2022年高考數(shù)學(xué)押題及答案解析

1、2022年高考數(shù)學(xué)考前押題1.如圖，正四棱柱48CO-4B1C1OI的底面是邊長為近的正方形，側(cè)棱長為1.(1)求直線4c與直線ADi所成角的余弦值：(2)求二面角-4C-A平面角大小的余弦值；(3)在宜線4c上是否存在一個動點尸，使得尸在平面O1AC的投影恰好為O1AC的重心，若存在，求線段PC的長度，若不存在，說明理由.0k7lci/久'、/1【分析】(1)以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量4C和4D1的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量數(shù)量積運算，即可得解；>>(2)求得平面A1CC和平面4AC的法向量就與未由cosvU,n>=-#-,得解；(3)根據(jù)重心坐標(biāo)公式求得O1A

2、C的重心Q,設(shè)存在點P滿足題意，且4)=0工，用含人的式子表示點P,再由PQL4C,結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，可得入的值，進(jìn)而得解.【解答】解：(1)以。為原點，DA,DC,。所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系，則A(V2,0,0),D(0,0,1),Ai(V2,0,1),C(0,V2,0),>»：.AXC=(-V2.V2,-1).ADr=(-V2,0,1),715芯'故直線AiC與直線AD所成角的余弦值為二.(2)設(shè)平面4DC的法向量為藍(lán)=(x,y,z),則+”=°,即m CDX = 0y/2x + 2y z = 0V2y + z = 0令

3、y=l,則x=0,z=V2,：.m=(0,1,V2),同理可得，平面4AC的法向量九=(1,1,0),>>/.j、mn1J6cos<m»n>=-p=f=7,|m|n|43x426由圖知，二面角。i-4C-A為鈍角，故二面角。1-4C-A平面角大小的余弦值為一尊.(3)存在，理由如下：VA(V2,0,0),D(0,0,1),C(0,V2,0),tV2V21.OiAC的重心的坐標(biāo)為Q(三-,-),設(shè)存在點P滿足題意，fU：P=M；C,則P(&(1-入)，V2A,1-A),P在平面DAC的投影為Q1AC的重心，；.PQJ"平面DAC,."

4、.PQA.AC,:?Q.Xc=(6一號q-正九,A-1)<-V2,V2,0)=-V2(V2A-)+V2(y-整理得2-4人=0,解得人=f.二A；P=u7t=：A；C,即|PC|=iC|=卓【點評】本題考查異面直線的夾角，二面角的求法，以及存在性問題，熟練掌握利用空間向量求異面直線夾角、二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運算能力，屬于中檔題.2.如圖，直角梯形ABCD中，AD/BC,NBAD=90°,AB=AD=2,BD=CD,£4，底®ABCD,F£）J_底面ABC。，且有E4=FD=2魚.（1）求證：CD1BF；（2）若線

5、段AE的中點為G,求直線CG與平面C8E尸所成角的正弦值.【分析】（1）由已知求解三角形證明BO_LCD,再由尸D_1_底面ABC。，得FD1.CD,可得CDL平面8OR即可證得CO_LBr；（2）過點G作GHLBE,垂足為H,連接HC,證明CH是CG在平面CBEF內(nèi)的射影，可得NGC4就是直線CG與平面C8EF所成的角，然后求解三角形得答案.【解答】（1）證明：'：ADLAB,AD=AB=2,：.BD=yjAB2+AD2=2y2,且A8£）是等腰直角三角形，ZABD=ZADB=45°,'JAD/BC,：.ZDBC=ZADB=45°,；BD=CD,

6、：.ZDBC=ZDCB=45°,得NB£>C=90°,BPBDLCD,ABCD.CCu底面A8CO,：.FD±CD,；BD、力廠是平面8。尸內(nèi)的相交直線，.CO_L平面BOF,/8Fu平面BDF,：.CD±BF；（2）解：如圖，過點G作垂足為“，連接HC,VAB1BC,BC±AE,ABQAE=A,；.BC_L平面EA8,:G”u平面ABE,：.CBLGH,又BCDBE=B,可得GHJ_平面CBEF,：.CH是CG在平面CBEF內(nèi)的射影，可得NGCH就是直線CG與平面CBEF所成的角.在RtAuABC中，AC=y/BC2+AB2=

7、V10,在RtAACG中，CG=y/AC2+AG2=V22,:EG，sAffix,GH=絲絲=半，CD3在RtZXCG”中，sinNGCH=鋁=等.即直線CG與平面C的所成角的正弦值是行【點評】本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了線面角的求法，是中檔題.3.三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2,NACB=90°,A4i_L平面ABC,AAi=2>/2,M為CCi中點.(1)證明:AAf±AiB；(2)求二面角A-BM-C的大小.【分析】(1)通過證/M4C+N4iCA=90°,可得AiClAM,由ACLBC,CCLB

8、C,知BC_L平面ACC14,從而有8CLAM,再由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，得證；(2)以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出平面BCM的法向量2,求得平面的法向量就再由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可得解.【解答】(1)證明：.,tan/AMC=乎，tan/4CCi=乎，乙C<C»2v2/.ZMAC=Z41CC1,VZAiCCi+ZAiCA=90°,：.ZMAC+ZAiCA=90a,即4cLLAM,又ACJ_BC,CCilBC,ACCCCi=C,AC、CCiu平面ACCiAi,；.8C_L平面4CC14,，BCVAM,VAlCnBC=C,ACBCu平面A18C,平面4BC,：.AM±AB.(2)解：以C為原點，CA,CB,CCi所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),B(0,2,0),M(0,0,V2),*2x + 2y = 02x + y/2z = 0平面BCM的法向量為。4=(2,0,0),設(shè)平面A3M的法向量為ri=(x,y,z),則令x=l,則y=l,z=V2,：.n=(1,1,V2),T Tcos <n, CA>