構造性數學及其哲學意義

1、構造性數學及其哲學意義         08-11-03 13:42:00     作者：郝寧湘    編輯：studa0714摘要：本文在介紹了構造性數學的產生和發(fā)展的基礎上，重點闡述了它的數學原則和數學基礎，表明了可構造性的數學底蘊。最后通過對構造性數學產生的原因和其所要達到的目的的分析，論述了構造性數學的重大意義，同時評析了我國學術界對它的一些認識。關鍵詞：構造性數學遞歸函數可靠性一，構造性數學的產生與發(fā)展構造性數學是現代數學研究

2、的一個重要領域。它的根本特征就是對可構造性的強調。所謂可構造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計算方法。即當我們把能證實“存在一個滿足性質”的證明稱為構造性的，是指能從這個證明中具體地給出滿足性質的一個；或者能從此證明中得到一個機械的方法，使其經有限步驟后即能確定滿足性質的這個來。反之，經典數學（非構造性數學）中的純存在性證明被稱之為非構造的。非構造性證明主要是通過使用反證法來實現的。人們一般把這種強調可構造性的數學稱為構造性數學。構造性數學最早起源于一種構造性哲學思想，這種思想可以追溯到康德那里?？档抡J為，數學的最終真理性在于數學概念可以通過人的智慧構造出來。他說：“數學必須根據

3、純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者像人們所說的那樣，把這些概念構造出來”。又說“數學知識是從概念的構造得出來的理性知識。構造一個概念，意即先天地提供出來與概念相對應的直觀?！保?，第頁）后來，世紀德國的克羅內克進一步指出：“上帝創(chuàng)造了整數，其余都是人做的工作?！敝鲝堊匀粩蹬c數學歸納法是數學最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點，其它一切數學對象都必須能在有限步驟內從自然數中構造出來，否則就不能作為數學對象。由此克羅內克把許多數學成果劃到不合法的行列里，如無限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設的少，故其思想在當時并未產生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大

4、數學家也都是倡導構造性數學研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數學哲學的思想，他們實際的數學工作并未嚴格地遵循自己的哲學思想。因此，現代意義的構造性數學應以布勞威爾的直覺主義數學為開端，迄今，在構造性數學的研究領域里，由于宗旨、觀點和方法的不同，已經形成了一些不同的學派。最著名的除了布勞威爾的直覺主義數學以外，還有希爾伯特的元數學、畢曉普等人的構造性數學以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺主義數學和希爾伯特的元數學，我國數學哲學界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來發(fā)展起來的畢曉普、馬爾科夫的構造性數學作些簡述。（、第頁）以畢曉普、邁希爾等人為代表的構造性數學是一個與

5、早先直覺主義數學齊名但又不同于它的新的構造性數學。他們的構造性數學研究是在數學領域中，用普通邏輯于可編碼的對象和遞歸函數。他們所關心的不是數學的奠基問題，而是要用構造性方法來研究數學。他們把構造性數學看成古典數學的一個分支，在這個分支中所討論的對象都要求是可計算的。以畢曉普的工作為例，他認為只證明一個數學對象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機械的辦法把這個對象構造出來。他不用非直觀的概念來重建數學，而是從標準的算術規(guī)則和有理數出發(fā)，通過避開“理想”觀念并不斷地檢驗從直觀生成的對象和定理，逐步地進行構造，以求得數學的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤地否定康托的集合論，而是把它加

6、以改造，使之具有構造的合理性。如確定一個集合，原來康托的樸素定義只要求給出一個判別集合中元素的規(guī)則即可，而畢曉普認為還應要求擬定出一個辦法來真正構造集合的一個元素并證明集合中兩個元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭議的公理選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經典數學的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發(fā)展出相當大的一部分有價值的數學。年畢曉普的構造性分析的出版，標志著這一新的構造性數學的建立，而隨后構造性泛函分析的問世，則表明了這一領域的新進展。構造性數學的另一個新體系是由馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的。他們的構造性數學研究是以算法

