè)切合學生心理水平的最近發(fā)現(xiàn)區(qū)，則能起到誘發(fā)學生思維的作用。如當問題與現(xiàn)實背景有關(guān)時，我們可以提供與課題相聯(lián)系的實際模型讓學生觀察；若內(nèi)容抽象難懂，我們可以先給出其簡單情形讓學生思考；在講授新概念、方法時，可以在新舊知識之間適當增設(shè)層次，減小思維的坡度。創(chuàng)立這樣的思維最近發(fā)現(xiàn)區(qū)， 既能激起學生認識上的不平衡，又能促使他們頭腦中新舊知識間的相互作用，從而達到新的平衡，最終促進了學生思維的活躍與發(fā)展。例如，在二項式定理的數(shù)學中，可依序設(shè)計如下的教學方案：（1）問題：當nM時，(a+b)n的展開式是怎樣的？（2）先將問題簡化，考慮nM時，(1

3、+x)n=？（3）為此，要同學們寫出n=1，2，3，4時，(1+x)n按x的升冪排列的展開式。（4）由以上展開式你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？如項數(shù)：x的指數(shù)；各項系數(shù)等。設(shè)計如上問題，為學生從理性上認識二項式定理作了鋪墊，亦即創(chuàng)設(shè)了思維的“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”，學生思維漸趨活躍。話鋒一轉(zhuǎn)，緊接著提出如下的系列問題：（5）繼續(xù)按如上方法去做，能獲得一般性的結(jié)論嗎？學生發(fā)現(xiàn)，當n越來越大時，直接展開已很困難，怎么辦？提醒學生不妨換一個角度思考問題：(1+x)4=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)=1+( )x+( )x2+( )x3+( )x4從組合的角度來考慮各項系數(shù)的來源及構(gòu)成，如x3的系數(shù)，顯然是4個(

4、1+x)中任選3個(1+x)中的x相乘，其余系數(shù)不清同理可得。（6）讓學生按照這一思維路線可寫出(1+x)5，(1+x)6的的展開式，并直接計算驗證展開式的正確性。（7）于是引導(dǎo)學生猜想(1+x)n=x+xr+xn（8）接著問：nM時，(a+b)n的展開式是怎樣的？再用數(shù)學歸納法證明即可。這里，教師的設(shè)計遵循了由特殊到一般的認知規(guī)律，學生的思維隨著老師的提問，一步步深入，教師又一次為學生的思維創(chuàng)造了“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”。創(chuàng)設(shè)思維最近發(fā)現(xiàn)區(qū)，符合學生的認識水平和規(guī)律，從而引起學生心理上的期待與渴望，使學生的思維由潛隱狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榛钴S狀態(tài)，實現(xiàn)預(yù)期的教學目標。二、挖掘數(shù)學知識的內(nèi)蘊數(shù)學教材的編寫由于各種因

5、素的制約，特別是其邏輯結(jié)構(gòu)嚴謹、抽象的要求，有時不可能展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程。教師的講授如果僅僅停留在這種抽象結(jié)構(gòu)的形態(tài)上，學生的思維就會因缺乏具體生動的新信息的支持而阻塞，教學中，教師應(yīng)讓學生了解問題的背景，來源以及在數(shù)學中地位和作用，應(yīng)讓學生掌握知識的形成過程，理解知識的各個側(cè)面以及蘊含的數(shù)學思想。亦即介紹一些相對于課本來說是新的、更系統(tǒng)的知識內(nèi)蘊，以此激發(fā)學生的學習興趣，達到激活思維的目的。例如，棣莫佛定理的教學，若求快， 按教材平鋪直敘地講解，則幾分鐘就能講授完畢，然后布置給學生一堆習題，讓他們代公式練習便是。這樣做學生便會覺得數(shù)學；枯燥無乏味，到頭來學生知其然而不知其所以然，形成知

6、識上的示夾層面，一遇變化了的情形，學生不知所措。為此，可按如下方法來處理：先復(fù)習兩個復(fù)數(shù)的積，然后引導(dǎo)學生猜想n個復(fù)數(shù)相乘時的公式，再要他們自己去證明，藉此讓學生復(fù)習已學過的數(shù)學歸納，最后指出當“r1=r2=rn，1=2=n”時，就是書本中的棣莫佛定理。通過這樣教學處理，學生明白了。棣莫佛定理是復(fù)數(shù)乘法的特殊形式；縱觀公式的推導(dǎo)過程，不難發(fā)現(xiàn)，公式有更廣泛的適應(yīng)面，即對rR，R，z=r（cos-inin）時，公式仍然成立。獲得了一次探索發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗和方法，這對培養(yǎng)學生的思維能力是有益的。經(jīng)過教師的指點，學生知道：對復(fù)數(shù)的高次冪的計算，一般用棣莫佛定理計算較為簡便；但是，當復(fù)數(shù)的三角式的輻角非特殊

7、時，用此定理計算它的乘方并不一定簡單。同時還應(yīng)注意發(fā)揮處理乘方運算的功效。這樣，學生對公式的理解是全面的、深刻的。這樣，棣莫佛定理在同學們的腦海中是生動活潑，前后聯(lián)系的，利用知識自身的力量撥動學生的思維之弦，使學生感受到數(shù)學是有趣的，有規(guī)律可循的。又如：求數(shù)列的通項公式是解決數(shù)列問題的重點，也是難點。怎樣求數(shù)列的通項公式，要求準確的理解題中所包含的信息并正確處理。如：已知數(shù)列滿足求。如不仔細觀察，就很難下手。因為沒有發(fā)現(xiàn)將遞推式兩邊取倒數(shù)得到：，再變形得到。有將上列式子相加得到：，整理得到：，我們發(fā)現(xiàn)這里用了取倒數(shù)法和累加思想，充分的挖掘了題的隱藏條件，三、提供好的教學問題非認知因素主要包括學

