第四章熱傳導問題的數(shù)值解法ppt課件

1、第第4 4章章 熱傳導問題的數(shù)值解法熱傳導問題的數(shù)值解法數(shù)值解法的基本思想及基本步驟；數(shù)值解法的基本思想及基本步驟；有限差分法的原理；有限差分法的原理；能夠根據(jù)求解域的特點，合理進行求解域離散；能夠根據(jù)求解域的特點，合理進行求解域離散；根據(jù)熱平衡法建立節(jié)點溫度差分方程；根據(jù)熱平衡法建立節(jié)點溫度差分方程；利用計算機求解節(jié)點溫度差分方程組利用計算機求解節(jié)點溫度差分方程組主要研究內(nèi)容：主要研究內(nèi)容：本章具體內(nèi)容安排：本章具體內(nèi)容安排：4.1 導熱問題數(shù)值解法的基本思想導熱問題數(shù)值解法的基本思想4.2 內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立方法內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立方法4.3 邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)邊界節(jié)點離散

2、方程的建立及代數(shù)方程的求解方程的求解4.4 非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法4.1 導熱的問題數(shù)值解法的基本思想導熱的問題數(shù)值解法的基本思想1.數(shù)值解法的基本思想數(shù)值解法的基本思想: 用導熱問題所涉及的空間和時間區(qū)域內(nèi)有限個離散點(稱為節(jié)點)的溫度近似值來代替物體內(nèi)實際連續(xù)的溫度分布，將連續(xù)溫度分布函數(shù)的求解問題轉(zhuǎn)化為各節(jié)點溫度值的求解問題，將導熱微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為節(jié)點溫度代數(shù)方程的求解問題。 2.數(shù)值解法求解導熱問題的基本步驟：數(shù)值解法求解導熱問題的基本步驟： 1 1對實際導熱問題的幾何、物理性質(zhì)進行分析，做必要的、對實際導熱問題的幾何、物理性質(zhì)進行分析，做必要的、合理

3、的簡化，建立符合實際的物理模型；合理的簡化，建立符合實際的物理模型；2 2根據(jù)物理模型建立完整的數(shù)學模型，即給出導熱微分方程根據(jù)物理模型建立完整的數(shù)學模型，即給出導熱微分方程即導熱控制方程和單值性條件；即導熱控制方程和單值性條件；3 3求解域離散化：將導熱問題所涉及的空間和時間區(qū)域求解域離散化：將導熱問題所涉及的空間和時間區(qū)域按一定的要求劃分成有限個子區(qū)域，將子區(qū)域的頂點作為按一定的要求劃分成有限個子區(qū)域，將子區(qū)域的頂點作為需要確定其溫度值的空間點或時間點即節(jié)點）需要確定其溫度值的空間點或時間點即節(jié)點）, , 每個節(jié)每個節(jié)點就代表以它為中心的子區(qū)域，節(jié)點溫度就代表子區(qū)域的點就代表以它為中心的子

4、區(qū)域，節(jié)點溫度就代表子區(qū)域的溫度；溫度；4 4建立節(jié)點溫度代數(shù)方程組；建立節(jié)點溫度代數(shù)方程組；5 5求解節(jié)點溫度代數(shù)方程組，得到所有節(jié)點的溫度值；求解節(jié)點溫度代數(shù)方程組，得到所有節(jié)點的溫度值；6 6對計算結(jié)果進行分析，若計算結(jié)果不符合實際情況，則對計算結(jié)果進行分析，若計算結(jié)果不符合實際情況，則檢查上述計算步驟，修正不合理之處，重復進行計算，直到檢查上述計算步驟，修正不合理之處，重復進行計算，直到結(jié)果滿意為止。結(jié)果滿意為止。 目前求解導熱問題常用的數(shù)值解法主要有有限差分法、有限元法及邊界元法。其中有限差分法比較成熟，應(yīng)用較廣。 有限差分法的基本原理：用有限差分近似微分，用有限差商有限差分法的基本

5、原理：用有限差分近似微分，用有限差商近似微商，將導熱偏微分方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點溫度差分代數(shù)方程。近似微商，將導熱偏微分方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點溫度差分代數(shù)方程。 以以“二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱為例進行說明二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱為例進行說明1 求解域的離散化求解域的離散化 考慮根據(jù)導熱物體的幾何形狀選擇坐標系，利考慮根據(jù)導熱物體的幾何形狀選擇坐標系，利用一組與坐標軸平行的網(wǎng)格線將物體劃分成若干用一組與坐標軸平行的網(wǎng)格線將物體劃分成若干個子區(qū)域。網(wǎng)格的寬度稱為步長。步長大小即個子區(qū)域。網(wǎng)格的寬度稱為步長。步長大小即網(wǎng)格疏密的選擇根據(jù)問題的需要而定。網(wǎng)格疏密的選擇根據(jù)問題的需要而定。 1) 1) 子區(qū)

6、域的劃分子區(qū)域的劃分2 2節(jié)點的選擇節(jié)點的選擇 選擇網(wǎng)格線交點和網(wǎng)格線與物體邊界線的交點作為節(jié)點選擇網(wǎng)格線交點和網(wǎng)格線與物體邊界線的交點作為節(jié)點 ，每個節(jié)點代，每個節(jié)點代表以它為中心的子區(qū)域表以它為中心的子區(qū)域 。如：。如：(m,n)節(jié)點就代表涂陰影的子區(qū)域。節(jié)點就代表涂陰影的子區(qū)域。 02222ytxt控制方程：控制方程：dxx dxdtxt2 建立節(jié)點離散方程建立節(jié)點離散方程dxx dxdtxt02222ytxt如何得到各節(jié)點的差分方程？如何得到各節(jié)點的差分方程？建立節(jié)點溫度差分方程的方法有兩種：建立節(jié)點溫度差分方程的方法有兩種：1泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法 2熱平衡法熱平衡法4.2 內(nèi)

7、節(jié)點離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法1 泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法 對節(jié)點對節(jié)點m+1,n)m+1,n)和和m-1m-1，n)n)分別寫分別寫出出t t在在m,n)m,n)節(jié)點的泰勒級數(shù)展開式：節(jié)點的泰勒級數(shù)展開式： 以以“二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱為例進行說明二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱為例進行說明.2462,444,333,222, 1nmnmnmnmnmnmxtxxtxxtxxtxtt.2462,444,333,222, 1nmnmnmnmnmnmxtxxtxxtxxtxtt將上兩式相加略去高階項則得：將上兩式相加略去高階項則得：)(222, 1, 1,22xoxttt

8、xtnmnmnmnm中心差分格式中心差分格式同理可得同理可得y方向的中心差分格式：方向的中心差分格式： 對二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱問題：對二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱問題：)(222,1,1,22yoytttytnmnmnmnm02222ytxt0222,1,1,2, 1, 1ytttxtttnmnmnmnmnmnm41,1, 1, 1,nmnmnmnmnmtttttyx2 熱平衡法熱平衡法 內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法 熱平衡法的基本思路是：根據(jù)節(jié)點所代表的控制容積在導熱過程中的能量守恒建立節(jié)點溫度差分方程。 內(nèi)部節(jié)點( m,n )所代表的控制容積在導熱過程中的熱

9、平衡可表述為：從周圍相鄰控制容積導入的熱流量之和等于零。即有：0nsew根據(jù)導熱付里葉定律，對于垂直于畫面方向單位寬度有：根據(jù)導熱付里葉定律，對于垂直于畫面方向單位寬度有： 仍以仍以“二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導二維常物性，無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱為例熱為例0,1,1, 1, 1yttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnmxy04,1,1, 1, 1nmnmnmnmnmttttt4.3 邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解 把第把第2類及第類及第3類邊界條件合并類邊界條件合并考慮，根據(jù)熱平衡法進行分析；考慮，根據(jù)熱平衡法進行分析；wwntq

10、fwwtthnt 對具有第三類邊界條件的邊界節(jié)點對具有第三類邊界條件的邊界節(jié)點 ( m,n )，根據(jù)熱平衡有：，根據(jù)熱平衡有： 022,1,1, 1yttxyttxttyhxttynmnmnmnmnmfnmnmxy02121,1,1, 1nmnmnmnmnmfnmnmttttttyhttxhBi網(wǎng)格畢渥數(shù)網(wǎng)格畢渥數(shù) 02422,1,1, 1tBitBitttjijijiji 042, 11,1,nmnmnmnmtttt其他幾種邊界節(jié)點的溫度差分方程：其他幾種邊界節(jié)點的溫度差分方程： 1.1.第三類邊界條件下的外拐角邊界節(jié)點：第三類邊界條件下的外拐角邊界節(jié)點：0222,1, 1fnmnmnmtB

11、itBitt2.2.第三類邊界條件下的內(nèi)拐角邊界節(jié)點：第三類邊界條件下的內(nèi)拐角邊界節(jié)點：3.3.絕熱邊界節(jié)點：絕熱邊界節(jié)點：02622,1, 1, 11,fnmnmnmnmnmtBitBitttt 節(jié)點溫度差分方程組的求解方法節(jié)點溫度差分方程組的求解方法 運用有限差分方法可建立導熱物體所有內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點溫度的差分方程。這些節(jié)點溫度差分方程構(gòu)成一個線性代數(shù)方程組，求解該方程組，就可以得節(jié)點溫度的數(shù)值。 線性代數(shù)方程組的求解方法有消元法、矩陣求逆法、迭代法等線性代數(shù)方程組的求解方法有消元法、矩陣求逆法、迭代法等這里僅簡單介紹在導熱的數(shù)值計算中常用的迭代法。這里僅簡單介紹在導熱的數(shù)值計算中常用的

12、迭代法。 1) 簡單迭代法簡單迭代法設(shè)節(jié)點溫度差分方程的形式為：設(shè)節(jié)點溫度差分方程的形式為： a ta ta ta tba ta ta tt tba ta ta ta tbjjn njjn nnnnjjnn nn11 112 211121 122 22221 12 2abiji、為常數(shù)為常數(shù) aii 0 將該方程組改寫為將該方程組改寫為t ttn12,顯函數(shù)的形式：顯函數(shù)的形式： taba ta ta ttaba ta tt ttaba ta tatj jn nj jn nnnnnnnj jn nn111112 211222221 1221 111111()先假設(shè)一組節(jié)點溫度的先假設(shè)一組節(jié)點溫

13、度的初始值初始值 tttn10200,t ttn11211,tttn12222,1maxkikitt 2) 高斯高斯-塞德爾迭代法塞德爾迭代法 高斯-塞德爾迭代法是在簡單迭代法的基礎(chǔ)上加以改進的迭代運算方法。它與簡單迭代法的主要區(qū)別是在迭代運算過程中總使用最新算出的數(shù)據(jù)。 taba ta ta ttaba ta tt ttaba ta tatj jn nj jn nnnnnnnj jn nn i1111112 2010102122221 11202011 11111111()高斯高斯-塞德爾迭代法要比簡單迭代法收斂速度快。塞德爾迭代法要比簡單迭代法收斂速度快。 4.4 非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法

14、非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法與穩(wěn)態(tài)導熱的主要區(qū)別：非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法與穩(wěn)態(tài)導熱的主要區(qū)別：1非穩(wěn)態(tài)導熱問題的控制方程比穩(wěn)態(tài)導熱多了非穩(wěn)態(tài)項，非穩(wěn)態(tài)導熱問題的控制方程比穩(wěn)態(tài)導熱多了非穩(wěn)態(tài)項，因此單值性條件中增加了初始條件；因此單值性條件中增加了初始條件；2除了與穩(wěn)態(tài)導熱問題一樣需要對空間域進行離散外，除了與穩(wěn)態(tài)導熱問題一樣需要對空間域進行離散外，還需要對時間進行域離散；還需要對時間進行域離散；3在利用熱平衡法導出節(jié)點溫度方程時需要考慮控制容在利用熱平衡法導出節(jié)點溫度方程時需要考慮控制容積的熱力學能隨時間的變化；積的熱力學能隨時間的變化；4由于時間和空間同時離散，會帶來節(jié)

