平面向量數(shù)量積

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義【課型】：新授課 【課時(shí)】：第一課時(shí)一、 教材分析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修四第二章第二節(jié)2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義。本節(jié)內(nèi)容先通過物理中“功”的例子抽象出平面向量數(shù)量積的概念，了解它的物理背景，再在此基礎(chǔ)上探究學(xué)習(xí)數(shù)量積的幾何含義、性質(zhì)與運(yùn)算律。平面向量的數(shù)量積是繼學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算后的又一重要運(yùn)算，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。它既是對平面向量的深入學(xué)習(xí)與拓展，也為后續(xù)物理應(yīng)用的學(xué)習(xí)、立體幾何問題的解決等提供了新的思路，起著重要的承上啟下的銜接作用。在平面向量數(shù)量積概念中，既有長度又有角度，既有數(shù)又有形，是代數(shù)、幾何與三角的最佳

2、結(jié)合點(diǎn)，也很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。二、 學(xué)情分析本節(jié)課的授課對象是高一學(xué)生，從知識起點(diǎn)看，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的概念及其線性運(yùn)算，學(xué)習(xí)了功等簡單的物理知識，并且初步體會了研究向量運(yùn)算的一般方法；從能力上看，學(xué)生具備了一定程度的分析問題與解決問題的能力，也形成了一定的邏輯思維；從情感上看，高一的學(xué)生對未知有探求的渴望，有學(xué)習(xí)新知的渴望。但在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，之前向量線性運(yùn)算的知識會造成學(xué)生對數(shù)量積這個(gè)概念的理解上的偏差，干擾學(xué)生對數(shù)量積概念的理解，另外，相對于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)不同性質(zhì)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，結(jié)果卻不是向量，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶

3、來了困難。三、 重難點(diǎn)重點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的概念；難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的定義與幾何意義的理解。四、 三維目標(biāo)（一）知識與技能說出平面向量數(shù)量積的概念；知道平面向量數(shù)量積的物理背景；描述平面向量數(shù)量積與向量的投影的關(guān)系；（二）過程與方法通過把功這個(gè)式子推廣到一般形式來學(xué)習(xí)數(shù)量積概念的過程，學(xué)習(xí)從特殊到一半的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法；通過進(jìn)一步根據(jù)圖式理解概念，鞏固數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過生活中的物理問題引出數(shù)量積的概念，體會數(shù)學(xué)與生活與其他學(xué)科密切相關(guān)；通過解答新的運(yùn)算與線性運(yùn)算之間的區(qū)別，感受探索的樂趣，體驗(yàn)到成功解決疑問的快樂。五、 教學(xué)過程（一） 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課情景

4、：某天老師的小車在路上拋錨了，看到前方有一修車廠，需要將車子推到修車廠門口才可以修理，老師用力F拉動汽車產(chǎn)生的位移為s，假設(shè)F是恒力。問題：老師做了多少功？【學(xué)生活動】學(xué)生在物理知識的基礎(chǔ)上，很容易得到:?！編熒顒印拷處熞龑?dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看這個(gè)式子，W是數(shù)量，F(xiàn)和s都是向量，而從物理的角度看這個(gè)式子，其中F和s是力向量和位移向量的大小，所以可以將該式改成：。問題：功的計(jì)算是一種向量間的運(yùn)算，那是向量的線性運(yùn)算么？【教師活動】教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)的向量的線性運(yùn)算。【學(xué)生活動】學(xué)生很容易得到功的計(jì)算不屬于向量的線性運(yùn)算。問題：將向量的線性運(yùn)算與功的計(jì)算進(jìn)行比較，請學(xué)生找兩者的區(qū)別。結(jié)論：有

