2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題相似的經(jīng)典綜合題含答案解析

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題相似的經(jīng)典綜合題含答案解析一、相似1 .設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，四邊形 BCDE是以BC為一邊的正方形.以 B為圓心，BD長(zhǎng)為 半徑的。B與AB相交于F點(diǎn)，延長(zhǎng) EB交。B于G點(diǎn)，連接 DG交于AB于Q點(diǎn)，連接(1) AD是。B的切線；(2) AD=AQ;(3) Bb=CF?EG【答案】(1)證明：連接BD,四邊形BCDE是正方形，/ DBA=45 ； / DCB=90，即 DC± AB,.C為AB的中點(diǎn)，.CD是線段AB的垂直平分線，AD=BD,/ DAB=/ DBA=45 ；/ ADB=90 ；即 BDXAD, . BD為半徑，.AD是。B的切線

2、(2)證明:BD=BG,/ BDG=Z G,1. CD/ BE,/ CDG=Z G,/ G=Z CDG=Z BDG= U / BCD=22.5 , °/ ADQ=90 - / BDG=67.5，/ AQB=Z BQG=90 - / G=67.5 ,/ ADQ=Z AQD, .AD=AQ(3)證明：連接DF,在BDF 中，BD=BF,/ BFD=Z BDF,又 / DBF=45 ,/ BFD=Z BDF=67.5 , ° / GDB=22.5 , °在 RtA DEF與 RtA GCD 中， / GDE=Z GDB+/ BDE=67.5=Z DFE, / DCF玄

3、E=90 ； RtA DCM RtA GED,cf a.即跖,又 CD=DE=BCBC2=CF?EG【解析】【分析】(1)連接BD,要證AD是圓B的切線，根據(jù)切線的判定可知，只須證 明Z ADB=劣即可。 由正方形的性質(zhì)易得 BC=CD, /DCB=/ DCA=', /DBC=/ CDB=I5' ,根據(jù)點(diǎn) C為AB的中點(diǎn)可得 BC=CD=AC所以可得 /ADC=5'，貝U / / ADB=% ,問(wèn)題得證；(2)要證 AQ=AD,需證/AQD=/ADQ。由題意易得 / AQD=:招"-/G , /ADQ=2- ZBDG,根據(jù)等邊對(duì)等角可得/G=/BDG,由等角的

4、余角相等可得/ AQD=/ADQ,所以AQ=AD;(3)要證乘積式成立，需證這些線段所在的兩個(gè)三角形相似，而由正方形的性質(zhì)可得CD=DE=BC所以可知 BC、CF、EG分別在三角形 DCF和三角形 GED中，連接 DF,用有兩 對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得證。2.如圖，AB是半圓 O的直徑，AB= 2,射線 AM、BN為半圓 O的切線.在AM上取一點(diǎn) D,連接BD交半圓于點(diǎn)C,連接AC過(guò)。點(diǎn)作BC的垂線OE,垂足為點(diǎn)E,與BN相交于點(diǎn) F過(guò)D點(diǎn)作半圓O的切線DP,切點(diǎn)為P,與BN相交于點(diǎn) Q.(1)若AB4 4BFO,求 BQ 的長(zhǎng)；(2)求證：FQ=BQ【答案】(1)解：/加0ABFC

5、 ,陛曲均為半圓切線, 熾一.；”.連接 ，則以 0A 必=璘, 四邊形如應(yīng)為菱形， . DQ / 朋, 以戈州均為半圓切線，DA II 旗,，四邊形,!成為平行四邊形.刖 AD - j| ,(2)證明：易得I丹被s ABF6 ,BF AB房=.一/凡是半圓的切線,.過(guò)&點(diǎn)作0A上4 由 J " 5則在獻(xiàn)中，口6 - Rd +樂(lè)，. ts出按=能網(wǎng)戶:A , 7BQ =解得： M ,211FQ = BF -初心業(yè).卜愣=周【解析】【分析】(1)連接OP由AAB里ABFOT彳# AD=OB,由切線長(zhǎng)定理可得 AD=DP, 于是易得 OP=OA=DA=DP根據(jù)菱形的判定可得四邊形

