新課程的五個重要數(shù)學思想

1、11新課程的-五個重要思想函數(shù)思想幾何思想運算思想算法思想統(tǒng)計和隨機思想一、函數(shù)思想 以運動變化的觀點，分析和研究具體問題的數(shù)量關系，通過函數(shù)的形式，把這種關系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決。 以函數(shù)的概念和思想統(tǒng)一數(shù)學教學內(nèi)容。 英國數(shù)學家 貝利 函數(shù)概念應該成為數(shù)學教育的靈魂，以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學教材集中在它的周圍，進行充分地綜合。 德國數(shù)學家 克萊英 函數(shù)思想的發(fā)展脈絡小學：1、認識數(shù)量；2、從已知量到未知量（飛躍）；3、從代數(shù)式到方程 。初中：1、從常量到變量（飛躍） ；2、從變量到函數(shù)。初中函數(shù)的定義： 設在一個變化過程有兩個變量x,y,如果對于x的每一個值,y都有唯

2、一的值和它對應,那么就說y是x 的函數(shù). 初中的變量說，實際上是宏觀觀察，主要考察兩變量的變化趨勢和性態(tài)，給人以自然、形象、直觀、動態(tài)之感。抓住了函數(shù)的本質。 高中：1、精化函數(shù)的定義（對應說） ； 高中的對應說則是微觀的分析，它規(guī)定了變量的取值范圍，抓住了兩變量的對應本質，凸顯其細膩、入微、靜態(tài)、具體的一面。高中： 2、構造具體的初等函數(shù)； 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)（必修1） 三角函數(shù)（必修4） 3、體驗函數(shù)的應用（必修4） ； 4、以函數(shù)思想統(tǒng)領教學內(nèi)容。 數(shù)列-特殊的函數(shù)（必修4） 不等式-函數(shù)的局部 （必修5） 方程-函數(shù)與X軸的交點（必修1）大學：1、數(shù)學化函數(shù)的定義（序偶說） ；

3、 設R是一個二元關系，如果還滿足：若 則 ，我們稱R為函數(shù)關系?！瓣P系說”強調本質的序偶關系，嚴格抽象，是完全數(shù)學化了的概念。如果說“變量說”是原始的定義，“對應說”是近代的定義，那么“關系說”則是現(xiàn)代的定義。 1112( ,),( ,),x yR x yR12yy大學： 2、高等函數(shù)研究：數(shù)學分析、實變函數(shù)、復變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、泛函分析； 3、以函數(shù)思想統(tǒng)領教學內(nèi)容： 群結構中的同態(tài)、同構； 度量結構中的保距； 拓樸結構中的同胚； 序結構中的保序。 在整個高中過程中，加深對“函數(shù)思想”的理解，抓住“函數(shù)思想”的本質，不斷地體會、理解“函數(shù)思想”給我們帶來的好處。二、幾何思想 幾

4、何是數(shù)學中這樣的一個部份，其中視覺思維占主導地位，而代數(shù)是數(shù)學中有序思維占主導地位的部份，這種區(qū)分也許用另外一對詞更好，即“洞察”與“嚴格”，兩者在真正的數(shù)學研究中都起著本質的作用。 英國數(shù)學家 M.阿蒂亞 幾何思想：把握圖形的能力。即：空間想象能力、直觀洞察能力、用圖形的語言來思考問題的能力。 幾何是直觀邏輯，代數(shù)是有序邏輯。幾何學不只是數(shù)學的一個分支，而且是一種思維方式，它應該滲透到數(shù)學的所有公支。幾何思想的落實途徑:幾何本體：1、立體幾何(必修2)；2、解析幾何(必修2)；3、空間向量與立體幾何(選修2);4、圓錐曲線（選修1、2）。幾何思想的落實途徑:幾何思想的載體：1、函數(shù)與圖像(必

5、修1)；2、算法與框圖(必修2)；3、概率與幾何概率(必修3);4、統(tǒng)計與圖表（必修3）；5、平面向量與空間向量（必修4）6、線性規(guī)劃（必修5）。 在整個高中教學過程中，要把“把握圖形的能力”作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終。1、認清學習幾何的目的:學習幾何的目的： 是培養(yǎng)學生把握圖形的能力，培養(yǎng)空間想象能力，運用圖形語言思考問題的能力。2、在立體幾何教學中，要突出:直觀感知、操作確認思辯論證、度量計算的幾何思想。、通過直觀感知、操作確認獲得幾何圖形的定理和性質： 建議1：以長方體為載體導出立體幾何的八大定理：例1：垂直于同一平面的兩直線平行。建議2：處理幾何證明時，要充分發(fā)揮幾何直觀的