15、點溫度方程求解由于時間和空間同時離散，會帶來節(jié)點溫度方程求解的穩(wěn)定性問題，有些情況下空間步長和時間步長不能任意選的穩(wěn)定性問題，有些情況下空間步長和時間步長不能任意選擇。擇。 以以“第三類邊界條件下無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例第三類邊界條件下無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例”1 一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值求解一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值求解2節(jié)點溫度差分方程的建立節(jié)點溫度差分方程的建立txta22控制方程：控制方程：1) 求解域的離散求解域的離散 時間步長為：時間步長為： 空間步長：空間步長：x空間和時間步長的大小要保證節(jié)點溫度方程求解的穩(wěn)定性?？臻g和時間步長的大小要保證節(jié)點溫度方程求解的穩(wěn)定

16、性。 kit表示空間節(jié)點表示空間節(jié)點i在在k時辰簡稱時辰簡稱k時刻的節(jié)點溫度。時刻的節(jié)點溫度。 運用熱平衡法可以建立非穩(wěn)態(tài)導熱物體內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點溫度差分方程。運用熱平衡法可以建立非穩(wěn)態(tài)導熱物體內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點溫度差分方程。1)內(nèi)節(jié)點離散方程的建立內(nèi)節(jié)點離散方程的建立對于常物性、無內(nèi)熱源的無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題對于常物性、無內(nèi)熱源的無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題 內(nèi)部節(jié)點內(nèi)部節(jié)點i i所代表的控制容積圖中陰影部所代表的控制容積圖中陰影部分的熱平衡可表述為：在分的熱平衡可表述為：在k k時刻，單位時間內(nèi)時刻，單位時間內(nèi)從相鄰控制容積從相鄰控制容積i-1i-1與與i+1i+1分別導入的

17、熱流量之分別導入的熱流量之和等于該控制容積熱力學能的增加和等于該控制容積熱力學能的增加. .即：即：dU 如果節(jié)點如果節(jié)點i i的溫度對時間的變化率采用向前差分，則有：的溫度對時間的變化率采用向前差分，則有： kikikikikikittcxAxttAxttA11121112xtttattkikikikikikikikikikitttxatt21121移項后變?yōu)橐祈椇笞優(yōu)?2xaFo稱為網(wǎng)格付里葉數(shù) kikikikitFottFot21111一維非穩(wěn)態(tài)導熱內(nèi)一維非穩(wěn)態(tài)導熱內(nèi)部節(jié)點溫度方程的部節(jié)點溫度方程的顯式差分格式顯式差分格式 兩點結(jié)論：兩點結(jié)論：1.任意一個內(nèi)部節(jié)點在某一時刻的節(jié)點溫度，都

18、可以由該節(jié)點及任意一個內(nèi)部節(jié)點在某一時刻的節(jié)點溫度，都可以由該節(jié)點及其相鄰節(jié)點在前一時刻的節(jié)點溫度由上式直接求出，不必聯(lián)立求其相鄰節(jié)點在前一時刻的節(jié)點溫度由上式直接求出，不必聯(lián)立求解方程組，這是顯式差分格式的優(yōu)點。這樣就可以從初始溫度出解方程組，這是顯式差分格式的優(yōu)點。這樣就可以從初始溫度出發(fā)依次求出發(fā)依次求出 等各時刻的節(jié)點溫度；等各時刻的節(jié)點溫度；、k22.必須滿足顯式差分格式的穩(wěn)定性條件，即：必須滿足顯式差分格式的穩(wěn)定性條件，即： 1 20Fo穩(wěn)定性條件說明，一旦空間步長或時間步長穩(wěn)定性條件說明，一旦空間步長或時間步長的數(shù)值確定之后，另一個步長的數(shù)值的就不的數(shù)值確定之后，另一個步長的數(shù)值