6、 DAOP為菱形，則可得 DQ/AB,易 得四邊形DABQ為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解；BF AA(2)過(guò)Q點(diǎn)作QK，AM于點(diǎn)K,由已知易證得 A ADs a BFQ可得比例式.一不，可得 BF與AD的關(guān)系，由切線長(zhǎng)定理可得 AD=DPQB=QP ,解直角三角形 DQK可求得BQ與AD 的關(guān)系，則根據(jù) FQ=BF-BQ可得FQ與AD的關(guān)系，從而結(jié)論得證。3.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,四邊形 ABCD為矩形，AB=a, BC=b，點(diǎn)P在矩形 ABCD的對(duì)角線 AC上，RtA PEF的兩條直角邊 PE, PF分別交BC, DC于點(diǎn)M, N,當(dāng)PM ± BC, PNLCD時(shí)，%=

7、(用含a, b的代數(shù)式表示).(2)拓展探究乃1在(1)中，固定點(diǎn)P,使4PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，如圖2,陽(yáng)的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖 2的 情形給出證明.(3)問(wèn)題解決如圖3,四邊形 ABCD為正方形，AB=BC=a點(diǎn)P在對(duì)角線 AC上，M, N分別在 BC, CD上，PMXPN,當(dāng)AP=nPC時(shí)，(n是正實(shí)數(shù))，直接寫出四邊形PMCN的面積是(用含n, a的代數(shù)式表示)d【答案】(1) b(2)解：如圖 3,過(guò) P作 PG±BC于 G,作 PHXCDT H,E酰貝U / PGM=/ PHN=90 , / GPH=90PEF 中，/FPE=90/ GPM=Z HPN.PGMAPHNPM P

8、G而方由 PG/ AB, PH/ AD 可得,. AB=a, BC=bPG Ph PG a.因，即陽(yáng) b- 二一川九故答案為1(3)小，戶【解析】【解答解：(1)四邊形ABCD是矩形, ABXBC, .PMXBC, .PMCAABCCM BC b即 AB a四邊形ABCD是矩形，/ BCD=90 ；. PMXBC, PN± CD,/ PMC=Z PNC=90 =Z BCD,四邊形CNPM是矩形，.CM=PN,"a二一即 b故答案為z(3 ) PMXBC, ABXBC.PMCAABCPM 7當(dāng)AP=nPC時(shí)（n是正實(shí)數(shù)）， 萬(wàn)一二J，PM= a 1 ? / （4:，四邊形PM

9、CN的面積=N 1，",W故答案為：（n */.CM BC d【分析】（1）由題意易得 PMCsABC,可得比例式PM AB b,由矩形的性質(zhì)可得CM=PN,則結(jié)論可得證；（2）過(guò) P作PG± BC于G,作PHLCD于H,由輔助線和已知條件易得 PGMsPHN,PM PGPG a則得比例式 再一瓦 由（1）可得比例式 一而一兀 即比值不變；掰-:口C（3）由（2）的方法可得n J / ,則四邊形 PMCN的面積="4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 。為原點(diǎn)，四邊形 ABCD是矩形，點(diǎn) A、C的坐標(biāo)分別是 A （0,2）和C （2:0）,點(diǎn)D是對(duì)角線 AC上一動(dòng)點(diǎn)（不

10、與 A、C重合），連結(jié) BD,作， 交x軸于點(diǎn)E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形 BDEF.圖（1）圖（2）（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為;（2）是否存在這樣的點(diǎn) D,使得 DEC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求證：加 3 ；設(shè)AD=x,矩形BDEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用 的結(jié)論），并求 出y的最小值【答案】仆；3蟲(2)解：存在，理由如下: .OA=2,OC=2A. tan/ACO/ ACO=30 ,Z ACB=60 °如圖(1)中，當(dāng) E在線段 CO上時(shí)， DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC / DCE土 EDC=3

11、0,°/ DBC=ZBCD=60,°.DBC是等邊三角形, . DC=BC=Z在 RtA AOC 中， / ACO=30 ； OA=2, .AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2, 當(dāng)AD=2時(shí)，ADEC是等腰三角形，如圖(2)中，當(dāng) E在 OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE/ DBC=Z DEC=Z CDE=15,°/ ABD=Z ADB=75 :.AB=AD=2'-',綜上所述，滿足條件的 AD的值為2或20(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作MNLAB于點(diǎn)M,交OC于點(diǎn)N。. A(0.2)和 C(23 ,0), 直線AC的解析

