高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題六 解析幾何圓錐曲線的綜合問(wèn)題試題

1、第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題1(2014·福建)設(shè)P，Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A5B.C7D62(2015·陜西)如圖，橢圓E：1(ab0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.1.圓錐曲線的綜合問(wèn)題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問(wèn)題，定點(diǎn)、定值問(wèn)題，探索性問(wèn)題.2.試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對(duì)計(jì)算能力也有較高

2、要求，難度較大.熱點(diǎn)一范圍、最值問(wèn)題圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解例1(2015·重慶)如圖，橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PQ|PF1|，且，試確定橢圓離心率e的取值范圍思維升華解決范圍問(wèn)題的常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求

3、量為因變量的函數(shù)，再求其值域跟蹤演練1已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段PQ是橢圓過(guò)點(diǎn)F2的弦，且，求PF1Q內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值熱點(diǎn)二定點(diǎn)、定值問(wèn)題1由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m)2解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值例2橢圓C：1(a>b&g

4、t;0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)思維升華(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(m,0)(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)跟蹤演練2已知直線l：yx，圓O：x2y25，橢圓E：1(a>b>0)的離心率e，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢

5、圓的短軸長(zhǎng)相等(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值熱點(diǎn)三探索性問(wèn)題1解析幾何中的探索性問(wèn)題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決這類問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在2反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法例3如圖，拋物線C：y22px的焦點(diǎn)為F，拋物線上一定點(diǎn)Q(1,2)(1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l

6、的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過(guò)Q點(diǎn))與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由思維升華解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)：存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開(kāi)放，采取另外的途徑跟蹤演練3(2015·四川)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，

7、且·1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由已知橢圓C1：1(a>0)與拋物線C2：y22ax相交于A，B兩點(diǎn)，且兩曲線的焦點(diǎn)F重合(1)求C1，C2的方程；(2)若過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M，Q兩點(diǎn)，與拋物線分別交于P，N兩點(diǎn)，是否存在斜率為k(k0)的直線l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由提醒：完成作業(yè)專題六第3講二輪專題強(qiáng)化練專題六第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題A組專題通關(guān)1(2015·北京西城區(qū)期末)若曲線ax2by

8、21為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a，b滿足()Aa2>b2B.<C0<a<bD0<b<a2已知橢圓1(0<b<2)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是()A1 B. C. D.3已知F為拋物線y28x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|FA|FB|的值為()A4B8C8D164設(shè)橢圓1(a>b>0)的離心率為e，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)()A必在圓x2y22內(nèi) B必在圓x2y22

9、上C必在圓x2y22外 D以上三種情形都有可能5若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為()A2 B3 C6 D86已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則·的最小值為_(kāi)7已知A(1,2)，B(1,2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_8在直線y2上任取一點(diǎn)Q，過(guò)Q作拋物線x24y的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)_9已知橢圓C：1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與橢圓C相交

10、于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是N，證明：直線AN恒過(guò)一定點(diǎn)B組能力提高10已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_(kāi)11直線3x4y40與拋物線x24y和圓x2(y1)21從左到右的交點(diǎn)依次為A、B、C、D，則的值為_(kāi)12(2015·課標(biāo)全國(guó))已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，

11、求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由學(xué)生用書(shū)答案精析第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題高考真題體驗(yàn)1D如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r>0)，與橢圓方程y21聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y212yr2460.令1224×9(r246)0，解得r250，即r5.由題意易知P，Q兩點(diǎn)間的最大距離為r6，故選D.2(1)解由題設(shè)知，b1，結(jié)合a2b2c2，解得a，所以橢圓的方程為y21.(2)證明由題設(shè)知，直線PQ的方程為yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1

12、x20，則x1x2，x1x2，從而直線AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.熱點(diǎn)分類突破例1解(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，從而b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，進(jìn)而|PF1|PQ|QF1|4a，于是(1)|PF1|4a，解得|PF1|，故|PF2|2a|PF1|.由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|

