第四章線性代數(shù)4ppt課件

1、第四章第四章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 習習 題題 課課4.1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合4.2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 4.3 向量組的秩向量組的秩4.4 向量空間向量空間4.5 線性方程組解的結構線性方程組解的結構4.1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合 定義定義1: n 個有次序的數(shù)個有次序的數(shù)a1, a2, , an所組成的數(shù)所組成的數(shù)組稱為組稱為n維向量維向量, 這這n個數(shù)稱為該向量的個數(shù)稱為該向量的n個分量個分量, 第第 i 個數(shù)個數(shù)ai 稱為第稱為第 i 個分量個分量. 分量全為實數(shù)的向量稱為實向量分量全為實數(shù)的向量稱為實向量, 分量為復數(shù)

2、的分量為復數(shù)的向量稱為復向量向量稱為復向量.例如例如: (1, 2, , n)為為 n 維實向量維實向量.(1+2i, 2+3i, , n+(n+1)i )為為 n 維復向量維復向量.第第2個分量個分量第第n個分量個分量第第1個分量個分量).,(21nTaaa . 21 naaa 寫成一行的寫成一行的 n 維向量維向量, 稱為行向量稱為行向量, 也就是行矩陣也就是行矩陣,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示, 如如: 寫成一列的寫成一列的 n 維向量維向量, 稱為列向量稱為列向量, 也就是列矩陣也就是列矩陣,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:留意留意: 1. 行向

3、量和列向量總被看作是不同的向量行向量和列向量總被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩陣運算法則進行運算行向量和列向量都按照矩陣運算法則進行運算; 3. 當沒有明確說明是行向量還是列向量時當沒有明確說明是行向量還是列向量時, 都當都當作列向量作列向量. 向量向量 解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組有次序的實數(shù)組成的數(shù)組幾何形象幾何形象:可隨意平可隨意平行移動的有向線段行移動的有向線段代數(shù)形象代數(shù)形象:向量向量的坐標表示式的坐標表示式當當 n 3 時時,Tzyxr),( 空間空間 解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)點空間點空間:

4、點的集合點的集合向量空間向量空間:向量的集合向量的集合代數(shù)形象代數(shù)形象:向量向量空間中的平面空間中的平面),(dczbyaxrzyxT 幾何形象幾何形象:空間空間曲線、空間曲面曲線、空間曲面),(dczbyaxzyx ),(zyxPTzyxr),( 一一對應一一對應點點(x, y, z)的集合的集合平面平面向量向量(x, y, z)T的集合的集合 當當 n 3 時時, 向量不再有向量不再有“幾何意義幾何意義, 仍沿用幾仍沿用幾何空間的名詞何空間的名詞. 但其意義更為廣泛但其意義更為廣泛. 例如例如: 在描述一空間運動物體時在描述一空間運動物體時, 不僅與所處的空不僅與所處的空間位置間位置(x,

5、 y, z)有關有關, 還與時間還與時間 t 有關有關, 這就是四維時空這就是四維時空空間空間, 用向量表示為用向量表示為(x, y, z, t ).叫做叫做n 維向量空間維向量空間.|),(221121bxaxaxaxxxxnnTn ,|),(2121RxxxxxxxRnTnn 叫做叫做n維向量空間維向量空間Rn中的中的n1維超平面維超平面.機身的仰角機身的仰角 );22( 機身的水平轉角機身的水平轉角 (0 2);機翼的轉角機翼的轉角 (-);確定飛機的狀態(tài)確定飛機的狀態(tài), 需要以下需要以下6個參數(shù)個參數(shù): 若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組.例如例如: 矩陣矩

6、陣A=(aij)mn有有n個個m維列向量維列向量: aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量組向量組a1, a2, an稱為矩陣稱為矩陣A的列向量組的列向量組. 飛機重心在空間的位置參數(shù)飛機重心在空間的位置參數(shù) P(x, y, z).所以確定飛機的狀態(tài)需用所以確定飛機的狀態(tài)需用6維向量維向量(x, y, z, , , )表示表示.在日常工作在日常工作, 學習和生活中學習和生活中, 有許多問題都需要用有許多問題都需要用向量來進行描述向量來進行描述. aaaaaaaaaaaamnmminiinnA21212222111211T1 T2 Ti T

7、m 向量組向量組1T, 2T, mT 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組. 反之反之, 由有限個向量所組成的向量組可以構成一由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣個矩陣. n個個m維列向量所組成的向量組維列向量所組成的向量組a1, a2, an構成一構成一個個mn矩陣矩陣),( 21naaaA 類似地類似地, 矩陣矩陣A=(aij)mn有有m個個n 維行向量維行向量: TmTTA 21線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應. mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212

8、111212111bxaxaxann 2211 m個個n維行向量所組成的向量組維行向量所組成的向量組1T, 2T, mT 構成一個構成一個mn矩陣矩陣 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m, 對于任何對于任何一組實數(shù)一組實數(shù)k1, k2, ,km, 向量向量k11 + k22 + + kmm稱為向量組稱為向量組A: 1, 2, m的一個線性組合的一個線性組合, k1, k2, , km稱為這個線性組合的系數(shù)稱為這個線性組合的系數(shù). 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m和向量和向量b, 如果存如果存在一組數(shù)在一組數(shù)1, 2, ,m, 使使b = 11 + 22 + +

