向量組與線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

1、4.2向量組的線性相關(guān)性4.3向量組的秩4.4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 即 矩陣4.1向量組及其線性組合4.1.1 n維向量的概念 1 維向量的定義nn12,na aanniiaii個有次序的數(shù)維向量，這個數(shù)稱為該向量的分量，第個數(shù)稱為第個分量（或第 個坐標） T12(,)na aa 行向量 12naaa 列向量 1 n即 矩陣1n2零向量 (0,0,0)03負向量 1212(,),(,)nna aaaaa 4向量的相等 12(,),na aa 12( ,)nb bb (1,2, ) iiabin 5向量組 同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合稱為向量組 4.1.2 n維向量的線性運算

2、 1加法與數(shù)乘12(,),na aa 12( ,)nb bb k為任意實 數(shù)，則 1122(,) nnab abab12(,),nkka kaka 2加法與數(shù)乘的運算規(guī)律（略）注:利用向量的運算,對于方程組 A xb12(,)nA 12, (1,2, )jjjmjaajna 12nxxxx12mbbbb112212( ,)nnnAxxx xbbx = b則4.1.3向量組的線性組合與線性表示 1.定義定義2 (1) 給定向量組 12:, mA,對于任何一組實數(shù) 12,mk kk,表達式1122mmkkk稱為向量組 A的一個線性組合， 12,mk kk稱為該線性組合的系數(shù). (2)給定向量組12

3、:, mA和向量 ,如果存在一組實數(shù) 12,mk kk,使 1122mmkkk則稱 是向量組的線性組合，或稱 可由向量組線性表示. A2.定理定理1 可由向量組線性表示 的充分必要條件充分必要條件是 A矩陣 12(,)mA 的秩等于矩陣 12(,)mB 的秩注：設(shè)可由向量組唯一線性表示 的充分必要條件充分必要條件是 A12(,)mA 12(,)mB ( )( )R AR Bm例例1 TTTT123(1,2,3) ,(2,3,1) ,(3,1,2) ,(0,4,2) 試問 能否由 123, 線性表示？若能，寫出具體表示式. 解解: 1231230(,)23143122B 100101010011

4、( )( )3R AR B所以 能否由 123, 惟一線性表示，且123 (2, 3,0),(0, 1,2),(0, 7, 4) 例例2 TTTT200100( ,)(,)317010024001BA 因為, ( )2,( )3R AR B , 所以,不能由線性表示. 解解: 試問 能否由 123, 線性表示？若能，寫出具體表示式. 4.1.4向量組的等價1.定義定義3 設(shè)兩個向量組 12:,rA ,12,:,sB 若向量組 中的每個向量都可由向量組 線性表示，則稱向量組 可由向量組 線性表示.AABB若向量組 與向量組 可以互相線性表示，則稱向量組 與向量組 等價.AABB2.定理定理212

5、:,rA ,12,:,sB 12(,)rA ,12,(,)sB 設(shè)向量組 與向量組 等價AB向量組 可由向量組 線性表示AB( )( ,)R BR A B( )( )( ,)R AR BR A B推論：維向量組4.2向量組的線性相關(guān)性 4.2.1線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義 n12:,mA 12,mk kkmmkkk11220120mkkk1.定義定義4 設(shè)有,若存在一組不全為使 稱向量組線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).線性無關(guān),則上式當且僅當時才成立 12:,mA 12:,mA 2.由定義4可知， (1) 僅含一個零向量的向量組必線性相關(guān); (2) 僅含一個非零向量的向量組必線性無關(guān); (3) 任何

6、包含零向量在內(nèi)的向量組必線性相關(guān); (4) 向量組 12:,mA 線性相關(guān) 齊次線性方程組 mmxxx11220有非零解 12(,),)(mR ARm 換言之,若,則零的數(shù)4.2.2 向量組線性相關(guān)的充分必要條件定理定理3 向量組 12:,mA 線性相關(guān)( )R Am12:,mA 線性無關(guān)( )R Am向量組例例3 討論向量組1232133 ,2 ,2111 的線性相關(guān)性. 解解:,)322322111213rrA 231213( 1)( 3)( 2)11111101501501500 0rrrrrr 由于 ( )23R A ,從而 123, 線性相關(guān). 453,12

7、1,232321321,3)(AR321,例4：已知向量組，問是否線性相關(guān).，所以，是線性無關(guān).解：100110211100211312412523312A321,322133例5：設(shè)向量組線性無關(guān)，又設(shè)，證明向量組 也線性無關(guān).211321,321,321,kkk0)()()(332221131332211kkkkkkkkk000322131kkkkkk0321kkk證明：設(shè)有使得因為 線性無關(guān)，故有此時，線性方程組只有零解也即向量組 線性無關(guān).321,定理定理4 向量組 12,(2)mm 線性相關(guān)有一個向量可以由其余 個向量線性表示.向量組中至少1m注：兩個向量線性相關(guān)的充要條件是它們的對