19、的就不能任意選擇，必須滿足穩(wěn)定性條件。能任意選擇，必須滿足穩(wěn)定性條件。物理意義？物理意義？2邊界節(jié)點溫度差分方程邊界節(jié)點溫度差分方程 以第三類邊界條件下無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱為例以第三類邊界條件下無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱為例 邊界節(jié)點邊界節(jié)點0 0所代表的控制容積圖中所代表的控制容積圖中陰影部分的熱平衡可表述為：在陰影部分的熱平衡可表述為：在k k時時刻，單位時間內(nèi)從相鄰控制容積刻，單位時間內(nèi)從相鄰控制容積1 1導入導入的熱流量與從流體以對流換熱的方式傳的熱流量與從流體以對流換熱的方式傳入的熱流量之和等于該控制容積熱力學入的熱流量之和等于該控制容積熱力學能的增加。即：能的增加。即： dU

20、h邊界節(jié)點邊界節(jié)點0 0的溫度對時間的變化率采用向前差分，則有：的溫度對時間的變化率采用向前差分，則有： kkkkkkttcxAttAhxttA0100012經(jīng)過整理，并引入網(wǎng)格畢渥數(shù)和網(wǎng)格付里葉數(shù)有：經(jīng)過整理，并引入網(wǎng)格畢渥數(shù)和網(wǎng)格付里葉數(shù)有： 同內(nèi)部節(jié)點溫度方程的顯式差分格式的道理一樣，上同內(nèi)部節(jié)點溫度方程的顯式差分格式的道理一樣，上式必須滿足解的穩(wěn)定性條件，即：式必須滿足解的穩(wěn)定性條件，即： 0221FoFoBikkfkktFoFoBitBitFot01102212 第三類邊界條件下一維非穩(wěn)態(tài)導熱物體邊界第三類邊界條件下一維非穩(wěn)態(tài)導熱物體邊界節(jié)點溫度方程的顯式差分格式。節(jié)點溫度方程的顯式

21、差分格式。 )1 ( 21BiFo即：即：注：這一要求比內(nèi)點的限制還要苛刻。當邊界條注：這一要求比內(nèi)點的限制還要苛刻。當邊界條件及內(nèi)節(jié)點的穩(wěn)定性條件得出的件及內(nèi)節(jié)點的穩(wěn)定性條件得出的 不同時，應(yīng)不同時，應(yīng)以較小值來確定允許的時間步長。以較小值來確定允許的時間步長。Fo 本章小結(jié)本章小結(jié)重點掌握以下內(nèi)容：重點掌握以下內(nèi)容：1） 理解數(shù)值解法的基本思想，熟悉數(shù)值解法的基本步驟；理解數(shù)值解法的基本思想，熟悉數(shù)值解法的基本步驟；2掌握有限差分法的原理；掌握有限差分法的原理；3重點掌握熱平衡法建立節(jié)點溫度差分方程；重點掌握熱平衡法建立節(jié)點溫度差分方程；4了解差分方程組的求解方法；了解差分方程組的求解方法；復習題復習題P185-186：1. 2. 6 例題：例題：4-3l離散方程的相容性，收斂性，穩(wěn)定性問題離散方程的相容性，收斂性，穩(wěn)定性問題關(guān)于數(shù)值計算的補充內(nèi)容關(guān)于數(shù)值計算的補充內(nèi)容 1. 數(shù)值計算是基于離散方程數(shù)值計算是基于離散方程 2. 希望離散方程具備微分方程原有的基本屬性希望離散方程具備微分方程原有的基本屬性 離散方