13、2(2c)24c2，從而224c2，兩邊除以4a2，得e2.若記t1，則上式變成e282.由，并注意到1關(guān)于的單調(diào)性，得3t4，即.進(jìn)而e2，即e.跟蹤演練1解(1)e，P(1，)滿足1，又a2b2c2，a24，b23，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，|PQ|3，|F1F2|2，3；當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線PQ：yk(x1)，k0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理，得(34k2)y26ky9k20，>0，y1y2，y1·y2.·|F1F2|·|y1y2|12，令t34k2，t>3，k2，3，0<<，

14、(0,3)，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)最大，且最大面積為3.設(shè)PF1Q內(nèi)切圓半徑為r，則(|PF1|QF1|PQ|)·r4r3.即rmax，此時(shí)直線PQ與x軸垂直，PF1Q內(nèi)切圓面積最大，1.例2解(1)設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，則橢圓方程變?yōu)?.又由題意知，解得c21，故a24，b23，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(34k2)x28mkx4(m23)0.則又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x2

15、2)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2，由，得34k2m2>0，當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為yk(x2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾當(dāng)m2時(shí)，l的方程為yk，直線過(guò)定點(diǎn)，且滿足，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.跟蹤演練2(1)解設(shè)橢圓的半焦距為c，圓心O到直線l的距離d，b.由題意得a23，b22.橢圓E的方程為1.(2)證明設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過(guò)點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為yy0k(xx0)，聯(lián)立直線l0與橢圓E的方程得消去y得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，4k(y0kx0)24(32k2)2(

16、kx0y0)260，整理得，(2x)k22kx0y0(y3)0，設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1·k2，點(diǎn)P在圓O上，xy5，k1·k21.兩條切線的斜率之積為常數(shù)1.例3解(1)把Q(1,2)代入y22px，得2p4，所以拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線l的方程為x1.(2)由條件可設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，k0.由拋物線準(zhǔn)線l：x1，可知M(1，2k)又Q(1,2)，所以k3k1，即k3k1.把直線AB的方程yk(x1)，代入拋物線方程y24x，并整理，可得k2x22(k22)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，知

17、x1x2，x1x21.又Q(1,2)，則k1，k2.因?yàn)锳，F(xiàn)，B共線，所以kAFkBFk，即k.所以k1k22k2k2，即k1k22k2.又k3k1，可得k1k22k3.即存在常數(shù)2，使得k1k2k3成立跟蹤演練3解(1)由已知，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，于是解得a2，b，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，從而，··x1x2

18、y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以當(dāng)1時(shí)，23，此時(shí)··3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，此時(shí)，····213.故存在常數(shù)1，使得··為定值3.高考押題精練解(1)因?yàn)镃1，C2的焦點(diǎn)重合，所以，所以a24.又a>0，所以a2.于是橢圓C1的方程為1，拋物線C2的方程為y24x.(2)假設(shè)存在直線l使得2，則可設(shè)直線l的方程為yk(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由可得k2x2(2k24)xk2

19、0，則x1x4，x1x41，所以|PN|·.由可得(34k2)x28k2x4k2120，則x2x3，x2x3，所以|MQ|·.若2，則2×，解得k±.故存在斜率為k±的直線l，使得2.二輪專題強(qiáng)化練答案精析第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題1C由ax2by21，得1，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以>>0，所以0<a<b.2D由橢圓的方程，可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a2；由橢圓的定義，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由橢圓的性質(zhì)，可知過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，即3，可求得b23，即b.3C依題意知F(2,0)

20、，所以直線l的方程為yx2，聯(lián)立方程消去y得x212x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x212，x1x24，則|AF|BF|(x12)(x22)|x1x2|8.4Ax1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，b2a2c2a22a2.xx<2.P(x1，x2)在圓x2y22內(nèi)5C設(shè)P(x0，y0)，則1，即y3，又因?yàn)镕(1,0)，所以·x0·(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即·2,6，所以(·)max6.62解析由已知得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)設(shè)P(x，y) (x1)，則·(1x，

21、y)·(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，則f(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為2.7(1,2)解析設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為(x1)(x1)(y2)·(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.8(0,2)解析設(shè)Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點(diǎn)A處的切線方程為yy1x1(xx1)，化簡(jiǎn)得，yx1xy1，同理，在點(diǎn)B處的切線方程為yx2xy2.又點(diǎn)Q(t，2)的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程，代入得：2x1ty1，2x2ty