9、 mm則向量則向量b是向量組是向量組A的線性組合的線性組合, 這時稱向量這時稱向量b能由向能由向量組量組A線性表示線性表示. 即線性方程組即線性方程組11 + 22 + + mm = b有解有解. 定理定理1: 向量向量b能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線線性表示的充分必要條件是矩陣性表示的充分必要條件是矩陣A=(1, 2, , m)與矩陣與矩陣B=(1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等. 定義定義: 設有兩向量組設有兩向量組A: 1, 2, , m 與與 B: 1, 2, , s .若若B組中的每一個向量都能由組中的每一個向量都能由A組線性表示組線性表示, 則稱向量則稱向量

10、組組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示; 若向量組若向量組B與向量組與向量組A可可以相互線性表示以相互線性表示, 則稱這兩個向量組等價則稱這兩個向量組等價. 若記若記A=(1, 2, , m)和和B=(1, 2, , s), 向量組向量組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示, 即對每一個向量即對每一個向量j ( j =1, 2, s ), 存在數(shù)存在數(shù)k1j, k2j, , kmj , 使使j = k1j 1+ k2j 2 + + kmj m,),2121 mjjjmjkkk （即即 ),(21s 從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （矩陣矩陣

11、K=(kij)ms稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣. 若若Cmn=AmsBsn , 則矩陣則矩陣C的列向量組能的列向量組能由矩陣由矩陣A的列向量組線性表示的列向量組線性表示, B為這一表示的系數(shù)矩為這一表示的系數(shù)矩陣陣: snssnnsnkkbbbbbbbaaaccc2122221112112121),(),( 同時同時, C的行向量組能由的行向量組能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示, A為這一表示的系數(shù)矩陣為這一表示的系數(shù)矩陣: TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121 設矩陣設矩陣A經初等行變換變成經初等行變換變成B, 則

12、則B的每個行向量的每個行向量都是都是A的行向量組的線性組合的行向量組的線性組合, 即即B的行向量組能由的行向量組能由A的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 由初等變換可逆性可知由初等變換可逆性可知: A的行的行向量組也能由向量組也能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 于是于是, A的行向的行向量組與量組與B的行向量組等價的行向量組等價. 類似地類似地, 若矩陣若矩陣A經初等列變換變成經初等列變換變成B, 則則A的列向的列向量組與量組與B的列向量組等價的列向量組等價. 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 即存在矩陣即存

13、在矩陣K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, , m)K也就是說矩陣方程也就是說矩陣方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解. 則由上一章的結論可得則由上一章的結論可得: 定理定理2: 向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, m線性表示的充分必要條件是矩陣線性表示的充分必要條件是矩陣A=(1, 2, , m)的秩與矩陣的秩與矩陣(A|B)=(1, 2, , m, 1, , s)的秩相等的秩相等, 即即R(A)=R(A|B). 推論推論: 向量組向量組A: 1, 2, m與向量組與向量組B: 1, 2, , s等價的充分必要條件是等價

14、的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A|B),其中其中A和和B是由向量組是由向量組A和和B所構成的矩陣所構成的矩陣.R(A)=R(A|B)事實上事實上,=R(B|A)=R(B) 定理定理3: 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 則則R(1, 2, , s)R(1, 2, , m),即即R(B)R(A). 以上所討論的內容建立在有限個向量的向量組與以上所討論的內容建立在有限個向量的向量組與矩陣之間有對應關系矩陣之間有對應關系, 從而以上結論之間有如下結果從而以上結論之間有如下結果: 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能

15、由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示 有矩陣有矩陣K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, , m)K 矩陣方程矩陣方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解.一般地一般地, R(B)R(A|B), R(A)R(A|B), 則有則有 1. 對方程組對方程組A的各個方程作線性運算所得到的一的各個方程作線性運算所得到的一個方程稱為方程組個方程稱為方程組A的一個線性組合的一個線性組合; 2. 若方程組若方程組B的每一個方程都是方程組的每一個方程都是方程組A的線性的線性組合組合, 則稱方程組則稱方程組B能由方程組能由方程組A線性表示線性表示, 此時方程此時

16、方程組組A的解一定是方程組的解一定是方程組B的解的解; 3. 若方程組若方程組A與方程組與方程組B能相互線性表示能相互線性表示, 則稱方則稱方程組程組A與方程組與方程組B等價等價, 等價方程組是同解的等價方程組是同解的. 向量組的線性組合向量組的線性組合, 線性表示線性表示, 等價等概念的一個等價等概念的一個重要應用是用來描述線性方程組重要應用是用來描述線性方程組:例例1: 設設證明向量證明向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示, 并求表示式并求表示式.,1301,0411,3121,2211321 baaa 證明證明: 要證向量要證向量b能由向量組能由向量組a1, a

