第3.1講 探求規(guī)律題-備戰(zhàn)中考數(shù)學熱點難點突破（教師版）

1、【備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學熱點、難點突破】專題01探求規(guī)律題考綱要求:探索規(guī)律型問題：指的是給出一組具有某種特定關系的數(shù)、式、圖形或是給出與圖形有關的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所隱含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論基礎知識回顧: 1數(shù)字猜想型：在分析比較的基礎上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊涵的數(shù)量關系，先猜想，然后通過適當?shù)挠嬎慊卮饐栴}2數(shù)式規(guī)律型：通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關系式為主要內(nèi)容3圖形規(guī)律型：圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應的算式描述其中的規(guī)律，注意對應思想和數(shù)形結(jié)合4數(shù)形結(jié)合猜想型：

2、首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對應關系5動態(tài)規(guī)律型：要將圖形每一次的變化與前一次變化進行比較，明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律應用舉例:類型一、數(shù)字猜想型【例1】一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：23，33和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是_【答案】41【解析】23有3、5共2個奇數(shù),33有7、9、11共3個奇數(shù),43有13、15、17、19共4個奇數(shù)，63共有6個奇數(shù)，到63“分裂”出的奇數(shù)為止，一共有奇數(shù)：2+3+4+5+6=2

3、0，又3是第一個奇數(shù)，第20個奇數(shù)為202+1=41，即63“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是41.故答案為：41.類型二、數(shù)式規(guī)律型【例2】觀察下面三行數(shù) （1）第行數(shù)的第n個數(shù)是 .（2）請將第行數(shù)中的每一個數(shù)分別減去第行數(shù)中對應位置的數(shù),并找出規(guī)律，根據(jù)你得到的結(jié)論，直接寫出第行數(shù)的第n個數(shù)是 ； 同理，直接寫出第行數(shù)的第n個數(shù)是 .（3）取每行的第k個數(shù)，這三個數(shù)的和能否等于-509?如果能，請求出k的值；如果不能，請說明理由.【答案】（1）(-2)n；（2）(-2)n+2；-(-2)n+1；（3）能；k=9.【解析】【分析】（1）第一組，各數(shù)后一項是前一項的-2倍，（2）第二組，各數(shù)依

4、次相加了+6，-12，+24，-48，+96,總結(jié)規(guī)律得第n個數(shù)是(-2)n+2，同理，第三組第n個數(shù)是-(-2)n+1，（3）根據(jù)前兩問將第k個數(shù)表示出來，解關于k的方程即可。【詳解】（1）(-2)n；（2）(-2)n+2；（3）能；(-2)k+(-2)k+2+-(-2)k+1=-509，所以(-2)k=-512，解得k=9.類型三、圖形規(guī)律型：【例3】把三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第個圖案中有4個三角形，第個圖案中有6個三角形，第個圖案中有8個三角形，按此規(guī)律排列下去，則第個圖案中三角形的個數(shù)為（ ）A 12 B 14 C 16 D 18【答案】C【解析】【分析】觀察第1個、第2個、

5、第3個圖案中的三角形個數(shù)，從而可得到第n個圖案中三角形的個數(shù)為2（n+1），由此即可得.類型四、數(shù)形結(jié)合猜想型：【例4】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓??；是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧，是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧，是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B、O、C、A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5稱為正方形的“漸開線”，那么點A5的坐標是_，點A2018的坐標是_【答案】（6，0）（0，2016）【解析】【詳解】解：觀察，找規(guī)律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，2），A3（3，1

6、），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，6），A7（7，1），A8（1，9），A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，（4n+2），A4n+3=（4n+3），1）5=4+1，2016=5044+2，A5的坐標為（64+2，0）=（6，0），A2016的坐標為（0，2016）故答案為：（6，0）；（0，2016）類型五、動態(tài)規(guī)律型：【例5】如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90至圖位置，繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90至圖位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次若AB=4，AD=3，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為（）A20

7、17B2034C3024D3026【答案】D【解析】考點：1軌跡；2矩形的性質(zhì)；3旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；4規(guī)律型；5綜合題方法、規(guī)律歸納: 數(shù)字規(guī)律：標序數(shù)(1，2，3，n)；找規(guī)律，觀察：當所給的一組數(shù)字是整數(shù)時：A.數(shù)字與序數(shù)的關系；B.數(shù)字的符號規(guī)律，若為正負號交替，則用或表示符號；代數(shù)式規(guī)律：標序數(shù)(1，2，3，n)；找規(guī)律，觀察：A.系數(shù)、代數(shù)式字母的指數(shù)與序數(shù)的關系；B.符號規(guī)律方法同“數(shù)字規(guī)律”時.圖形規(guī)律：(1)基礎圖形固定累加：標序號：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”；數(shù)圖形個數(shù)：數(shù)出每組圖形的個數(shù)；尋找第n項(某項)的個數(shù)與序數(shù)n的關系：將后一個圖形的個數(shù)與前一個圖形的個數(shù)進行對