8、習動機、信心、興趣、習慣、師生情感等，筆者以為，學生缺乏學習動機只是問題的表象，關(guān)鍵是教學中應(yīng)有使學生感興趣的內(nèi)容，也就是說，教學中應(yīng)當加入適當?shù)摹昂谩睌?shù)學問題來激發(fā)學生的動機。那么，什么樣的數(shù)學問題才算“好問題”呢？個人以為，一個好問題似應(yīng)滿足如下三個條件：問題的解答中包含著明顯的數(shù)學概念和技巧，它面向全體學生，不偏不怪；問題應(yīng)有多種不同的解法；問題能夠推廣，即具有探索性。例如：同室四人名寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？本題來源于生活，無法直接套用公式、法則，則有一定的障礙性。題目好在“四人”恰到好處，人數(shù)過少，答案一目了然；人

9、數(shù)過多，則又顯得繁雜。但仔細分析，利用加法原理或乘法原理又不難解決。抽掉上述問題的現(xiàn)實情境， 這又是一類什么樣的純數(shù)學問題呢？事實上，“賀年卡”問題的實質(zhì)是組合數(shù)學中的伯努利裝錯信封問題，它有著很好的數(shù)學背景，具有較強的探索性，讓學生去探索解決饒有意趣，學生經(jīng)過思考是不難得到正確答案的。這樣的“好”問題，能讓各種知識層面的學生獲得發(fā)展，獲得提高，有利于激活全體同學的思維。四、及時評價反饋學生的學習活動不可能是一帆風順的，其中肯定有許多錯誤和認識上的偏差，此時，教師不應(yīng)全盤否定，可以引導(dǎo)學生自己去思考，發(fā)現(xiàn)錯誤之所在；當學生思維受阻時，教師要給予充分的鼓勵，也可從另一個角度重新提出問題，或提供鋪

10、助性的問題，幫助他們克服思維障礙；當學生經(jīng)過思考得到正確的結(jié)論時，教師要給學生以熱情的贊賞。在現(xiàn)實的教學過程中，對學生的信息反饋進行評價是一個重要環(huán)節(jié)，教師必須對學生的判斷與教學活動甚至語言表達進行評判，學生才能獲得新的動力，才能認識到自己行動后面的實質(zhì)，為下一步數(shù)學活動積蓄新的動力。若教師對學生的課堂表現(xiàn)不聞不問，對一個很有創(chuàng)造性的回答教師也未置可否，或者教師只顧自己表演，不注意學生在想什么、說什么，這會使課堂氣氛趨于沉寂，無形中扼殺了同學們的創(chuàng)造欲望，就更談不上激活不家務(wù)事思維了。因此，評價是課堂中不可缺的成敗得失，思維的優(yōu)劣；通過評價，以便使學生明白教師倡導(dǎo)的教與學的觀點；通過評價，使學

11、生有反思的機會；通過評價，能使學生掌握一堂課或整個問題的概貌。因此，評價是激活學生思維的有力措施和方法。如：證明當時，有同學提出用構(gòu)造函數(shù)法，設(shè)，再利用函數(shù)單調(diào)性，。所以函數(shù)為增函數(shù)。所以，即有。我表揚了這同學的方法，馬上又有同學說用均值不等式也可以證明。我立即讓他上講臺演算，他高興的寫下：，（當且僅當即X=1時取等號。）因為，所以，即有。這極大地調(diào)動了學生學習的積極性，收到了很好的效果。五、發(fā)揮情感的積極作用情感對于課堂教學是十分重要的，波利亞曾明確指出過這一點。情感涵蓋的面十分廣泛，但作為數(shù)學教學來說，不外乎兩個方面：其一是建立情感氛圍；其二是挖掘數(shù)學中的情感因素。構(gòu)建民主的課堂氣氛我國傳

12、統(tǒng)文化中師生等級觀念過重，這雖有利于教學管理，但影響了師生之間的合作，也影響了教學效果。這種情況應(yīng)該改變，在教學中，應(yīng)充分發(fā)揚民主，鼓勵學生對問題闡述自己的見解；提供給學生大量的數(shù)學活動的機會，讓他們積極參與；在問題面前，師生應(yīng)是平等的、互助的。在不同的時間，需要教師成為不同的角色；示范者、顧問、對話、解惑者。尊重學生現(xiàn)有發(fā)展水平，為學生提供一個寬松自由的學習環(huán)境，以促進學生學習課堂氣氛，學生在課堂上思維是開放、活躍的，這有利于激活學生的思維，有利于創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)。喚起數(shù)學的美感因素學生在長年的數(shù)學學習中， 自覺或不自覺地建立起關(guān)于學生或解決數(shù)學問題的情感，這情感往往是潛性的，需要教師進行教學法的加工，引導(dǎo)學長揭示問題中隱含的情感因素，喚起同學們的情感意識，使其愉快地、主動地去獲取知識，以達到激活學生思維的目的。如通過誘發(fā)學生內(nèi)在審美情感，能使其在愉悅中解決問題。例如，設(shè)的值。本題的“和式”是1000項之和，顯然不會是采用逐項相加的辦法來求值。為此，可引導(dǎo)學生用數(shù)學美的眼光來觀察待求式，發(fā)現(xiàn)內(nèi)蘊著和諧、有序的美學因素：各項的自變量成等差數(shù)列且具有的對稱關(guān)系。為此，我們有理由猜測：對于來說，兩項的自變量之和為1，則它們的相應(yīng)的函數(shù)