12、式為y=-33x+2,設(shè) D (a, -33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a / BDE=90 , ° / BDM+Z NDE=90 ,Z BDM+Z DBM=90 :/ DBM=Z EDN, / BMD=Z DNE=90 : .BMDADNE,1 . DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如圖（2）中，作DHI± AB于HoH 3圖在 RtAADH 中，,. AD=x, ZDAH=ZACO=30,°2 .DH=12AD=12x, AH=AD2-DH2=32x,.BH=23-32x,在 RtBDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-3

13、2x2,3 . DE=33BD=3312x2+23-32x2,4 .矩形 BDEF的面積為 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即 y=33x2-23x+43,y=33x-32+35 .33>0,，x=3時(shí)，y有最小值3.【解析】【解答】(1) 四邊形AOCB是矩形，BC=OA=2, OC=AB為行,/ BCO=Z BAO=90 ;.B (3 , 2)【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，分別求出 BC AB的長(zhǎng)，即可求解。(2)根據(jù)點(diǎn) A、C的坐標(biāo)，求出/ACO, /ACB的度數(shù)，分兩種情況討論： 如圖(1) 中，當(dāng)E在線段 CO上時(shí)， DEC是等腰三角形，觀察圖象可

14、知，只有ED=EC如圖(2)中，當(dāng) E在 OC的延長(zhǎng)線上時(shí)， DCE是等腰三角形，只有 CD=CE, /DBC=/ DEC=Z CDE=15，分另1J求出 AD的長(zhǎng)，即可求解。(3) 如圖，過(guò)點(diǎn)D作MNLAB于點(diǎn)M,交OC于點(diǎn)N。利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè) D (a,-3a+2),分別用含a的代數(shù)式表示出DN、BM的長(zhǎng)，再證明 BMDADNE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求解；如圖(2)中，作DHXAB于H。設(shè)AD=x,用含x的代數(shù)式分別表示出 DH、BH的長(zhǎng)，利用勾股 定理求出BD、DE的長(zhǎng)再根據(jù)矩形的面積公式，列出 y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出頂點(diǎn)坐 標(biāo)，即可求

15、解。5.已知如圖1,拋物線y=-5x2 - x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn)(點(diǎn) A在點(diǎn)B的左側(cè))， 與y軸相交于點(diǎn) C,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0, - 1),連接BC AC(2)如圖2,若在直線 AC上方的拋物線上有一點(diǎn) F,當(dāng)4ADF的面積最大時(shí)，有一線段MN= $ (點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))在直線 BD上移動(dòng)，首尾順次連接點(diǎn) A、M、N、F構(gòu)成四 邊形AMNF,請(qǐng)求出四邊形 AMNF的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn) N的橫坐標(biāo)；(3)如圖 3,將4DBC繞點(diǎn) D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) a °(0V a之180°),記旋轉(zhuǎn)中的 DBC為 DB' C'若直線B'直線AC交于點(diǎn)P,直線B'

16、C直線DC交于點(diǎn)Q,當(dāng)4CPQ是等腰 三角形時(shí)，求CP的值.【答案】(1)解：:拋物線y=-占x2- J x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn),0=一J - JX2 dJJ占x=2 或 x= - 4,A (-4, 0) , B (2, 0),- D (0, T),i直線AD解析式為y=-4x- 1(2)解：如圖1,過(guò)點(diǎn)F作FHI± x軸，交AD于H,占 m2- -i m+3) , H ( m,|jJ i 13i.,. FH=- 5 m2- 4 m+3 - (- / mT) =- 8 m2 - J m+4,Sa adf=Sa afh+Sa dfh= 一 FH X 帕 xa|=2FH=2 (一百

17、m2 士 m+4) =- i m2m+8= / ( m+j) 2+ J , 2當(dāng)m=- 3時(shí)，Sadf最大， E F (- J ,如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)Ai ,把Ai沿平行直線BD方向平移到 A ,且AlA2=退,連接A2F,交直線BD于點(diǎn)N,把點(diǎn)N沿直線BD向左平移得點(diǎn)M,此時(shí)四邊形 AMNF的周長(zhǎng)最小.AV. OB=2, OD=1, /tanZ OBD=)，.AB=6,在 RtABK 中，AH= 1 , AiH=:;.oh=oa- ah=824Ai (- 5, - 5 ),過(guò) A2 作 A2PL A2H, / AiA2P=Z ABK, - AiA2= « , A2P=