17、2, a3線性表示線性表示, 需要證明需要證明: 矩陣矩陣A=(a1, a2, a3)與與B=(a1, a2, a3, b)的秩的秩相等相等. B = 1032341201211111 0000000012102301行變換行變換可知可知, R(A)=R(B),因此因此, 向量向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示.由由B的行最簡形可得方程組的行最簡形可得方程組Ax=b通解為通解為: ccccx1223012123故表示式為故表示式為: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c為任意常數(shù)為任意常數(shù). b=2a1a2.為此將為此

18、將B化為行最簡形化為行最簡形:特別地特別地, 取取c =0, 得表示式為得表示式為:例例2: 設設證明向量組證明向量組a1, a2與向量組與向量組b1, b2, b3等價等價.,0213,2011,1102,3113,111132121 bbbaa證明證明: 記記A=(a1, a2), B=(b1, b2, b3). 論論, 只需證只需證R(A)=R(B)=R(A|B).將將(A|B)化為行階梯形化為行階梯形:根據(jù)定理根據(jù)定理2的推的推行變換行變換(A|B) = 02131201111101131231 00000000001112031231得得R(A) =R(A|B)=2.又容易看出又容易

19、看出B中有中有2階非零子式階非零子式,那么那么 2R(B)R(A)=R(B)=R(A|B).因此因此故故 R(B)=2. R(A|B)=2. 例例3: n 階單位矩陣階單位矩陣E=(e1, e2, , en)的列向量稱為的列向量稱為n維單位坐標向量維單位坐標向量. 證明證明: n維單位坐標向量組維單位坐標向量組E: e1, e2, , en能由能由nm矩陣矩陣A=(a1, a2, , am)的列向量組的列向量組A: a1, a2, , am線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=n. 證明證明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2, 向量組向量組E: e1, e2, , en能由向能由向量組

20、量組A線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=R(A|E).因此因此R(A)=R(A|E)=n.故故R(A|E) n,而而 R(A|E)R(E)=n,又因矩陣又因矩陣(A|E)僅有僅有n行行,本例的結論用矩陣方程的方式可描述為本例的結論用矩陣方程的方式可描述為:矩陣方程矩陣方程AnmX=E有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是R(A)=n. 1. n維向量的概念維向量的概念, 實向量實向量, 復向量復向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量與列向量行向量與列向量; 3. 向量向量, 向量組及線性組合與線性表示的概念向量組及線性組合與線性表示的概念, 由矩陣的秩給

21、出判定的結論由矩陣的秩給出判定的結論; 4. 有限個向量的向量組與矩陣和線性方程組之有限個向量的向量組與矩陣和線性方程組之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.用矩陣的方式可描述為用矩陣的方式可描述為: 對矩陣對矩陣Amn, 存在存在Qnm使使AQ=Em的充分必要條件是的充分必要條件是R(A)=m.存在存在Pnm使使PA=En的充分必要條件是的充分必要條件是R(A)=n. 當當A為為n階方陣時階方陣時, P, Q就是就是A的逆矩陣的逆矩陣. 因此因此, 上上述結論可以看作逆矩陣概念的推廣述結論可以看作逆矩陣概念的推廣. 證明證明: 任意一個任意一個n維列向量維列向量a 都能由都能由 n 維單位坐標維單位坐標向量組

22、向量組E: e1, e2, , en線性表示線性表示.設設n維列向量維列向量a 為為,21 n 而而,100,010,00121 neee則顯然有則顯然有:a = 1e1 + 2e2 + + nen. 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m , 如果存在如果存在不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) k1, k2, ,km , 使使k11 + k22 + + kmm = O則稱向量組則稱向量組A是線性相關的是線性相關的, 否則稱它是線性無關否則稱它是線性無關. 注意注意1: 對于任一向量組而言對于任一向量組而言, 不是線性無關的就不是線性無關的就是線性相關的是線性相關的. 注意注意2: 假

23、設假設1, 2, , m線性無關線性無關, 則只有當則只有當1=2 = =m=0時時, 才有才有11 +22 + +mm = O成立成立. 注意注意3: 向量組只包含一個向量向量組只包含一個向量 時時,假設假設=O則則說說線性相關線性相關; 假設假設O, 則說則說 線性無關線性無關. 注意注意4: 包含零向量的任何向量組是線性相關的包含零向量的任何向量組是線性相關的.4.2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性4.2 證明證明: 充分性充分性. 設設1, 2, , m中有一個向量中有一個向量(比如比如m )能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示, 注意注意5: 對于含有兩個向量的向量組對于含

24、有兩個向量的向量組, 它線性相關它線性相關的充要條件是兩向量的分量對應成比例的充要條件是兩向量的分量對應成比例, 幾何意義是幾何意義是兩向量共線兩向量共線; 三個向量線性相關的幾何意義是三向量三個向量線性相關的幾何意義是三向量共面共面. 結論結論: 向量組向量組 1, 2, , m (當當 m2 時時)線性線性相關的充分必要條件是相關的充分必要條件是1, 2, , m中至少有一中至少有一個向量可由其余個向量可由其余 m1個向量線性表示個向量線性表示.即有即有也就是也就是 m = 1 1 + 2 2 + + m1 m1 1 1 + 2 2 + + m1 m1 + (-1) m =O因因1, 2,