5、兩個(gè)不同點(diǎn)： 加、減法運(yùn)算都是兩個(gè)同性質(zhì)的向量進(jìn)行運(yùn)算，數(shù)乘是實(shí)數(shù)與一個(gè)向量的運(yùn)算，而功的運(yùn)算是兩個(gè)不同性質(zhì)的向量力和位移的運(yùn)算； 線性運(yùn)算的結(jié)果還是同性質(zhì)的向量，而功的運(yùn)算結(jié)果卻是數(shù)量。進(jìn)而導(dǎo)入本節(jié)課的內(nèi)容平面向量數(shù)量積?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師通過生活中的親身經(jīng)歷提出問題引入新課，有利于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)同感與學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科與生活之間的密切聯(lián)系，后通過分析比較之前學(xué)習(xí)的向量運(yùn)算，創(chuàng)建學(xué)生的認(rèn)知沖突，引出了平面向量數(shù)量積，點(diǎn)明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。（二） 逐步探索，發(fā)現(xiàn)新知1.剖析概念，知道物理背景問題：你能用文字語言表述上面的“功的計(jì)算公式”嗎？【學(xué)生活動】學(xué)生容易得到答案：功是力與位移大小及

6、其夾角余弦的乘積。問題：如果將這個(gè)特殊的式子推廣到一般的式子，又該如何描述？【教師活動】教師通過一般的引導(dǎo)學(xué)生得出答案。結(jié)論：數(shù)量R是兩個(gè)向量的模及其夾角余弦的乘積?！窘處熁顒印拷o出向量數(shù)量積的定義。定義（板書）向量數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即另外，我們規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0。即?！編熒顒印拷處熃Y(jié)合圖像讓學(xué)生做進(jìn)一步的理解?！窘處熁顒印繉W(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，又回到功的式子，請學(xué)生將功的式子改成數(shù)量積的形式?！緦W(xué)生活動】：?！窘處熁顒印拷處燑c(diǎn)明功的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)就是力和位移s兩個(gè)向量的數(shù)量積。注意點(diǎn)：兩個(gè)不同性質(zhì)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算

7、后得到的是一個(gè)數(shù)量；兩個(gè)向量的夾角取值范圍為；符號不能寫成或者。2. 明確內(nèi)涵，掌握幾何意義【教師活動】學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念，也明確了它的物理背景，那么從數(shù)學(xué)角度看這個(gè)運(yùn)算，它的幾何意義又是什么呢？在發(fā)現(xiàn)它的幾何意義之前，先學(xué)習(xí)另一個(gè)新的概念：向量投影。定義（板書）：向量投影：如下圖所示，我們把叫做向量在方向上的投影，記作。OO1注意：投影也是數(shù)量。【教師活動】請學(xué)生根據(jù)推車情景的簡圖回答在上的投影。【學(xué)生活動】學(xué)生將容易的得到：問題：學(xué)習(xí)了投影后，從新的角度看看數(shù)量積，能發(fā)現(xiàn)它的幾何意義嗎？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生一起得到幾何意義是：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積?！驹O(shè)計(jì)意圖】新課程中

8、，教學(xué)是師生積極交往互動、共同發(fā)展的，通過這一環(huán)節(jié)調(diào)動師生間與學(xué)生間的合作交流，通過討論合作突破難點(diǎn)，掌握重點(diǎn)，體會合作與成功的樂趣。（三） 自我嘗試，鞏固新知例1.已知，與的夾角，求?！緦W(xué)生活動】該題請學(xué)生自主完成。解：例2.已知在ABC中， 當(dāng)或時(shí)，試判斷ABC的形狀?！緦W(xué)生活動】該題請學(xué)生自主完成。解：，當(dāng)時(shí)，且，是鈍角，ABC是鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，且，=90，ABC是直角三角形?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主實(shí)踐，親身嘗試解答問題，將知識內(nèi)化、理解掌握。（四） 小結(jié)升華，布置作業(yè)【學(xué)生活動】最后請學(xué)生小結(jié)今天所學(xué)的知識，教師可以從幾個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，再由教師進(jìn)行補(bǔ)充。引導(dǎo)的問題是：1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量數(shù)量積的物理背景和數(shù)學(xué)幾何意義是什么？3、