18、2, AiP=1,A2 ( - 5 , - 5 )E 76F (- J, 3 )107 目，A2F的解析式為y= - x-百，,. B (2, 0) , D (0, T),直線BD解析式為y=- R x- 1， 聯(lián)立得，x=-3, .N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:(3)解：.C (0, 3) , B (2, 0) , D (0, 1) .CD=4, BC= ", OB=2,BC邊上的高為DH,1 1根據(jù)等面積法得，:BOX DH= CDX OBpt) X OB 4X2.DH= BC=上了，- A (-4, 0) , O (0, 3),.OA=4, OO=3,0A4 .tanZ AOD= 0c J

19、,當(dāng)PC=PQ時(shí)，簡(jiǎn)圖如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PG± CD,過(guò)點(diǎn)D作DHPQ,9 5x/7j a= 339 ?io a久73PC=5a= 339 ； 當(dāng)PC=CQ時(shí)，簡(jiǎn)圖如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PG± CD,. tanZ ACD= 設(shè) CG=3a,則 PG=4a, .CQ=PC=5a .QG=CQ- CG=2a,PQ=2 a, .DQ=CD- CQ=4- 5a.PGQADHQ,CQ,QG,PQ,DQ 的長(zhǎng)，由同的方法得出，PC=4- 3 ,設(shè)CG=3a,則PG=4a,從而得出 PGQsDHQ,同 的方法得出，PC的長(zhǎng)； 當(dāng)QC=PQ時(shí)，簡(jiǎn)圖如圖12臼過(guò)點(diǎn)Q作QG± PC,過(guò)點(diǎn)C作

20、CN± PQ, 設(shè) CG=3a,貝U QG=4a, PQ=CQ=5aPG=3a,PC=6a.DQ=CD- CQ=4- 5a,利用等面積法得， CN< PQ=PC QGCN= a,.CQNADQH同的方法得出PC= 513 當(dāng)PC=CQ時(shí)，簡(jiǎn)圖如圖4,過(guò)點(diǎn)P作PG± CD,過(guò)H作HD± PQ, 設(shè) CG=3a,貝U PG=4a, CQ=PC=5a .QD=4+5a, PQ=4$,.QPGAQDH,同方法得出.CP= 13410 2制73246麗 J綜上所述，PC的值為：3 -39 ； 4 - 萬(wàn)，7 萬(wàn)，二萬(wàn)一"【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線與 x

21、軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，把 y=0代入拋物線的解析式， 得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，求解得出x的值，進(jìn)而得出 A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；然后由 A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)F作FH, x軸，交AD于H,根據(jù)函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，及平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)出F,H的坐標(biāo)，從而得出 FH的長(zhǎng)度，S>aadf=Safh+Sidfh=- FH X Dx4-xa|二2FH,列出關(guān)于 m的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由頂點(diǎn)式得出當(dāng)m=-J時(shí)，熱adf最大，從而得出 F點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)Ai ,把Ai 沿平行直線BD方向平移到A2 ,

22、且AiA2=,連接A2F,交直線BD于點(diǎn)N,把點(diǎn)N沿直線BD向左平移 小得點(diǎn)M,此時(shí)四邊形 AMNF的周長(zhǎng)最小，進(jìn)而求出點(diǎn) A1, A2坐標(biāo)， 即可確定出A2F的解析式和直線 BD解析式聯(lián)立方程組即可確定出N點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)根據(jù)C,B,D三點(diǎn)的坐標(biāo)，得出 CD,BC,OB的長(zhǎng)，BC邊上的高為DH,根據(jù)等面積法 得/ MBCX DH=CDX OB從而得出 DH的長(zhǎng)，根據(jù) A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出 OA,OC的長(zhǎng)，根據(jù)正切 函數(shù)的定義得出tan/ACD= 4： 3 ;然后分四種情況討論：當(dāng)PC=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG± CD,過(guò)點(diǎn) D 作 DHXPQ,由 tan / ACD= 4 ： 3

23、,設(shè) CG=3a,則 QG=3a, PG=4a, PQ=PC=5a, 從而由 DQ=CD - CQ 得出 DQ 的長(zhǎng)，根據(jù) PGQsDHQ , 得出 PG： DH=PQ： DQ,從而求出a的值，進(jìn)而求出 PC的值； 當(dāng)PC=CQ時(shí)，簡(jiǎn)圖如圖 2,過(guò) 點(diǎn) P 作 PG± CD, tan Z ACD= 4 ： 3,設(shè) CG=3a,貝U PG=4a,從而得出 CQ,QG,PQ,DQ的長(zhǎng)， 由PGQsDHQ,同的方法得出，PC的長(zhǎng)；當(dāng)QC=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn) Q作QGXPC,過(guò) 點(diǎn)C作CN, PQ,設(shè)CG=3a,貝U QG=4a, PQ=CQ=5a，從而得出 PG,PC,DQ的長(zhǎng)，利用等面積 法得