25、 , m1, (-1)這這m個數(shù)不全為個數(shù)不全為0,故故1, 2, , m線性相關線性相關.必要性必要性. 設設1, 2, , m線性相關線性相關.則有不全為則有不全為0的的數(shù)數(shù)k1, k2, ,km, 使使k11 + k22 + + kmm =O.)()()(13132121mmkkkkkk 不妨設不妨設k10,即即1能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.線性相關性在線性方程組中的應用線性相關性在線性方程組中的應用 若方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時若方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時,這個方程就是多余的這個方程就是多余的, 這時稱方程組這時稱方程組(各個方程各個方程)是線

26、是線性相關的性相關的; 當方程組中沒有多余方程當方程組中沒有多余方程, 就稱該方程組就稱該方程組(各個方程各個方程)線性無關或線性獨立的線性無關或線性獨立的.證畢證畢 則有則有 結論結論: 向量組向量組A線性相關等價于齊次線性方程組線性相關等價于齊次線性方程組x11 + x22 + + xmm=O即即Ax=O有非零解有非零解, 其中其中A=(1, 2, , m). 定理定理4: 向量組向量組1, 2, , m線性相關的充分線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣必要條件是它所構成的矩陣A=(1, 2, , m)的的秩小于向量個數(shù)秩小于向量個數(shù)m; 向量組線性無關的充分必要條件向量組線性無關的充分

27、必要條件是是R(A)=m.由此可得由此可得:下面舉例說明定理下面舉例說明定理4的應用的應用.例例1: 討論討論n維單位坐標向量組的線性相關性維單位坐標向量組的線性相關性.解解: n維單位坐標向量組構成的矩陣為維單位坐標向量組構成的矩陣為n階單位矩階單位矩由由| E |=10 知知, R(E)=n.陣陣.故由定理故由定理4知知: n維單位坐標向量組是線性無關的維單位坐標向量組是線性無關的.即即R(E)等于組中向量個數(shù)等于組中向量個數(shù).,742,520,111321 例例2: 知知 試討論向量組試討論向量組1, 2, 3及及1, 2的線性相關性的線性相關性. 解解: 分析分析 對矩陣對矩陣(1,

28、2, 3)作初等行變換變作初等行變換變成行階梯形矩陣成行階梯形矩陣, 可同時看出矩陣可同時看出矩陣(1, 2, 3)及及(1, 2)的秩的秩, 利用定理利用定理4即可得出結論即可得出結論. 751421201),(321 2253rr ， 0002202011312rrrr 550220201可見可見, R(1, 2, 3)=2, 故向量組故向量組1, 2, 3線性線性相關相關, 而而R(1, 2)=2, 故向量組故向量組1, 2線性無關線性無關. 000322131xxxxxx 例例3: 已知向量組已知向量組a1, a2, a3線性無關線性無關, 試證向量組試證向量組b1=a1+a2, b2

29、=a2+a3, b3=a3+a1線性無關線性無關.證一證一: 設有設有x1, x2, x3, 使使x1 b1 + x2 b2 + x3b3 =O即即 x1(a1+a2) + x2(a2+a3) + x3(a3+a1) = O,亦即亦即 (x1+x3)a1 + (x1+x2)a2 + (x2+x3)a3 = O,因向量組因向量組a1, a2, a3線性無關線性無關, , 02110011101 由于此方程組的系數(shù)行列式由于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解故方程組只有零解, 即只有即只有x1=x2=x3=0, 因此由定義得因此由定義得, 向量組向量組b1, b2, b3線性無關線性無關.所以所

30、以證二證二: 將將b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1表示為矩陣表示為矩陣等式等式(b1, b2, b3) = (a1,a2, a3),110011101 記為記為B=AK, 并代入并代入3元齊次線性方程組元齊次線性方程組Bx=0, 得得(AK)x=0, 即即A(Kx)=0,由于由于a1,a2, a3線性無關線性無關, 即即R(A)=3, 從而從而Kx=0,又因為又因為| K |= 2 0知知, 齊次方程組齊次方程組Kx=0只有零解只有零解.因此因此, 齊次方程組齊次方程組Bx=0只有零解只有零解. 故故R(B)=3.因此由定理因此由定理4得得, 向量組向量組b1, b2,

31、 b3線性無關線性無關.證三證三: 由證二得由證二得B=AK, 由于由于| K |= 2 0知知K可逆可逆,由矩陣秩的性質由矩陣秩的性質4得得: R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理因此由定理4得得, 向量組向量組b1, b2, b3線性無關線性無關. 本例給出的三種證明方法都是證明向量組線性無本例給出的三種證明方法都是證明向量組線性無關性的常用方法關性的常用方法. 證一是依據(jù)定義的證明方法證一是依據(jù)定義的證明方法, 即向量組的線性組即向量組的線性組合為零的組合系數(shù)只能都為零合為零的組合系數(shù)只能都為零; 證二是利用定理證二是利用定理4, 證明向量組構成的矩陣的秩等證明向量組構成的矩陣的

