5平面向量數(shù)量積的坐標表示

1、6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示【學習目標】1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示.2.能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題.知識梳理檢教材分生*咄知識點平面向量數(shù)量積的坐標表示設非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),a與b的夾角為0.貝Uab=xix2+yiy2.(1)若a=(x,y),則|a|2=X2或忸1=巡王.若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(xi,yi),(x2,y2),則a=(_X2二經(jīng),y一yi),|a|=7x2xi2+y2yi2.(2)ab?xx2+yiV2=0.abxix2+yiy2cose=麗=折?H2思考若兩個非零向量的夾角滿足c

2、osX0,則兩向量的夾角。一定是鈍角嗎？答案不一定，當cos伉0時，兩向量的夾角?？赡苁氢g角，也可能是i80.思考辨析判斷正誤-1 .若a=(xi,yi),b=(x2,y2),則ab?x1y2&yi=0.(x)2 .若兩個非零向量的夾角。滿足cos。0,則兩向量的夾角。一定是銳角.(X)提示當兩向量同向共線時，cos0=i0,但夾角0=0,不是銳角.3 .兩個非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),滿足xiy2&yi=0,則向量a與b的夾角為0.(x)ii-4 .若向量a=(i,0),b=2，2,則|a|=|b|.(x)提示|a|=i,|b|=d22+22=平，顯然|a|w|b|.題型

3、探究嘏克變點素養(yǎng)提升1%一、數(shù)量積的坐標運算例i已知a=(2,-i),b=(i,i),則(a+2b)(a3b)等于()A.i0B.-i0C.3D.-3答案B解析a+2b=(4,-3),a3b=(i,2),所以(a+2b)(a3b)=4X(i)+(3)X2=i0.反思感悟進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式ab=xix2+yiy2,并能靈活運用以下幾個關系(1)|a|2=aa.(2)(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(3)(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2.跟蹤訓練1向量a=(1,1),b=(1,2),則(2a+b)a等于()A.-1B.0C.1D.2答案C解析因為a=(1,1),b=

4、(1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),則(2a+b)a=(1,0)(1,1)=1.二、平面向量的模例2已知平面向量a=(3,5),b=(2,1),求a2b及其模的大小.解-.a=(3,5),b=(2,1),.a-2b=(3,5)2(2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),.|a-2b|=。72+32=避.反思感悟求向量a=(x,y)的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉化為求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2,求模時，勿忘記開方.(2)aa=a2=|a|2或|a|=蘆=后歹，此性質可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化.跟蹤訓練2已知向量a

5、=(2,1),ab=10,|a+b|=572,則|b|等于()A.,5B.10C.5D.25答案C解析:a=(2,1),a2=5,又|a+b|=5*,(a+b)2=50,即a2+2ab+b2=50,5+2X10+b2=50,.,.b2=25,，|b|=5.三、平面向量的夾角、垂直問題例3(1)已知|a|=1,b=(0,2),且ab=1,則向量a與b夾角的大小為()A%_TtA.6B.4C.3D.2答案C解析因為|a|=1,b=(0,2),且ab=1,設a與b的夾角為0,則cos0=ab_1alibi1X40+2212._.一一，TT又因為錢0,i,則0=.3所以向量a與b夾角的大小為3.(2)

6、設向量m=(2x-1,3),向量n=(1,1),若mn,則實數(shù)x的值為()A.-1B.1C.2D.3答案C解析因為向量m=(2x1,3),向量n=(1,1),mn,所以mn=(2x-1)X1+3X(1)=2x13=0,解得x=2.反思感悟解決向量夾角問題的方法及注意事項(1)求解方法：由cos0=abxx2+y1y21a11b1Nx2+網(wǎng)狀+y直接求出cos。的取值范圍是0yg180.利是。是鈍角，二是。為180;(2)注意事項：利用三角函數(shù)值cos。求。的值時，應注意角用cos仁加，判斷。的值時，要注意cos00時，也有兩種情況：一是。是銳角，二是。為0.跟蹤訓練3已知向量a=(1,2),b

7、=(m,1).若向量a+b與a垂直，則m=答案7解析.a=(1,2),b=(m,1),.a+b=(1+m,2+1)=(m1,3).又a+b與a垂直，(a+b)a=0,即(m1)X(1)+3x2=0,解得m=7.隨堂演練基礎鞏固學以致用、1 .若向量a=(x,2),b=(-1,3),ab=3,則x等于()A.3B.-3C.5D.-533答案A解析ab=x+6=3,故x=3.2 .已知a=(3,4),b=(5,12),則a與b夾角的余弦值為()6313A.65B.65C.-5-D.13答案A解析|a|=q32+42=5,|b|=，52+122=13.ab=3X5+4X12=63.設a與b的夾角為Q

8、所以cos卜梟=63.3.已知向量a=(1,A.1B.12C.2答案Cn),b=(-1,n),若2ab與b垂直，則|a|等于()D.4解析(2ab)b=2ab|b|2=2(1+n2)(I+n2)=n23=0,n2=3,|a|=12+n2=2.4.若平面向量a=(1,2)與b的夾角是180,且|b|=3/5,則b等于()A.(3,6)B.(3,-6)D.(6,3)C.(6,3)答案A解析由題意，設b=右=(%2?)(K0),則|b尸寸K+2入2=福|4=3J5,又M0,甘3,故b=(3,6).5.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且ab,則|a+b|等于()A.5答案B.10C2：5D.