8、應(yīng)分量成比例. 4.2.3 線性相關(guān)性的判斷定理 定理定理5 （1）若 12,r 線性相關(guān),則 11,rrm 也線性相關(guān); （ 2）線性無關(guān)向量組的任何部分組必線性無關(guān). 定理定理6 12,r 線性無關(guān),而 若12, m線性相關(guān),則 能由 12, m線性表示，且表示式是惟一的. 定理定理7 設(shè)有兩個向量組 12:(,)(1,2,)jjjrjAaaajm 121:(,)(1,2,)jjjrjrjBaaaajm 若向量組 線性無關(guān)，則向量組 也線性無關(guān)；若向量組 線性相關(guān)，則向量組 也線性相關(guān).AABB注:向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念可用于線性方程組 當方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時

9、，這個 方程就是多余方程，此時稱方程組（各個方程）是線性 相關(guān)的； 當方程組中沒有多余方程，則稱該方程組（各個方程） 是線性無關(guān)（或線性獨立）的 .4.3向量組的秩4.3.1 向量組的極大無關(guān)組與秩的定義1.定義定義5 設(shè)有向量組 A,如果在 中能選出 個向量rA12,r 滿足 向量組 線性無關(guān)； 向量組 中任意一個向量都能由 線性表示12,r 12,r A那么稱 是向量組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組；極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù) ,稱為向量組 的秩. 12,r rA注: (1) 只含零向量的向量組沒有極大線性無關(guān)組,規(guī)定它的秩為0 (2) 任何非零向量組必存在極大無關(guān)組 (3) 向量

10、組的極大無關(guān)組與向量組本身等價 (4) 線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身 . (5) 向量組的極大無關(guān)組一般不是惟一的.但每一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是惟一的,等于向量組的秩 列即是列向量組的一個極大無關(guān)組，4.3.2向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 定理定理8 矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行向量組的秩. rDArDrrDr結(jié)論:若是矩陣的一個最高階非零子式，則所在的所在的是行向量組的一個極大無關(guān)組. 行即4.3.3 利用初等行變換求向量組的秩與極大無關(guān)組 將所討論的向量組 的每一個向量作為矩陣的列列寫成一個矩陣 ,并對此矩陣施行初等行變換行變換,化為行階梯形行階梯形矩陣,其非零行

11、的行數(shù)就是矩陣的秩非零行的行數(shù)就是矩陣的秩,也是向量組的秩(當然也是極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)); 行行階梯形矩陣的每一個非零行的第一個非零元所在的列階梯形矩陣的每一個非零行的第一個非零元所在的列對應(yīng)的向量構(gòu)成的向量組就是向量組的一個極大無關(guān)組.12, m12(,)mA 例例6 123412104522,115203612220 解解: 將向量組構(gòu)成矩陣 A,進行初等行變換 1213155253435423334( 4)( 1)1234( 2)12( 1)( 1)1()3312( 1)1210121045220362, 11520362036103612220024012rrrrrrrrrrrr

12、rrrrrrrA 100120000100000000,( )3R A 從而向量組 1234, 的秩為3,3 為其一極大無關(guān)組.124, 例例7 12345(2,1,4,3),( 1,1, 6,6),( 1, 2,2,9),(1,1, 2,7),(2,4,4,9) 解解 將向量組按列排成矩陣 ,用初等行變換將 化為行階梯形矩陣AATTTTT31245(,)A 2111211214462243697911214011100001300000故 12345(,)3,R 124, 是其一個極大無關(guān)組.4.4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)4.4.1齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 11 1122121 122221

13、1220,0, (1)0,nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12nxxxx (2)A 0 x性質(zhì)1 若 12x,x 為(2)的解,則 12x為(2)的解. 性質(zhì)2 若 1x 為(2)的解, 為實數(shù)則 1kx 為(2)的解. k,稱為(2)的解向結(jié)論:將方程組(2)的全體解所組成的集合記作 S量組,如果能找到解向量組 的一個極大無關(guān)組 S012:,tS 則 的任何線性組合012:,tS 都是方程(2)的解,因此式就是(2)的通解. 1 122ttkkkx 齊次線性方程組的解向量組的極大無關(guān)組稱為該齊次線性

14、方程組的基礎(chǔ)解系.由上面的討論,要求齊次線性方程組的通解, 只需求出它的基礎(chǔ)解系.定理定理9 設(shè) m n矩陣 A的秩 ( )R Ar,則 n元齊次線性方程組 A 0 x的解向量組 S的秩 .SRnr例例8 求齊次線性方程組1234123412340,25320,7730,xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解. 解解: 對系數(shù)矩陣 作初等行變換A2310771111111154253207540177773100000000A同解方程組為13423423775477xxxxxx134234334423775477xxxxxxxxxx即所以,方程組的通解為12121234237754( ,)7

15、71001xxccc cRxx一基礎(chǔ)解系為12237754,7710014.4.2非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 11 11221121 1222221 122, (4),nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12nxxxx12mbbbb (5)A xb性質(zhì)3 設(shè) x是方程(5)的解,則 (6)A 0 x12,xx 12x是方程(6)的解.性質(zhì)4 設(shè) 是方程(5)的解, x是方程(6)的解,則 x是方程(5)的解.結(jié)論:12,n r 若 為方程(6)的一個基礎(chǔ)解系 ,* 是方程(5)的一個特解,則方程則方程(5)的通解為的通解為 *1 122n rn rkkk x12( ,n rk kk為任意實數(shù)). 例例9 求解方程組 12341234123431,3344,5980.xxxxxxxxxxxx解解: