2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第12講空間中的夾角和距離

1、2022年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第12講 空間中的夾角和距離一課標(biāo)要求：1掌握兩條直線所成的角和距離的概念及等角定理；對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離。2掌握點(diǎn)、直線到平面的距離，直線和平面所成的角；3掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角；二命題走向高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點(diǎn)在20個以內(nèi)。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計算的開展，從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題。預(yù)測2022年高考試題

2、：1單獨(dú)求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約5分左右；解答題中的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題，分值為6分左右；2選擇、填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。三要點(diǎn)精講1距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的

3、距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。1兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。2點(diǎn)到平面的距離平面外一點(diǎn)p 在該平面上的射影為p，那么線段pp的長度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：“一找二證三求，三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。3直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；4平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。求距離的一

4、般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：找出或作出表示有關(guān)距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個三角形假設(shè)表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線aa的長度為d ，在a 上有線段ae m ，b 上有線段af n ，那么ef “±符號由實(shí)際情況選定2夾角空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°、0°

5、，90°和0°，180°。1兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。2直線和平面所成的角求法：“一找二證三求，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法。3二面角的度量是通過其平面角來實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：定義法；利用

6、三垂線定理或逆定理；自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之，cos q ，其中s 為斜面面積，s為射影面積，q 為斜面與射影面所成的二面角。3等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等。四典例解析題型1：直線間的距離問題例1正方體的棱長為1，求直線da'與ac的距離。 解法1：如圖1連結(jié)a'c'，那么ac面a'c'd'，連結(jié)da'、dc

7、9;、do'，過o作oedo'于e因為a'c'面bb'd'd，所以a'c'oe。又o'doe，所以oe面a'c'd。 因此oe為直線da'與ac的距離。在rtoo'd中，可求得點(diǎn)評：此題是異面直線的距離問題：可作出異面直線的公垂線。圖2 解法2：如圖2連接a'c'、dc'、b'c、ab'a'，得到分別包含da'和ac的兩個平面a'c'd和平面ab'c， 又因為a'c'ac，a'db'

8、;c，所以面a'c'd面ab'c。 故da'與ac的距離就是平面a'c'd和平面ab'c的距離，連bd'分別交兩平面于兩點(diǎn)，易證是兩平行平面距離。 不難算出，所以，所以異面直線bd與之間的距離為。點(diǎn)評：假設(shè)考慮到異面直線的公垂線不易做出，可分別過兩異面直線作兩平面互相平行，那么異面直線的距離就是兩平面的距離。題型2：線線夾角例2如圖1，在三棱錐sabc中，求異面直線sc與ab所成角的余弦值。圖1 解法1：用公式 當(dāng)直線平面，ab與所成的角為，l是內(nèi)的一條直線，l與ab在內(nèi)的射影所成的角為，那么異面直線l與ab所成的角滿足。以此為據(jù)

9、求解。 由題意，知平面abc，由三垂線定理，知，所以平面sac。 因為，由勾股定理，得 。 在中，在中，。 設(shè)sc與ab所成角為，那么， 解法2：平移過點(diǎn)c作cd/ba，過點(diǎn)a作bc的平行線交cd于d，連結(jié)sd，那么是異面直線sc與ab所成的角，如圖2。又四邊形abcd是平行四邊形。由勾股定理，得：。圖2在中，由余弦定理，得：。點(diǎn)評：假設(shè)不垂直，可經(jīng)過如下幾個步驟求解：1恰中選點(diǎn)，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角；2證明這個角或其補(bǔ)角就是異面直線所成角；3解三角形常用余弦定理，求出所構(gòu)造角的度數(shù)。題型3：點(diǎn)線距離例3正方形abcd的邊長是2，e、f分別是ab和cd的中點(diǎn)，將正方形沿ef折成直

10、二面角如下列圖.m為矩形aefd內(nèi)一點(diǎn)，如果mbe=mbc，mb和平面bcf所成角的正切值為，那么點(diǎn)m到直線ef的距離為。解析：過m作moef，交ef于o，那么mo平面bcfe.如下列圖，作onbc，設(shè)om=x，圖又tanmbo=，bo=2x又smbe=be·mb·sinmbe=be·mesmbc=bc·mb·sinmbc=bc·mnme=mn，而me=，mn=，解得x=。點(diǎn)評：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。題型4：點(diǎn)面距離例4如圖，四面體abcd中，o、e分別bd、bc的中點(diǎn)，ca=cb=

11、cd=bd=2。求證：ao平面bcd；求異面直線ab與cd所成角的大??；求點(diǎn)e到平面的距離。(1)證明：連結(jié)oc。bo=do,ab=ad, aobd。bo=do,bc=cd, cobd。在aoc中，由可得ao=1,co=。而ac=2，ao2+co2=ac2,aoc=90°,即aooc。ab平面bcd。解：取ac的中點(diǎn)m,連結(jié)om、me、oe，由e為bc的中點(diǎn)知meab,oedc。直線oe與em所成的銳角就是異面直線ab與cd所成的角。在ome中，是直角aoc斜邊ac上的中線，異面直線ab與cd所成角的大小為解：設(shè)點(diǎn)e到平面acd的距離為h.,·sacd =·ao&