32、秩等于向量組向量的個數(shù)于向量組向量的個數(shù), 借用齊次線性方程組只有零解借用齊次線性方程組只有零解的結果證明其系數(shù)矩陣的秩的結果證明其系數(shù)矩陣的秩; 證三仍是利用定理證三仍是利用定理4, 但過程利用了矩陣秩的性質但過程利用了矩陣秩的性質.線性相關性是向量組的重要性質線性相關性是向量組的重要性質, 給出如下結論給出如下結論: 定理定理5: (1)若向量組若向量組A:1, 2, , m線性相關線性相關, 則向量組則向量組B: 1, 2, , m, m+1也線性相關也線性相關; 反反言之言之, 若向量組若向量組B線性無關線性無關, 則向量組則向量組A也線性無關也線性無關. (2) m個個n維向量組成的

33、向量組維向量組成的向量組, 當當nm時一定線時一定線性相關性相關.), 2 , 1(, 12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjj (4)設設即即j 添上一個分量后得向量添上一個分量后得向量j. 若向量組若向量組A: 1, 2, , m線性無關線性無關, 則向量組則向量組B: 1, 2, , m也線性無關也線性無關; 反言之反言之, 若向量組若向量組B線性相關線性相關, 則向量組則向量組A也線性相關也線性相關. (3) 設向量組設向量組A: 1, 2, , m線性無關線性無關, 而向而向量組量組B: 1, 2, , m, 線性相關線性相關, 則向量則向量 必能由向必能由向量組量組A線

34、性表示線性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的.(1) 記記A=(1, 2, , m), B= (1, 2, , m, m+1),則有則有: R(B) R(A)+1.若向量組若向量組A線性相關線性相關, 則由定理則由定理4知知R(A)m,從而從而R(B) R(A)+1m+1.因此因此, 根據(jù)定理根據(jù)定理4得得, 向量組向量組B線性相關線性相關. 結論結論(1)可推廣為可推廣為: 一個向量組若有線性相關的部一個向量組若有線性相關的部分組分組, 則該向量組必線性相關則該向量組必線性相關. 特別地含有零向量的向特別地含有零向量的向量組必線性相關量組必線性相關; 反之反之, 若一個向量組線性無關若

35、一個向量組線性無關, 則它則它的任何部分組都線性無關的任何部分組都線性無關.證明證明: 本定理的本定理的4個結論均由定理個結論均由定理4證明證明. (2) m個個n維向量維向量1, 2, , m構成的矩陣構成的矩陣A=(1, 2, , m)nm, 有有R(A) n, 因此因此, 當向量維數(shù)當向量維數(shù)n小于向量組向量個數(shù)小于向量組向量個數(shù)m時時, 由定由定理理4知知, 該向量組一定線性相關該向量組一定線性相關.若若nm, 則則R(A)m.根據(jù)定理根據(jù)定理4, 由向量組由向量組A線性無關得線性無關得(4) 記記A=(1, 2, , m)rm, B=(1, 2, , m)(r+1)m,則有則有R(A

36、) R(B).從而有從而有R(B)m,R(A)=m,但但R(B) m (因因B只有只有m列列),故故R(B)=m.因此因此, 根據(jù)定理根據(jù)定理4得得, 向量組向量組B線性無關線性無關. 結論結論(4)是對增加一個分量是對增加一個分量(即維數(shù)增加即維數(shù)增加1維維)而言而言的的, 增加多個分量時增加多個分量時, 結論也成立結論也成立.(3) 記記A=(1, 2, , m), B= (1, 2, , m, ),則有則有R(A) R(B).根據(jù)定理根據(jù)定理4, 由向量組由向量組A線性無關得線性無關得R(A)=m, 由向量組由向量組B線性相關得線性相關得, R(B)m+1,故故 m R(B)m+1, 即

37、有即有R(B)=m.再由再由R(A)=R(B)=m知知, 方程組方程組Ax= 有唯一解有唯一解,即向量即向量 能由向量組能由向量組A線性表示線性表示, 且表示式唯一且表示式唯一. 例例3: 設向量組設向量組a1, a2, a3線性相關線性相關, 向量組向量組a2, a3, a4線性無關線性無關. 證明證明(1) a1能由能由a2, a3線性表示線性表示;(2) a4不能由不能由a1, a2, a3線性表示線性表示. 證明證明(1): 由于向量組由于向量組a2, a3, a4線性無關線性無關, 則由定則由定理理5之結論之結論(1)知向量組知向量組a2, a3線性無關線性無關. 又由于向量組又由于

38、向量組a1, a2, a3線性相關線性相關, 則由定理則由定理5之結之結論論(3)知知, 向量向量a1能由能由a2, a3線性表示線性表示, 且表示式唯一且表示式唯一.證明證明(2): 用反證法用反證法. 若若a4能由能由a1, a2, a3線性表示線性表示.而而a1能由能由a2, a3線性表示線性表示, 那么那么 a4能由能由a2, a3線性表示線性表示.但這與但這與a2, a3, a4線性無關矛盾線性無關矛盾,所以所以, a4不能由不能由a1, a2, a3線性表示線性表示.試證明試證明:(1) 一個向量一個向量線性相關的充要條件是線性相關的充要條件是=O;(2) 一個向量一個向量線性無關

