微分方程的概念

1、第七章 常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：n了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.n了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.n會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.n知道下列高階方程的降階法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線 性微分方程的解法.n熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.n掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方 程的解法

2、. 第一節(jié) 微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程、非線性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線（解的幾何意義）初值問(wèn)題、初值問(wèn)題的解齊次方程、非齊次方程常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程。 例2 d dxtxxcyxybxysindddd220dd2xyyx322ddtxtx常微分方程常微分方程),(222222zyxfzuyuxu偏微分方程偏微分方程線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言

3、是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)），則稱該方程為線性方程，否則，稱之為非線性方程。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階一階二階二階一階一階線性線性線性線性非線性非線性常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程，稱為齊方程。自由項(xiàng)不為零的方程，稱為非齊方程。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階齊次非線性方程一階齊次非線性方程二階非齊線性方程二階非齊線性方程一階非齊非線性方程

4、一階非齊非線性方程 為為階微分方程的一般形式階微分方程的一般形式n 0),()(。 nyyyxF方程的解、通解、特解、所有解方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解解。如果如果 n 階微分方程的解中含有階微分方程的解中含有n 個(gè)相互獨(dú)立的任意個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為常數(shù)，則稱此解為 n 階微分方程的階微分方程的通解通解。一般說(shuō)來(lái)，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的一般說(shuō)來(lái)，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解特解。 通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來(lái)得到特解。但有些

5、特解不能由通解求出，必須利用數(shù)來(lái)得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出。其它方法直接由方程解出。所有解通解不能包含在通解內(nèi)的所有特解。所有解通解不能包含在通解內(nèi)的所有特解。 例 sincos 為微分方程的解：為微分方程的解：驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)axaxy ) 0 ( 02。為常數(shù)為常數(shù) ayay解解 ,cossinaxaaxay ),sin(cossincos222axaxaaxaaxay 代入方程，得代入方程，得 0,)sincos( )sincos(222 axaxaaxaxayay sincos 為此微分方程的解。為此微分方程的解。故函數(shù)故函數(shù)axaxy 微分方程

6、的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來(lái)。微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來(lái)。 此時(shí)可求數(shù)值解此時(shí)可求數(shù)值解初始條件（定解條件）初始條件（定解條件） 由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的初始條件或定解條件。初始條件或定解條件。常微分方程常微分方程初始條件初始條件稱為初值問(wèn)題（柯西問(wèn)題）稱為初值問(wèn)題（柯西問(wèn)題） 例1解解處上任意一點(diǎn)的平面曲線設(shè)通過(guò)點(diǎn) ),( )2 , 1 ( 0yxMLM .

7、 2 的方程，求此曲線的切線的斜率為L(zhǎng)x，則有設(shè)曲線的方程為)( xyy .2ddxxy應(yīng)滿足條件此外，函數(shù) )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (積分，得式兩邊關(guān)于將 ) 1 (xCxxxy2d2)2()3(，得代入將)3()2(, 1C 故所求的曲線方程為12 xy微分方程微分方程初始條件初始條件通解通解特解特解 例解解處上任意一點(diǎn)的平面曲線設(shè)通過(guò)點(diǎn) ),( )2 , 1 ( 0yxMLM . 2 的方程，求此曲線的切線的斜率為L(zhǎng)x，則有設(shè)曲線的方程為)( xyy .2ddxxy應(yīng)滿足條件此外，函數(shù) )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (積分，得式兩邊關(guān)于將 ) 1 (xCxxxy2d

8、2)2()3(，得代入將)3()2(, 1C 故所求的曲線方程為12 xy微分方程微分方程初始條件初始條件通解通解特解特解Cxxxy2d212 xy有何想法？有何想法？積分曲線（解的幾何意義）積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。特解是這族積分曲線中過(guò)某已知點(diǎn)的那條曲線。特解是這族積分曲線中過(guò)某已知點(diǎn)的那條曲線。12 xyxyOCxy2)2 , 1 (0M例例2. 列車在平直路上以sm20的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度,sm4 . 02a求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為tts202 . 02說(shuō)明說(shuō)明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 QPQxyox解解: 如圖所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)yyxX,xyyx即02 xyy點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為且線段