24、，CN< PQ=PCQG從而得出 CN,由CQNDQH同的方法得出 PC的長(zhǎng)；當(dāng) PC=CQ 時(shí),過(guò)點(diǎn) P 作 PG± CD,過(guò) H 作 HDLPQ,設(shè) CG=3a,貝U PG=4a, CQ=PC=5a 從而得出 QD,PQ 的長(zhǎng)，由QPGsQDH,同方法得出.CP的長(zhǎng)。6.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 V -右？/bx + C由H外與上軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3, 0)、B (1, 0),與y軸交于點(diǎn) D(0, 3),過(guò)頂點(diǎn) C作CHI±x軸于點(diǎn)H.C不重合），當(dāng)4ADE與（2）連結(jié) AD、CD,若點(diǎn) E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) E與頂點(diǎn) ACD面積相等時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo)

25、；P向CD所在的直線作垂（3）若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P與頂點(diǎn)C不重合），過(guò)點(diǎn)線，垂足為點(diǎn) Q,以P、C Q為頂點(diǎn)的三角形與 4ACH相似時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).【答案】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為 丫 匚血、，拋物線過(guò)點(diǎn) A(-3, 0),B(1, 0), D(0, 3), - 3b c = Cf a + b + t = 6 七二 3,解得，a=-1, b=-2, c=3,，拋物線解析式為卜二 工二 f + 3 ,頂點(diǎn)C (-1,4);(2)解：如圖 1, A(-3, 0), D(0, 3),直線AD的解析式為y=x+3,設(shè)直線AD與CH交點(diǎn)為F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1, 2） .CF=FH

26、ADE與 ACD面積相等,分別過(guò)點(diǎn)C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn) E, 由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知，直線EC的解析式為y=x+5,直線EH的解析式為y=x+1,分別與拋物線解析式聯(lián)立，得(3)解：若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)(如圖 2),只能是CPgACH,得/PCQ=/ CAH,PQ CHCQ - AH分別過(guò)點(diǎn)C、P作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn) Q作y軸的平行線，交點(diǎn)為 M和N,由CQMsQPN,PQ PN QN得 CQ HQ CM =2, / MCQ=45 °,設(shè) CM=m ,貝U MQ=m , PN=QN=2m, MN=3m ,，P 點(diǎn)坐標(biāo)為(-m-1 , 4-3m),將

27、點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式，得 -向，J余?以4 3二1一小，解得m=3,或m=0(與點(diǎn)C重合，舍去).P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4, -5); 若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)(如圖 )，只能是PCMACH,得/PCQ=Z ACH, PQ AH ;. .CQ CH ,延長(zhǎng)CD交x軸于M ,M(3 , 0)過(guò)點(diǎn)M作CM垂線，交CP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,彳FN工x軸于點(diǎn)N,PQ FM /.CQ CM 二， / MCH=45 ； CH=MH=4 ，MN=FN=2,，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(5, 2), 1直線CF的解析式為y= 73 ,1 11 y= _7上吃聯(lián)立拋物線解析式，得F / 次. 3 ,解得點(diǎn)P坐標(biāo)為( 三，石),£ 33

28、綜上所得，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-5), (5, 9 ).【解析】 【分析】(1)將A (-3, 0)、B (1, 0)、D(0, 3),代入y=ax2+bx+3求出即 可；(2)求出直線AD的解析式，分別過(guò)點(diǎn) C、H作AD的平行線，與拋物線交于點(diǎn)E,利用 ADE與4ACD面積相等，得出直線EC和直線EH的解析式，聯(lián)立出方程組求解即可;(3)(3)分兩種情況討論： 點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)；點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè).7.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖，圖正方形AEFG的兩邊分別在正方形 ABCD的邊AB和AD上，連接CF.寫出線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系；寫出直線CF與DG所夾銳角的度數(shù).(2)拓展探究：如圖，圖將正

29、方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋車t的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利 用圖進(jìn)行說(shuō)明.（3）問(wèn)題解決如圖， ABC和4ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/ DAE=90； AB=AC=4,。為AC的中點(diǎn).若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接 OE,則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段 OE的長(zhǎng)的最小值.（直接寫 出結(jié)果）【答案】（1）CF=忑DG,45匚（2）解：如圖：C * 力 連接AC、AF在正方形 ABCD中，延長(zhǎng) CF交DG與H點(diǎn)， 1ZCAD= - Z BCD=45 二，設(shè) AD=CD=a 易得 AC= . a= . AD,同理在正方形 AEFG中，/ FAG=45 = ,AF='

30、- AG,二 /CAD=/ FAG,二 /CAD-/ 2=/FAG-/ 2,: /1 = /3 AC AA又：,萬(wàn)一元, ACAF DAG, CF AC|玳=、用,| cf= . DG;由CA。DAG,，： /4=/5,:'|/ACD=/ 4+/6=45 二,I ：I / 5+/6=45 二,J Z5+Z 6+Z 7=135 二，在ACHD中，/CHD=180二-135二=45匚，：（1）中的結(jié)論仍然成立（3） OE的最小值為S .A0-Ea 6x【解析】【解答】（3）如圖：由 / BAC=/ DAE=90 口，可得 / BAD=Z CAE又 AB=AC,AD=AE,可得BA4 4CA

31、E, : ZACE=Z ABC=45 二,又 1 /ACB=45、, *：|/BCE=90 二，即 CEL BC,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短， ：OE± CE時(shí)，OE最短，此時(shí) OE=CEAOEC為等腰直角三角形，1:'OC=- AC=2,由等腰直角三角形性質(zhì)易得，OE=、» , - OE的最小值為萬(wàn).【分析】（1）易得 CF= %EdG45 口 ；（2）連接 AC、AF在正方形 ABCD中，可得 CF 叫 CA。DAG, 歷 疝*=事,: CF乩 DG,在 4CHD 中，/ CHD=180-135 二二45 二，（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3） OE±

32、; CE時(shí)，OE最短，此時(shí) OE二CEAOEC為等腰直角 I三角形，OC=-AC=2可彳導(dǎo)OE的值.8.如圖1,以DABCD勺較短邊 CD為一邊作菱形 CDE項(xiàng)點(diǎn)F落在邊AD上，連接 BE,交AF于點(diǎn)G.圖1圖2郅（1）猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由;(2)延長(zhǎng)DE,BA交于點(diǎn)H,其他條件不變，風(fēng) 如圖2,若/ADC=60°,求的值；國(guó)如圖3,若/ ADC=a (0° <oc <90,直接寫出 也的值.(用含”的三角函數(shù)表示)【答案】(1)解：BG =理由如下：四邊形，做Z是平行四邊形，AB / la , AB CD .四邊形加/是菱形,. |儀 / &q

33、uot;，8 二 EF.Ah / 助，AB = EF .又.ZAGB - NFGB ,. | J.Mg AFEGBG 屬(2)解：方法1 :過(guò)點(diǎn)4作/闋，交麻I于點(diǎn)步，.AB II CL |/君產(chǎn)=/猊。=疝丁 | .G / Ah ,上泗=用歹 上就口，姓 60,J出應(yīng)是等邊三角形。%；三晝 DC MG 1蒸一哀一三方法2：延長(zhǎng)EL , 交于點(diǎn)心,.四邊形山用為菱形，.-./即產(chǎn)=/郎=60° 四邊形”次名為平形四邊形,.|入1跖= /3 = 招1,9 / 道"而=,代=.叱| .609ZH = 180 -上曲W-4=/8i” -時(shí)即 ，“出戰(zhàn)為等邊三角形.HB 班 /執(zhí),

34、X.EGD = /出*, ZEDG 上金.皿S '酶,& EG.而一艱由（1）結(jié)論知DG GE.而一應(yīng)一HB 珈DC DG 1 BH 班 i如圖3,連接EC交DF于O,HS3四邊形CFED是菱形, .EC，AD, FD=2FQ設(shè) FG=a, AB=b,貝U FG=a, EF=ED=CD=b3RtA EFO 中，cos a =,OF=bcos ,aDG=a+2bcos , a過(guò)H作HMAD于M, / ADC=Z HAD=Z ADH= % .AH=HD,AM L、h . AM= - AD= - ( 2a+2bcos )(=a+bcos , aRtA AHM 中，cos a 助， a

35、 + bees 白.AH= clos a , a + 2/jcos 日M十加。號(hào)¥1 b +面=CUE。=cos a【解析】【分析】(1)利用菱形和平行四邊形的性質(zhì)可得出AB/CD/ EF, AB=CD=EF再利用平行線的性質(zhì)可證得 /ABG=/ FEG然后利用 AAS可證得AB8 4FEG由全等三角 形的性質(zhì)可證得結(jié)論。(2)過(guò)點(diǎn)G作GM / BH ,交DH于點(diǎn)M ,易證GMEsBHE 得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出MG與BH的比值，再利用菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)證明DG=MG,即可解答；連接EC交DF于O,利用菱形的性質(zhì)可得出EC!AD, FD=2FQ設(shè)FG=a, AB=b,可表示出

36、FG, EF=ED=CD=b RtA EFO中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出OF、DG,過(guò) H作HMLAD于 M,易證 AH=HD, AM=a+bcos %再在 RtAAHM中，利用銳角三角函數(shù)的定義 求出AH的長(zhǎng)，繼而可得出 DG與BH的比值，可解答。9.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng), ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，小亮以 BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形 BEF,連接CF.B AB圖1圖2(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，EF、BC相交于點(diǎn)D,小亮發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形全等， 請(qǐng)你找出來(lái)，并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨著運(yùn)動(dòng)，若四邊形 ABFC的

37、面積為一萬(wàn)求AE 的長(zhǎng)；(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CR BE相交于點(diǎn)D,請(qǐng)你探求ECD的面積&與4DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；罔(4)如圖2,當(dāng)4ECD的面積S= 8時(shí)，求AE的長(zhǎng).【答案】(1)解：現(xiàn)點(diǎn)E沿邊AC從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有 ABE?CBF.由圖 1 知，4ABC與AEBF都是等邊三角形，AB=CB BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,/ CBF=/ ABE=60-Z CBE ABE?A CBF.(2)解：由(1)知點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有 ABE?CBF,因四邊形BECF的面積等于三角形 BCF的面積與三角形 BCE的面積之和

38、,小 ,又四邊形ABFC的面積是四邊形 BECF的面積等于 4ABC的面積，因4ABC 的邊長(zhǎng)為四邊形BECF的面積為R3S 出附.J ,在三角形 ABE中，因Z A=60 ； .,邊AB上的高為 AEsin60 ,11a/3|jS/詆=-AB 悲siW =- X 2 X AE = TP.二二-./ ,則 AE=-.解：5： S -.由圖 2 知，4ABC與4EBF都是等邊三角形，AB=CB BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,又/CBF=Z ABE=60 + /CBE, .ABE?ACBF"槌=”點(diǎn)，.二腌=5皿，5欣，則5硒 . 5J標(biāo)-'3 ,貝U 另二事(4)解

39、：由(3)知25=事,即5® 3匕刖-猾,i - - 5金藥-由8 得心 , AABE?ACBF,AE=CF / BAE=/ BCF=60 ,°又/BAE=Z ABC=60,得 / ABC=/ BCF, . CF/ AB,貝U 4BDF 的邊 CF 上的高與 ABC 的高 相等，即為同則 DF= 3 ,設(shè) CE=x 則 2+x=CD+DF=CD+ ,. CD=x1，ICD Ch Xx在 ABE中，由CD/ AB得，AB 掂，即 24，一，2化簡(jiǎn)得 Jr7 x - Xi 6 x :. x=1 或 x=- J （舍），即 CE=1,AE=3.【解析】【分析】（1）不難發(fā)現(xiàn)ABE

40、?CBF,由等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的條件，根據(jù)“SA洌定三角形全等；（2）由（1）可得ABE?CBF,則53褥 5d圍，則四邊形ABFC=Sj應(yīng)+ S四山現(xiàn)ECF5?！?5既+ 5而="樣+ S破,由四邊形 ABFC的入/3面積為事 和等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為2,可求得4ABE的面積，由底 ABX AEsin60；構(gòu)造 方程可解出 AE. （ 3）當(dāng)E在 AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，ABE?CBF依然成立，則 3梭=5修，即 山做 1 5版5/踮-戰(zhàn)+ 5國(guó) 由等量關(guān)系即可得答案. （4 ） 由 （3 ） 可求出4FBD 的面積，由 ABE74CBF, 則 AE=CF , /BAE=/ B

41、CF=60=Z ABC,則CF/AB,則對(duì)于 BDF的邊CF上的高等于 ABC的高，則可求CD CE出DF的長(zhǎng)度；由AE=CF可設(shè)CE=x且CD/AB可得/加 上:,代入相關(guān)值解出 x即可.10.如圖，AB為 的直徑，C為00上一點(diǎn)，d為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，（1）求證：DC為0 0的切線;（2）線段 DF分別交 AC, BC于點(diǎn)E, F且|上tEF二/尸，C0的半徑為 5,S111B -n,求CF的長(zhǎng).【答案】（1）解：如圖，連接 OC,:AB為9 0的直徑， : 一ACU 二4二第，：088,.：5 = /BC0,:'JACD B| ? : JICD 上加。，二 ZACD , 4CA

42、-緲"，即"D - 的.：DC為。0的切線3 AC(2)解：|仁咖1 £ KB中，曲-1，一 一二M*： AC 6 B( 8 上ACD 4 /ADC 上©JE ：/ CADs ECD,AC AD 6-9 BC 一，設(shè)AD 聶，0 的，Rl J OCD 中，0C?，=。巾，于小不衣尸二。為尸，36工"1舍或7 ,：“ 5EF = /丁| UACB =如 口 ? ?. : CE <H ,設(shè) CF a ,:* /CEF =上班口 , 4DE ?TFE - 5 ' 4DF , : HE JBDF ,I ： .冬。二T ? Z CEDs B

43、FH,CE BF| * " 5 一而a8 一鼻*30J£匆4 XJO -f- 3X a- Tl-r|， ，.：CF 臼【解析】【分析】(1)要證DC為。O的切線，需添加輔助線：連半徑OC,證垂直，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得出/ BCO + / OCA = 90。，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可得出/ B = / BCO ,結(jié)合已知，可推出 Z OCD=90,然后利用切線的判定定理，可證得結(jié) 論。(2)根據(jù)已知圓的半徑和 sinB的值，可求出 AB、BC的值，再證明 ACAD s BCD,得出 對(duì)應(yīng)邊成比例，得出 AD與CD的比值，利用勾股定理求出 AD、CD的長(zhǎng)，再利用/

44、 CEF=45 去證明CE = CF ,然后證明 CEDs BFD,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出 CF的長(zhǎng)。1,2),( 3, 2),點(diǎn)11.如圖，在 RtABC中，/C=90°,頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-B在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0),拋物線y= - x2+bx+c 經(jīng)過(guò) A、C 兩點(diǎn).(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；忖(2)點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng) Sapab= 7 Saabc時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；J秒后，點(diǎn)M(3)若點(diǎn)N由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度沿邊 BC CA向點(diǎn)A移動(dòng),也由點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段 BO向點(diǎn)O移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí) 另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)

45、，點(diǎn)N的移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)MNLAB時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值，不必寫出解答過(guò)程.【答案】(1)解：將點(diǎn)A ( 1, 2) , C (3, 2),代入拋物線y=-x2+bx+c中，,-i - b c - 2 b - Z得- 9，況*-，解得7:瓦 ，拋物線 y= - x2+2x+5.(2)解：二.點(diǎn) A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2),BC±x 軸，AC=4, BC=2,IIS a a&c =-AC X BC =- X 4 X 2 = 4 9o設(shè)直線 AB為y=mx+n,* J= 一將點(diǎn)A (-1,2) , B (3,0),代入可得'功，力 0 ,解得

46、 / ，直線AB為y=設(shè)點(diǎn)P (x,片，子5),過(guò)點(diǎn) P作PN±x軸，交直線 AB于點(diǎn)M,則M (x, .PM=X45 +27 -5 + yfT/則點(diǎn)(3)解：當(dāng)b ","3時(shí)，如圖1,點(diǎn)N在BC的線段上，BN=5'，BM= '3 ,. MNXAB,/應(yīng) ' 掰加 9。： 又. A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2), .AC/x 軸,BC/ y 軸,/ ACB=90 ；|/俄I- /蟻；=/，.|/您=,飛也|又 / MBN=Z ACB=90 , BNM-A CAB,BM= / ADN=/ ACB=90 , °Z DAN=/ CAB, .ADN>A ACB, / BDM=Z ACB=90，/ DBM=Z CAB, .BDM-AACB,1 6t - - - -r - Jr 則16解得一彳5 16 r - - 綜上，【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A (T, 2) , C (3, 2),代入拋物線y=-x2+bx+c中，聯(lián)立方程組解答即可求出