39、的充要條件是線性無關的充要條件是O; (3) 兩個向量兩個向量, 線性相關的充要條件是存在線性相關的充要條件是存在k1使使 =k1 或者存在或者存在k2使使 =k2, 但兩式不一定但兩式不一定同時成立同時成立. 1. 線性相關與線性無關的概念線性相關與線性無關的概念; 線性相關性在線線性相關性在線性方程組中的應用性方程組中的應用(重點重點); 2. 線性相關與線性無關的判定方法線性相關與線性無關的判定方法: 定義定義, 5個定個定理理(難點難點).證明證明: (1), (2)略略. (3): 必要性必要性. 設向量設向量, 線性相關線性相關, 則存在不全則存在不全為零的數(shù)為零的數(shù)x, y, 使

40、使 x + y = 0. , xy 充分性充分性: 不妨設不妨設=k ,不妨設不妨設, x0, 那么那么xyk 即可即可.令令則則1 +(-k) = 0,則由定義知則由定義知, 向量向量, 線性相關線性相關.4.3 向量組的秩向量組的秩 定義定義1: 設有向量組設有向量組A, 如果在如果在A中能選出中能選出r個向量個向量A0: 1, 2, r, 滿足滿足 (1)向量組向量組A0: 1, 2, r 線性無關線性無關; (2)向量組向量組A中任意中任意r+1個向量個向量(如果存在的話如果存在的話)都線都線性相關性相關. 則稱向量組則稱向量組A0是向量組是向量組A的一個最大線性無的一個最大線性無關向

41、量組關向量組(簡稱最大無關組簡稱最大無關組). 最大無關組所含向量的個數(shù)最大無關組所含向量的個數(shù)r 稱為向量組的秩稱為向量組的秩, 記作記作RA. 只含零向量的向量組沒有最大無關組只含零向量的向量組沒有最大無關組, 規(guī)定它的規(guī)定它的秩為秩為0.4.3闡明闡明(2): 向量組與它的最大無關組是等價的向量組與它的最大無關組是等價的.,742,520,111321 例如例如:知知R(1, 2, 3)=2, 即即1, 2, 3線性相關線性相關, 而而 1, 2 和和 2, 3都線性無關都線性無關, 所以所以1, 2 和和2, 3都是都是1, 2, 3的最的最 大無關組大無關組.設設A0: 1, 2,

42、, n是向量組是向量組A的一個最大無關組的一個最大無關組. 則顯然則顯然A0可由可由A線性表示線性表示. A0中得到向量組中得到向量組1, 2, , n, 是線性相關的是線性相關的,對對A中任意向量中任意向量將其加入將其加入 節(jié)定理節(jié)定理5的結論的結論(3)知知, 可可A0由線性表示由線性表示,則由上則由上可由它的最大無關組可由它的最大無關組A0線性表示線性表示.從而向量組從而向量組A所以所以, 向量組與它的最大無關組是等價的向量組與它的最大無關組是等價的.闡明闡明(1): 最大無關組不唯一最大無關組不唯一. 定理定理6: 矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩, 也等于也等

43、于它的行向量組的秩它的行向量組的秩.證明證明: 設設A=(1, 2, , m), R(A)=r, 并設其并設其r 階子式階子式 Dr0.線性無關線性無關, 根據(jù)上節(jié)的定理根據(jù)上節(jié)的定理4, 由由Dr0知知, Dr所在的列向量組所在的列向量組又由于又由于A中所有中所有r+1階子式均為零知階子式均為零知, A中任中任類似可證類似可證A的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于R(A).意意r+1個列向量都線性相關個列向量都線性相關.因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列的列向量組向量組1, 2, , m的秩也記作的秩也記作R(1, 2, , m). 結論結論: 若若Dr是矩陣是矩陣A的一個最高階非

44、零子式的一個最高階非零子式, 則則Dr所在的所在的r 列即是列即是A的列向量組的一個最大無關組的列向量組的一個最大無關組, Dr所所在的在的r 行即是行即是A的行向量組的一個最大無關組的行向量組的一個最大無關組.所以所以A的列向量組的秩等于的列向量組的秩等于r.向量的一個最大無關組向量的一個最大無關組, 例例1: 全體全體n維實向量構成的向量組記作維實向量構成的向量組記作Rn, 求求Rn的一個最大無關組及的一個最大無關組及Rn的秩的秩.解解: : 因為因為n n維單位坐標向量構成的向量組維單位坐標向量構成的向量組 E: e1, e2, , enE: e1, e2, , en是線性無關的是線性無

45、關的. . 又根據(jù)上節(jié)定理又根據(jù)上節(jié)定理5的結論的結論(3)知知, Rn中的任意中的任意n+1個個向量都是線性相關的向量都是線性相關的, 因此向量組因此向量組E是是Rn的一個最大的一個最大無關組無關組, 且且Rn的秩等于的秩等于n. 推論推論(最大無關組的等價定義最大無關組的等價定義): 設有向量組設有向量組A0: 1, 2, r 是向量組是向量組A的一個部分組的一個部分組, 且滿足且滿足: (1)向量組向量組A0: 1, 2, r 線性無關線性無關; (2)向量組向量組A的任意向量都能由向量組的任意向量都能由向量組A0線性表示線性表示;則向量組則向量組A0是向量組是向量組A的一個最大無關組的

46、一個最大無關組.求求A矩陣的列向量組的一個最大無關組矩陣的列向量組的一個最大無關組, 并把不屬于并把不屬于最大無關組的列向量用最大無關組線性表示最大無關組的列向量用最大無關組線性表示.,97963422644121121112 例例2: 設矩陣設矩陣A = 實際上實際上, 依定義只需證明向量組依定義只需證明向量組A中的任意中的任意r +1個個向量都線性相關即可向量都線性相關即可.設設b1, b2, , br+1為向量組為向量組A中的任意中的任意r +1個向量個向量,由條件由條件(2)知知, 這這r +1個向量可以由向量組個向量可以由向量組A0線性表示線性表示,則由定理則由定理4可知可知:R(b

47、1, b2, , br+1)R(1, 2, r )=r,再由定理再由定理4可得可得: 向量組向量組b1, b2, , br+1線性相關線性相關,則由定義知則由定義知: 向量組向量組A0是向量組是向量組A的一個最大無關組的一個最大無關組.,00000310000111041211 A 得得R(A)=3.故列向量組的最大無關組含故列向量組的最大無關組含3個向量個向量.個非零行的非零首元所在的個非零行的非零首元所在的1, 2, 4三列三列.列向量組的一個最大無關組列向量組的一個最大無關組.而三而三故故1, 2, 4為為事實上事實上 763264111112 000100110111初等行變換初等行變

48、換 ( 1, 2, 4) =知知R(1, 2, 4)=3, 故故1, 2, 4線性無關線性無關. 要把要把3, 5用用1, 2, 4線性表示必須將線性表示必須將A再再變成行最簡形矩陣變成行最簡形矩陣.解解: : 對對A A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣: :.00000310003011040101 BA 初初等等行行變變換換.334 4215213 即得即得此式成立的理論依據(jù)此式成立的理論依據(jù):由于齊次線性方程組由于齊次線性方程組Ax=0與與Bx=0同解同解,( 1, 2, 3, 4, 5)x=0與與( 1, 2, 3, 4, 5)x=0同解同解,即即設設B的列

49、向量組為的列向量組為: 1, 2, 3, 4, 5.設其解為設其解為: x1, x2, x3, x4, x5, x11+x22+x33+x44+x55=0與與x11 +x22 +x33 +x44 +x55=0同時成立同時成立.則有則有(2)(3)(1)和和 x1=1, x2=1, x3=1, x4=0, x5=0.取其兩個解取其兩個解: x1=4, x2=3, x3=0, x4=3, x5=1; 這兩個解由這兩個解由(3)式也就是式也就是Bx=0求出求出, (3)式成立等價式成立等價于于(2)式成立式成立, 從而從而(1)式成立式成立. 以上討論表明以上討論表明: 如果矩陣如果矩陣Amn與與B

50、ln的行向的行向量組等價量組等價, 則方程組則方程組Ax=0與與Bx=0同解同解, 因此因此A的列向的列向量組各向量之間與量組各向量之間與B的列向量組各向量之間有相同的的列向量組各向量之間有相同的線性關系線性關系. 如果如果B是行最簡形矩陣是行最簡形矩陣, 則容易看出則容易看出B的列向量組的列向量組各向量之間所具有的線性關系各向量之間所具有的線性關系, 從而也就得到從而也就得到A的列的列向量組各向量之間的線性關系向量組各向量之間的線性關系. 1+ 2+ 3=041+32345=0得得.334 4215213 即即 向量組向量組1, 2, r 的秩為的秩為R(1, 2, r ), 同時這個符號又

51、可表示矩陣同時這個符號又可表示矩陣A=(1, 2, r )的秩的秩. 因此前兩節(jié)用矩陣的秩的方式敘述的向量組的因此前兩節(jié)用矩陣的秩的方式敘述的向量組的有關結論都可以用向量組的秩的方式敘述有關結論都可以用向量組的秩的方式敘述. 定理定理1: 向量向量b能由向量組能由向量組1, 2, , m線性線性表示的充分必要條件是表示的充分必要條件是R=(1, 2, , m)=R(1, 2, , m, b). 定理定理2: 向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, m線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(1, 2, , m)=R(1, 2, , m, 1, , s

52、). 推論推論: 向量組向量組A: 1, 2, m與向量組與向量組B: 1, 2, , s等價的充分必要條件是等價的充分必要條件是R(1,2,m)=R(1,2,s)=R(1,2,m,1,2,s). 定理定理3: 若向量組若向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 則則R(1, 2, , s)R(1, 2, , m). 定理定理4: 向量組向量組1, 2, , m線性相關的充分線性相關的充分必要條件是必要條件是R(1, 2, , m)m; 向量組線性無關向量組線性無關的充分必要條件是的充分必要條件是R(1, 2, , m)=m. 例例3: 設向