9、10B解析由題意可得ab=x1+1x(-2)=x-2=0,解得x=2.再由a+b=(x+1,1)=(3)1),可得|a+b|=.10.-課堂小結1 .知識清單:(1)平面向量數(shù)量積的坐標表不(2)ab?X1X2+y1y2=0(a,b為非零向量).xix2+yy2一(3)cos0=廠222(為非手向量a,b的夾角).yx1+yn/x2+y22 .方法歸納：化歸與轉化3 .常見誤區(qū)：兩向量夾角的余弦公式易記錯課時對點練注更雙基強化落實3基礎鞏固1 .設向量a=(2,0),b=(1,1),則下列結論中正確的是()A.|a|=|b|B.ab=0C.abbD.(a-b)b答案D解析ab=(1,1),所以

10、(ab)b=11=0,所以(a-b)b.2 .已知a=(3,1),b=(1,2),則a與b的夾角為(A兀A-6答案解析c兀D.2c兀c兀B.4C.3B.|a|=7i0,|b|=A/5,ab=5,ab5迫-右C0S0=|a|b而飛=2(0為a，b的夾角).又a,b的夾角的范圍為0,亦，a與b的夾角為743.已知向量a=(1,2),b=(-1,m),若ab,則m的值為()1 1A.-2B.2C.2D.-答案C解析因為向量a=(1,2),b=(1,m),ab,1所以ab=1+2m=0,解得m=2.4 .a=(-4,3),b=(5,6),貝U3|a|24ab等于()A.23B.57C.63D.83答案

11、D解析3|a|24ab=3(4)2+324(4X5+3X6)=83.5 .已知向量a=(1,2),b=(x,4),且a/b,則|ab|等于()A.5,3B.3.5C.25D.22答案B解析因為allb,所以4+2x=0,所以x=2,a-b=(1,2)(2,4)=(3,6),所以|a-b|=35.6 .已知a=(-1,1),b=(1,2),則a(a+2b)=.答案4解析,.a+2b=(1,5),.a(a+2b)=4.7 .設向量a=(1,0),b=(1,m).若a，(mab),則m=.答案1解析由題意得mab=(m+1,-m),根據(jù)向量垂直的充要條件可得1X(m+1)+0X(-m)=0,所以m=

12、-1.8 .設向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.答案2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,得ab=0,即m+2=0,解得m=-2.9 .已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值；(2)若a/b,求|ab|.解aLb,.ab=0,即1x(2x+3)+xX(-x)=0,解得x=1或x=3.(2)-.a/b,1x(-x)-x(2x+3)=0,解得x=0或x=2.當x=0時，a=(1,0),b=(3,0), .ab=(2,0),.|ab|=2.當x=2時，a=(1,2),b=(-1,2), ,.a-b=(2,-

13、4), .|a-b|=25. .|ab|=2或2限.10.已知a=(1,1),b=(入1),若a與b的夾角“為鈍角，求實數(shù)入的取值范圍解-.a=(1,1),b=(Z,1),，|a|=V2,|b|=1+2,ab=b1.又;a,b的夾角a為鈍角，入一10,K1,I2Ji+%W1%猿+2計1W0.?1且1.，入的取值范圍是(8,1)U(1,1).3綜合運用11 .已知向量m=(入+1,1),n=(計2,2),若(m+n),(mn),則入等于()A.-4B.-3C.-2D.-1答案B解析因為m+n=(2入+3,3),mn=(1,1),由(m+n)，(mn),可得(m+n)(mn)=(2計3,3)(-1

14、,-1)=-26=0,解得上-3.12 .已知6A=(2,1),的=(0,2)且品/的，BcAb,則點C的坐標是()A.(2,6)B.(-2,-6)C.(2,-6)D.(2,6)答案D解析設C(x,y),則AC=(x+2,y-1),BC=(x,y-2),AB=(2,1),1.Ac/(5b,2(x+2)=0,-.BCyAB,.-.2x+y-2=0,x=-2,由可得，C(2,6).y=6,13 .設m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定兩向量m,n之間的一個運算？為m?n=(acbd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,3),則q的坐標為.答案(2,1)解析設q=(x,y),則p?q

15、=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).x2y=4,y+2x=3,x=-2,y=1.-q=(-2,1).14 .如圖所不，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2,點E在邊CD上，且DE=2EC,則AEBE的值是答案329解析以A為原點，AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系.AB=gBC=2, .A(0,0),B出0),C(承,2),D(0,2), 點E在邊CD上，且D1=2EC, .E232,2.Ae=乎,2,BE=乎,2,二一4,32 .AEBE=-9+4=.3拓廣探究兀t4一I,15.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m為實數(shù)，則當a與b的夾角在0,內變動時，實數(shù)m的取值范