8、比，通常作差來觀察累加個數(shù)，然后按照定量變化推導出關系式；驗證：代入序號驗證所歸納的式子是否正確(2)基礎圖形遞變累加：標序號：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”；數(shù)圖形個數(shù)：數(shù)出每組圖形的個數(shù)；尋找第n項(某項)的個數(shù)與序數(shù)n的關系：將后一個圖形的個數(shù)與前一個圖形的個數(shù)進行對比，通常作商來觀察圖形個數(shù)；或?qū)D形個數(shù)與n進行對比，尋找是否是與n有關的平方、平方加1、平方減1等關系；驗證：代入序號驗證所歸納的式子是否正確實戰(zhàn)演練:1、根據(jù)以下圖形變化的規(guī)律，第2016個圖形中黑色正方形的數(shù)量是_【答案】3024【解析】第1個圖形中黑色正方形的個數(shù)是2個，第2個圖形中黑色正方形的個數(shù)是3個，第3

9、個圖形中黑色正方形的個數(shù)是5個，第4個圖形中黑色正方形的個數(shù)是6個，第5個圖形中黑色正方形的個數(shù)是8個，第6個圖形中黑色正方形的個數(shù)是9個，由此可知當n為奇數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的個數(shù)為個 ，當n為偶數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的個數(shù)是個，故第2016個圖形中黑色正方形的數(shù)量是3024個.2. 在一列數(shù)：a1，a2，a3，an中，a1=3，a2=7，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它前兩個數(shù)之積的個位數(shù)字，則這一列數(shù)中的第2017個數(shù)是（）A1B3C7D9【答案】B【解析】試題分析：依題意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；周期為6；2017

10、6=3361，所以a2017=a1=3故選B考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類3. 如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點（1，1），第2次接著運動到點（2，0），第3次接著運動到點（3，2），按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2017次運動后，動點P的坐標是_【答案】( 2017 , 1 ) 4. 觀察下列格式：請按上述規(guī)律，寫出第n個式子的計算結(jié)果（n為正整數(shù)） （寫出最簡計算結(jié)果即可）【答案】【解析】試題分析：n=1時，結(jié)果為：；n=2時，結(jié)果為：；n=3時，結(jié)果為：；所以第n個式子的結(jié)果為：故答案為：5. 已知a0，S1=，S2=S11，S3=，S4=S31，S5=，

11、（即當n為大于1的奇數(shù)時，Sn=；當n為大于1的偶數(shù)時，Sn=Sn11），按此規(guī)律，S2018=_【答案】- 【解析】【分析】根據(jù)Sn的變化規(guī)律，得出Sn的值每6個為一個循環(huán)，由2018=3366+2，可知S2018= S2.【詳解】由已知可得：S1=，S2=-，S3=-，S4=-，S5=-（a+1）, S6=a, S7=根據(jù)Sn的變化規(guī)律，得出Sn的值每6個為一個循環(huán)，因為，2018=3366+2，所以，S2018= S2=-.故答案為：-6.觀察下列各式：，請利用你所得結(jié)論，化簡代數(shù)式（n3且為整數(shù)），其結(jié)果為_【答案】 【解析】7.如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā)，沿著箭頭所

12、示方向，每次移動1個單位，依次得到點P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，1），P5（2，1），P6（2，0），則點P2017的坐標是 【答案】（672，1）【解析】8. 觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：，驗證：（1）按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想的變形結(jié)果并進行驗證；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用a（a為自然數(shù)，且a2）表示的等式，并給出驗證；（3）用a（a為任意自然數(shù)，且a2）寫出三次根式的類似規(guī)律，并給出驗證說理過程【答案】（1）見解析；（2），驗收見解析；（3）見解析【解析】（1），,驗證：（2）由（1）中的規(guī)律可知3=221，8=321，15=421，

13、驗證:（3） （a為任意自然數(shù)，且a2），驗證： 9. 圖是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案,最上面一層有一個圓圈,以下各層均比上一層多一個圓圈,一共堆了n層.將圖倒置后與原圖拼成圖的形狀,這樣我們可以算出圖中所有圓圈的個數(shù)為1+2+3+n=.如果圖和圖中的圓圈都有13層. (1)我們自上往下，在圖的每個圓圈中填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是_；(2)我們自上往下，在圖每個圓圈中填上一串連續(xù)的整數(shù)23，22，21，20，求最底層最右邊圓圈內(nèi)的數(shù)是_；(3)求圖中所有圓圈中各數(shù)之和.(寫出計算過程)【答案】（1）79；（2）67；（3）2002.【解析】（1）當有13層時，前12層共有：1+2+3+12=78個圓圈，78+1=79，故答案為：79；（2）圖中所有圓圈中共有1+2+3+13=91個數(shù)，其中23個負數(shù)，1個0，67個正數(shù)，故答案為：67；（3）圖中共有91個數(shù)，分別為-23，-22，-21，66，67，圖中所有圓圈中各數(shù)的和為：-23+（-22）+（-1）+0+1+2+67=2002.10. 觀察下列等式：（1）第1個等式：a1=； 第2個等式：a2=；第3個等式：a3=； 第4個等式：a4=；用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：an=_=_（n為正整數(shù)）；（2）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為，1， ， ， ， ，按此規(guī)