7、概念為基礎的，即把其它一切概念都歸約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語言表達，所有引用實無窮的話都嚴格地避免，并采用了直覺主義邏輯。他們對構造分析學作了相當深入的研究，對于許多數學分支的算法化以及制定構造邏輯的語義學都作了很可觀的工作。如他把實數定義成一種逐次逼近的算法，實函數也就等同于一個算法。他的正規(guī)算法就是目前少數幾個力量最強的精確化的算法概念。以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構造性數學，是對早先直覺主義數學的發(fā)展、揚棄。它一方面承繼了直覺主義的基本主張，強調在構造數學內部要求“證明存在一個具有性質的，必須指出一個有限的方法來構造，以及找出一個有限的方法來證明具有性質”。但另

8、一方面，它又不同于直覺主義數學，它不象直覺主義數學那樣極端地要把全部數學都“構造化”，他們只是想從構造性的角度建立一門有別于傳統(tǒng)數學的新學數學，因為在他們看來，從構造的觀點來研究，對許多老問題都會有新的見解。他們認為構造性數學和非構造性數學是現代數學的兩大傾向，是可以并行發(fā)展和相互促進的。二構造性數學的原則與基礎如前所述，對可構造性的強調是構造性數學的根本特征，其實也可以說，這就是構造性數學的基本數學原則。它要求一個關于“存在一個具有性質的的證明”，必須解釋的構造是怎樣實行的。這與通?！凹兇獯嬖谛宰C明”的做法不一樣，在那里，一個具有性質的的存在性是通過采用指出假設“不存在”就會導致矛盾的辦法來

9、證明的。從構造性的觀點看，后一證明只是表明“不可能不存在”，但是它并未給出尋找的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構造主義者還必須采取一些附加的構造性辦法來證明具有性質。因此，僅僅證明如果不具有性質就會導致矛盾是遠遠不夠的。為了充分認識構造性數學與非構造數學之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個例子給予說明。如代數基本定理：任何復系數的非常數多項式至少有一個復根。（）對于（）最著名的非構造性證明是，假設不取零值，把劉維爾定理用于的倒數，得出是常數，于是是常數，矛盾，證明完成。從構造的觀點看，這里證明的并不是代數基本定理，而是較弱的命題：不取零值的復數上多項式是常項。（）因為上述證明不能幫助你計

10、算階多項式的根，它沒有給出多項式求根的方法。但是布勞威爾卻對于首項系數為的多項式的代數基本定理給出了一個構造性的證明（證明的大體思路可參見文）。有了這個證明，就可以求任意階（如階）多項式的根了。應該指出，每一個構造性證明也是同一命題的一個經典證明。布勞威爾的證明也是代數基本定理的一個經典證明。盡管布勞威爾的證明確實比用劉維爾定理的證明更長，但它也告訴了我們更多的信息。代數基本定理在構造性數學中被布勞威爾解釋成：有一個適用于任何復系數的非常數多項式的有限方法，我們能夠用以計算的根。以上只是我們例舉的一個例子，其實每一個經典定理都是向構造性數學提出的一個挑戰(zhàn)：找出一個構造性的說法，并給它以一個構造

11、性的證明。然而在多數情況下，找出經典定理所對應的構造性內容絕非易事。許多經典的定理至今也看不出將其進行構造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構造性數學內部不得不暫時將這些有意義的經典數學內容排斥在外。但應指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。另一個重點問題是構造性數學的數學基礎問題。這是一個涉及構造性數學的可靠性，以及可構造性何以能夠得以實現的重要問題。對此我們分兩部分來談。首先，我們來看直覺主義數學的數學基礎。眾所周知，直覺主義數學是以自然數理論為其數學上的出發(fā)點。因此對于直覺主義數學的建構來說，首要的問題就是如何依據構造的標準在自然數的基礎上建立起它的實數理論，因為實數理論是整個分析學的基礎

12、。有理數的構建是容易的，只要把有理數作為整數對引進即可。關鍵是如何在構造意義下給出實數和實數連續(xù)統(tǒng)的概念。為了構造實數概念，布勞威爾首先獨創(chuàng)了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構造性的標準重新定義的一種集合：它等同于已構成的數學對象所可能具有的一種性質，依據這一性質，我們可以有效地去確定這些對象是否屬于這一“屬種”。進一步布勞威爾引進了“選擇序列”的概念：“在任何時刻，一個選擇序列系由一個有窮的節(jié)連同對它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數選擇序列”取代了經典分析中的有理數柯西序列概念，并稱之為“實數生成子”。于是構造意義下的單個實數就被定義為實數生成子的一個等價

13、屬種。實數連續(xù)統(tǒng)的概念建構的比較晚，直到年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構了符合構造性要求的連續(xù)統(tǒng)概念（具體的建構方法可參見第頁）。在那里，每個可能的選擇序列就是一個可構造意義下的單個實數，而整個展形就是可構造意義下的實數連續(xù)統(tǒng)，兩者是同時構造出來的。所謂展形，實際上也就是一種“自由選擇序列”其中沒有對元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數的次序進行下去。這樣，作為這種自由選擇的結果就不只是某個特殊的序列，而是各種可能的序列。實數理論的重構，為直覺主義數學的展開奠定了基礎。至此，或許有人會認為直覺主義數學的基礎已經得到圓滿的重構和解釋，其實不然，因為直覺主義者對其一直強調的

14、“可構造性”始終沒有給出一個明確的解釋。直覺主義者外爾就曾認為：“反唯象論的構造方法的成功是不可否認的。然而它所依據的最終基礎仍是一個謎，甚至在數學中也是如此?！保?，第頁）人們對于什么是“直覺上可構造的”這一根本性概念有著不同的理解。如有的構造主義者認為，真正的數學是不應包含“否定”概念的，因為任何否定性的命題（按布勞威爾、海丁的解釋，命題一就意味著“我們給出了這樣一種構造。由證明的構造出發(fā)就會得出矛盾”），都假設了一個不可能實現的構造（證明的構造）。另外，也有的直覺主義者對前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺主義的實數理論就無法得到重建。之所以人們對什么是直覺上

15、“可構造的”沒有一個統(tǒng)一的認識，其原因就在于“可構造的”只是一個不精確的日常用語，因而會被不同的人作不同的理解。盡管在直覺主義者看來，這一概念是無需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺主義者看來，卻有著進一步解釋的必要。這里我們僅簡單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺主義概念全部都被歸約為一個基本概念，這就是“構造”。然而直覺主義者只是隱蔽地使用了這個概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開化。由于整個解釋過程繁長，故只給出其結論（詳見第頁，第頁）。克林的結論是：直覺主義的構造等同于部分可計算函數。進一步，按他的解釋，布勞威爾的“自由選擇序列”不過是任意的序列；布勞威爾的函數則是部分可計算函

16、數。克林指出，只有存在相應遞歸函數的公式才能在直覺主義系統(tǒng)內證明。由此，直覺主義數學的基礎就被克林歸約到相遞歸函數或可計算函數之上了。另外，哥德爾對構造性也作了類似于克林的解釋，不過哥德爾可容許構造的類要寬得多，他不是把構造等同于可計算函數，而是等同于可計算泛函（第頁）。下面我們再來看看后期構造數學的基礎。直覺主義數學之后的構造性數學表現出多元的傾向，它們容許的數學對象也更寬，采取的構造性方案也各有特點。這里我們無意對它們的細節(jié)進行考察，只是想簡要地分析一下各自的數學基礎。斯派克是直覺主義數學之后較早表現出構造性傾向的數學家之一，他在年就考察了一類較窄的實數，他稱之為原始遞歸實數。它以（）的精度來逼近：（附圖）其中、均是原始遞歸函數。他還考慮了其它各種類型的逼近，如用級數，（）部分和來逼近。羅賓遜（年）、里斯（年）等后來又給出了更廣一類的實數，稱為可計算實數，也是利用遞歸函數進行逼近而得出的。不過為了建立構造性分析學，更主要的是要給出構造意義下的函數乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在年給出了一個叫可計算實變函數的概念（第頁）?？肆忠部紤]了一類部分可計算泛涵，這些泛函使每個函數都與一相對于可計算的部分函數相關聯。到了年代，構造性數學有了一個大的發(fā)展。首先邁希爾與德克創(chuàng)立和發(fā)展了一種整數集的遞歸