12、#183;scde.在acd中，ca=cd=2,ad=,sacd=而ao=1, scde=h=點(diǎn)e到平面acd的距離為。點(diǎn)評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等根本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。題型5：線面距離例5斜三棱柱abca1b1c1中，底面是邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱aa1與底面兩邊ab、ac均成600的角，aa1=7。1求證：aa1bc；2求斜三棱柱abca1b1c1的全面積；3求斜三棱柱abca1b1c1的體積；4求aa1到側(cè)面bb1c1c的距離。解析：設(shè)a1在平面abc上的射影為0。 a1ab=a1ac， o在bac的平行

13、線am上。 abc為正三角形， ambc。又am為a1a在平面abc上的射影， a1abc2 b1ba1a， b1bbc，即側(cè)面bb1c1c為矩形。 又， s全= 3 cosa1ab=cosa1ao·cosoab， cosa1ao= sina1ao=， a1o=a1asina1ao= 4把線a1a到側(cè)面bb1c1c的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)a或a1到平面bb1c1c的距離為了找到a1在側(cè)面bb1c1c上的射影，首先要找到側(cè)面bb1c1c的垂面設(shè)平面aa1m交側(cè)面bb1c1c于mm1 bcam，bca1a bc平面aa1m1m 平面aa1m1m側(cè)面bcc1b1在平行四邊形aa1m1m中過a1作a1

14、hm1m，h為垂足那么a1h側(cè)面bb1c1c 線段a1h長度就是a1a到側(cè)面bb1c1c的距離 點(diǎn)評：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。題型6：線面夾角例6如圖，在四棱錐p-abcd中，底面為直角梯形，adbc,bad=90°,pa底面abcd，且paad=ab=2bc，m、n分別為pc、pb的中點(diǎn)。()求證：pbdm; ()求cd與平面admn所成的角的正弦值。解析：i因為是的中點(diǎn)，所以。因為平面，所以，從而平面.因為平面，所以.ii取的中點(diǎn)，連結(jié)、，那么，所以與平面所成的角和與平面所成的角相等。因為平面，所以是與平面所成的角

15、。在中，。點(diǎn)評：此題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。題型7：面面距離例7在長方體abcda1b1c1d1中，ab=4，bc=3，cc1=2，如圖：1求證：平面a1bc1平面acd1；2求(1)中兩個平行平面間的距離；3求點(diǎn)b1到平面a1bc1的距離。1證明：由于bc1ad1，那么bc1平面acd1，同理，a1b平面acd1，那么平面a1bc1平面acd1。2解：設(shè)兩平行平面a1bc1與acd1間的距離為d，那么d等于d1到平面a1bc1的距離。易求a1c1=5，a1b=2，bc1=，那么cosa1bc1=，那么sina1bc1

16、=，那么s=。由于，那么s·d=·bb1，代入求得d=，即兩平行平面間的距離為。3解：由于線段b1d1被平面a1bc1所平分，那么b1、d1到平面a1bc1的距離相等，那么由2知點(diǎn)b1到平面a1bc1的距離等于。點(diǎn)評：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立起來。在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對這個平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問題就迎刃而解了。題型8：面面角例8如圖，在長方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，。求證：面；求二面角的大小。求三棱錐的體積。解析：證明：取的中點(diǎn)，

17、連結(jié) 分別為的中點(diǎn)，面，面面面 面設(shè)為的中點(diǎn)為的中點(diǎn) 面作，交于，連結(jié)，那么由三垂線定理得。從而為二面角的平面角。在中，從而。在中，故二面角的正切值為。，作，交于，由面得，面，在中，。點(diǎn)評：求角和距離的根本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過程，推理是運(yùn)算的根底，運(yùn)算只是推理過程的延續(xù)。如求二面角，只有根據(jù)推理過程找到二面角后，進(jìn)行簡單的運(yùn)算，才能求出。因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。五思維總結(jié)空間的角和距離是空間圖形中最根本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解這類問

18、題的根本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決1空間的角，是對由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角(0，)，直線與平面所成的角，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角(0，)。對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過空間角的計算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力1求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)

19、化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)，作另一條直線的平行線；或過空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角，構(gòu)造一個含的三角形，解三角形即可。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角。2求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)斜足，然后在直線上取一點(diǎn)除斜足外作平面的垂線，再連接垂足和斜足即得直接在平面內(nèi)的射影，最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。3求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根據(jù)定

20、義作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二面角先作出棱后同上進(jìn)行。間接法主要是投影法：即在一個平面上的圖形面積為s，它在另一個平面上的投影面積為s，這兩個平面的夾角為，那么s=scos。如求異面直線所成的角常用平移法轉(zhuǎn)化為相交直線；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角alb的平面角記作q通常有以下幾種方法：(1) 根據(jù)定義；(2) 過棱l上任一點(diǎn)o作棱l的垂面g，設(shè)gaoa，gbob，那么aobq(圖1)；(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內(nèi)一點(diǎn)a，分別作另一個平面b的垂線ab(垂足為b),或棱l的垂線ac(垂足為c)，連結(jié)ac，那么acbq或acbpq(圖2)；(4) 設(shè)a為平面a外任一點(diǎn)，aba，垂足為b，acb，垂足為c，那么bacq或bacpq(圖3)；(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形f的面積為s，f在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為s¢，那么cosq. 圖 1 圖 2 圖 32空間的距離問題，主要