6、作用：例2：垂直于同一平面的兩直線平行。建議3：要把提高圖形語言的分析能力貫穿于幾何證明的始終。例3：已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線B1C=10，求證：AB1面C1BD建議4：堅持從整體到局部，從局部到整體，從外到里，從里到外，全方位地認識、剖析圖形。例4：長方體與異面直線（整體到局部），三視圖（局部到整體），四面體與六面體（從里到外），切割與拼補（從外到里）、通過思辯論證、度量計算感受數(shù)學的嚴謹性： 建議：公理定理體系化：四大公理、九大定理推理思路模式化：線線線面面面線面線線書寫表達符號化：空間概念降維凸顯化：浙江省07年高考題：要在邊長為16的正方形草坪上安裝噴水龍頭，假設每個噴水龍頭

7、的噴灑范圍是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數(shù)最小是？3、在解析幾何教學中，要凸顯“以形定式、以式論形”的幾何思想。、強調坐標系是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是解析幾何的基本環(huán)境。強化用解析幾何解題的基本步驟：A）建系；B）坐標化；C）用解幾知識解題；D）實際情況檢驗。、教學中要滲透兩個表示的幾何思想：幾何圖形可以表示代數(shù)性質；代數(shù)方程可以解讀幾何圖形。例例5、幾何圖形表示代數(shù)性質、幾何圖形表示代數(shù)性質例例6、代數(shù)性質解讀幾何圖形、代數(shù)性質解讀幾何圖形如兩直線的位置關系：如兩直線的位置關系： A1X+B1Y+C1=0，A2X+B2Y+C2=0若 則兩直線相交；若 則兩直線平行；若 則兩直線

8、重合。11220ABAB1111222200ABACABAC且1111222200ABACABAC且浙江省07年高考題：將y=f(x)與y=f(x)畫在同一坐標系中，不可能的是：、用函數(shù)思想統(tǒng)領直線與圓的方程：二元一次方程f(x,y)=0,若能寫成y=f(x),則為一次函數(shù)，有關函數(shù)的性質可以通過方程的直線得到進一步的驗證。圓的方程f(x,y)=0,不能寫成y=f(x),故兩變量之間不是函數(shù)關系，但是它可以看作是兩個函數(shù)的組合；可以看作是單值函數(shù)的拓廣；可以看作是二元函數(shù)z=f(x,y)的局部性質。4、在向量教學中，要做好向量的代數(shù)性與幾何性兩篇文章。、突出向量的幾何性：向量是可以直接研究幾何

9、的一種工具。強化用向量解題的基本步驟：A）取基；B）基底化；C）用向量知識解題；D）實際情況檢驗。解析幾何、向量都是研究幾何體的一種解析幾何、向量都是研究幾何體的一種工具，應用時，要先營造進入環(huán)境。工具，應用時，要先營造進入環(huán)境。例例7、余弦定理的證明。、余弦定理的證明。、突出向量的代數(shù)性：A、平面向量是一維數(shù)軸的拓廣。、平面向量是一維數(shù)軸的拓廣。道德經(jīng)說：“道生一，一生二， 二生三， 三生萬物”。 由一產(chǎn)生二， 區(qū)分單數(shù)和復數(shù)，從數(shù)量到向量，數(shù)學地反映了個別到一般、簡單到復雜的事物發(fā)展過程。 直線是一維的，平面是二維的， 空間是三維的。愛因斯坦研究四維的“時間-空間”。 一般地， 可以研究N

10、 維空間。 假定我們有兩種商品：A，B。顧客甲買了 a 單位的貨物A， 顧客乙買了b單位的貨物B。 那么我們用（a,b）表示甲的購物向量。 同樣， 顧客乙也可以構成購物向量（c,d）。兩位顧客的總購物向量便是兩個向量相加， 等于(a+c, c+d)。如果商品A，B 的價格分別是（x,y）， 那么顧客甲的付款數(shù)的兩個向量的數(shù)量乘積：(a,b) (x,y) = ax + by。這樣， 向量就可以運算了。而且是那么的自然。 B、利用向量的代數(shù)法驗證向量所、利用向量的代數(shù)法驗證向量所滿足的運算律。滿足的運算律。代數(shù)的基本特征就是運算；代數(shù)的基本特征就是運算；向量極大地豐富了運算對象與運算向量極大地豐富了運算對象與運算規(guī)律；規(guī)律；運算與運算律與高等數(shù)學接軌。運算與運算律與高等數(shù)學接軌。解析解析a+b+c的意義的意義、宏觀地認識歐氏幾何、解析幾何、向量幾何：歐氏幾何：公理定理；運用邏輯推理的方法解決幾何問題；解析幾何：坐標系坐標與方程；運用解析法解決幾何問題；向量幾何：基底向量運算；運用向量法解決幾何問題；5、線性規(guī)劃是幾何思想的重要載體，其包含的函數(shù)思想與幾何思想，在高中階段無法由其它內(nèi)容所替代。、線性規(guī)劃是幾