53、量組設向量組B是向量組是向量組A的部分組的部分組, 若向量組若向量組B線性無關線性無關, 且向量組且向量組A能由向量組能由向量組B線性表示線性表示, 則向量則向量組組B是向量組是向量組A的一個最大無關組的一個最大無關組.證證: 設向量組設向量組B含含r個向量個向量, 則它的秩為則它的秩為r . 因因A組能由組能由B組線性表示組線性表示, 故故A組的秩組的秩 r . 從而從而A組中任意組中任意r +1個向量線性相關個向量線性相關,所以所以, 向量組向量組B滿足最大無關組定義所規(guī)定的條件滿足最大無關組定義所規(guī)定的條件.,59354645),(,13112032),( 2121 bbaa例例4: 知

54、知證明向量組證明向量組a1, a2與與b1, b2等價等價.證明一證明一: 要證存在要證存在2階方陣階方陣X, Y, 使使(b1, b2)=(a1, a2)X, (a1, a2)=(b1, b2)Y.先求先求X.X.用求矩陣方程的方法對用求矩陣方程的方法對(a1, a2, b1, b2)施行施行 5913351146204532(a1, a2, b1, b2) = 591345324620351131rr 初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚦醯刃凶儞Q變?yōu)樾凶詈喰尉仃? 462010155046203511143rr 132rr 4620231023103511)2(2 r53 r 0000000023

55、103511242rr 23rr .0000000023101201 )1(1 r21rr 0000000023101201),(2121初初等等行行變變換換bbaa即即 2312即得即得X =因因| X | = 1 0 知知, X可逆可逆. 取取Y = X-1, 即為所求即為所求.因此向量組因此向量組a1, a2與與b1, b2等價等價.驗證驗證: 13112032 59354645 2312(a1, a2)X = (b1, b2)即向量組即向量組b1, b2可以由可以由a1, a2線性表示線性表示. 證明二證明二: 用初等列變換將矩陣用初等列變換將矩陣(a1, a2)和和(b1, b2)都

56、都化為列最簡形化為列最簡形. 13112032 59354645(a1, a2)= (b1, b2)=21 c)2(3212 ccc212rr 42 r,4/112/34/52/10001 21cc 1214)1(ccc 114524201,4/112/34/52/10001 證明三證明三: 顯然向量組顯然向量組a1, a2和和b1, b2都線性無關都線性無關.由證明一知由證明一知: 向量組向量組a1, a2, b1, b2線性相關線性相關, 并且秩并且秩為為2,所以所以, 向量組向量組a1, a2和和b1, b2都是都是a1, a2, b1, b2的最大的最大無關組無關組, 因此因此, a1

57、, a2和和b1, b2等價等價. 矩陣矩陣(a1, a2)和和(b1, b2)有相同的列最簡形有相同的列最簡形. 故兩矩故兩矩陣的列向量組等價陣的列向量組等價, 即即a1, a2與與b1, b2等價等價.1. 最大線性無關向量組的概念最大線性無關向量組的概念: 最大性最大性, 線性無關性線性無關性. 2. 矩陣的秩與向量組的秩的關系矩陣的秩與向量組的秩的關系:矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩3. 關于向量組秩的一些結論關于向量組秩的一些結論: 六個定理六個定理. 4. 求向量組的秩以及最大無關組的方法求向量組的秩以及最大無關組的方法: 將向量組

58、中的向量作為列向量構成一個矩陣將向量組中的向量作為列向量構成一個矩陣, 然然后進行初等行變換后進行初等行變換. 比較本節(jié)中例比較本節(jié)中例4的證法一的證法一, 二二, 三三, 并總結這類命題并總結這類命題的證法的證法.證法一根據(jù)向量組等價的定義證法一根據(jù)向量組等價的定義, 尋找兩向量組相尋找兩向量組相互線性表示的系數(shù)矩陣互線性表示的系數(shù)矩陣; 證法二利用證法二利用“經初等列變換經初等列變換, 矩陣的列向量組等矩陣的列向量組等價價,經初等行變換經初等行變換, 矩陣的行向量組等價這一特性矩陣的行向量組等價這一特性, 驗證是否有相同的行驗證是否有相同的行(列列)最簡形矩陣最簡形矩陣; 證法三直接計算向

59、量組的秩證法三直接計算向量組的秩, 利用了向量組的最利用了向量組的最大線性無關組等價這一結論大線性無關組等價這一結論.4.4 向量空間向量空間 定義定義: 設設V為為n維向量的集合維向量的集合, 如果集合如果集合V非空非空, 且且集合集合V對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉, 那么就稱集合那么就稱集合V為向量空間為向量空間. 說明說明2. 所有所有n維實向量的集合是一個向量空間維實向量的集合是一個向量空間, 記記作作Rn.說明說明1. 集合集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉是指對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉是指: 假設假設, V, 那么那么 + V; 假設假設 V, R, 那么那么

60、 V.4.4由于由于, 對對 =(1, a2, a3, , an)TV2, 2R, 解解: V1是向量空間是向量空間.因為對于因為對于V1V1的任意兩個元素的任意兩個元素例例2: 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間,解解: V1不是向量空間不是向量空間.則有則有 2=(2, 2a2, 2a3, , 2an)T例例1: 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間,2V2 = x = (1, x2, x3, , xn)T | x2, x3, , xn R . V1 = x = (0, x2, x3, , xn)T | x2, x3, , xn R . =(0, a2,