whx周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換

1、 了解傅里葉變換的幾種形式 了解時域與頻域信號特性的對偶關(guān)系 了解周期序列的傅里葉級數(shù)及傅里葉變換之間的關(guān)系 了解離散時間信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系 時間函數(shù) 頻率函數(shù)連續(xù)非周期 非周期連續(xù)傅里葉變換（FT） 周期連續(xù) 離散非周期傅里葉級數(shù)（FS）離散非周期 周期連續(xù)序列的傅里葉變換周期離散 離散周期離散傅里葉變換連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換(FT)時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。()( )j tX jx t edt 1( )()2j tx tX jed 時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時域周期函數(shù)造成頻域的離散。000/20/

2、201()( )TjktTX jkx t edtT00( )()jktkx tX jke 時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)()( )jj nnX ex n e1( )()2jj nx nX eed 一個域的離散造成另一個域的周期延拓，因此離散周期序列的傅里葉變換的時域和頻域都是離散的和周期的210( )( )NjnkNnX kx n e2101( )( )NjnkNkx nX k eN時間函數(shù)時間函數(shù)頻率函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)(FT)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(0=2/T0) (FS)離散(T)和非周期周期(s=2/T)和連續(xù) (DFS)離散(T

3、)和周期(T0) 周期(s=2/T)和離散 (0=2/T0) (DFT) 2.3.1 周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入ktjkekXtx0)()(0對上式進(jìn)行抽樣，得： 導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的傅氏級數(shù)開始的： knkNjknTjkekXekXnTx200)()()(0NT20)(nTx)(0kX因 是離散的，所以 應(yīng)是周期的。)(0kX，代入而且，其周期為 ，因此 應(yīng)是N點(diǎn)的周期序列。0/2 NT 又由于 所以求和可以在一個周期內(nèi)進(jìn)行，即 即，當(dāng)在k=0,1,., N-1求和與在k=N,.,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。knNjrnjnkNjnrNkNjee

4、ee222)(21020)()()()()()(NknkNjekXnxkXkXnxnTx則有，；，考慮到：1020NknkNjekXnTx( )() x nx nrNrN周期序列：為任意整數(shù) 為周期000 ( )() ( )( )aajktakx tx tkTTx tX k e連續(xù)周期函數(shù)：為周期0002 /jktTke 基頻：次諧波分量：0 ( )( )jknkNx nX k e為周期的周期序列：002 /jknNke基頻：次諧波分量：nNjene/21)(knNjkene/2)(周期為N的正弦序列其基頻成分為： K次諧波序列為：knNjnNkNjee/2)(/2 但離散級數(shù)所有諧波成分中只

5、有N個是獨(dú)立的，這是與連續(xù)傅氏級數(shù)的不同之處， 即 因此 )()(nenekNk注意與連續(xù)周期序列注意與連續(xù)周期序列傅傅氏級數(shù)的區(qū)別氏級數(shù)的區(qū)別 周期序列不能進(jìn)行傅里葉變換，因為其在 n=-到+ 都周而復(fù)始永不衰減，不滿足絕對可和條件。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。 將周期序列展成離散傅里葉級數(shù)時，只需取 k=0 到(N-1) 這N個獨(dú)立的諧波分量，所以一個周期序列的離散傅里葉級數(shù)只需包含這N個復(fù)指數(shù)J加權(quán)的復(fù)指序列的線性組合。10/2)(1)(NKknNjekXNnx二. 的k次諧波系數(shù) 的求法 1.預(yù)備知識)

6、(nx)(kXrmmNrNeNnrnNj，其他為任意整數(shù)0,102)(11122)1(2222102時mNrNeeeeeerNjNrNjNrNjrNjrNjNnrnNj注意：其他注意：其他r時分子總是為零時分子總是為零t 的表達(dá)式 將式 的兩端乘 ，然后從 n=0到N-1求和，則：)(kXnrNje2102)(NnnrNjenx102)()(NknkNjekXnx1010)(2)(NnNknrkNjekX22111()000211()00( )( )( )( )NNNjnrjk r nNNnnkNNjk r nNknx n eX k eX keNX r102)(1)(,NnnrNjenxNrX

7、因此3.離散傅氏級數(shù)的習(xí)慣表示法 通常用符號 代入，則：NjNeW210102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnx正變換：反變換：周期序列的DFS正變換和反變換：21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中： 1)周期序列可展開為 N 次諧波的線性組合 2）諧波系數(shù) 也是一個由 N 個獨(dú)立諧波分量組成的傅立葉級

8、數(shù) 3） 為周期序列，周期為N。)(kX)(kX DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內(nèi)容（一個周期內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長序列實(shí)際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。2.3.2 周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統(tǒng)中， 的傅里葉變換是在=o處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2，即0( )jtax te00()( )2()jtj taaXjFT x teedt 對于時域離散系統(tǒng)中 ，暫時假定其FT的形式與上式一樣，也是在=0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2，即00()2(2)jnjrX eDTFT

9、er 的周期性引起的。 的頻譜如圖2-3所示。 圖2-3 的傅里葉變換 這是因為積分區(qū)間(-，)只包括一個單位沖激函數(shù)。以上利用沖激函數(shù)表示序列 的傅里葉變換，對于一般的周期序列 ，可以用DFS表示為N次諧波疊加的形式，那么利用傅里葉變換可以將按各次諧波表示如下 njnjrnjjederdeeX0)2(221)(21010)22()(2)()(NkrjrkNNkXnxFTeX 式中k =0，1，2，N-1，若讓k 在之間變化，上式可簡化為 上式就是利用沖激函數(shù)，以及周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示周期序列的傅里葉變換的表達(dá)式。 22()( ) ()jKX eX kkNN 102)()(NnknNj

10、enxkX 例 2.3.1 設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓得到的序列(如圖2-4(a)所示)，求序列的DFS與FT。 解： (1)求DFS273840044442224888( )( )111()1()jknknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kX n eeeeeeeeeeee 其幅度特性 如圖2-4(b)所示。38sin2sin8jkkek (2)求FTkkjjkkkeeX)4()8/sin()2/sin(4)(83圖 2-4 序列 x(n)的幅頻特性 注意序列x(n)幅度特性 和幅頻特性 | |的相似性，它們都可以表示周期序列的頻譜分布，但周期

11、序列的| |使用沖激函數(shù)表示的。 )(jeX)(jeX 我們知道模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式用下面公式描述()( )1( )()2j taaj taaXjx t edtx tXjedt 這里t與的域均在之間。 從模擬信號幅度取值考慮， 在第一章中遇到兩種信號， 即連續(xù)信號和采樣信號， 它們之間的關(guān)系如下： ( )() ()aanxtx nTtnT1()()aasnxjxjjkT X(e j)與Xa(j)之間有什么關(guān)系， 數(shù)字頻率與模擬頻率(f)之間有什么關(guān)系， 這在模擬信號數(shù)字處理中， 是很重要的問題。 為分析上面提出的問題， 觀察1()()2j nTaax nTXjed(21)/(2

12、1)/1()()2rTj nTaarTrx nTXjed ()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eed 令 ， 代入上式后， 再將用代替2rT /2/12()()212()()2n Tj nTjrnaaTrn Tj nTaaTrxnTXjr eedTxnTXjr edT 112()()212()()j naarjarxnTXjjr edTTTX eXjjrTTT圖 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系0.5 100.510.5 100.510.5 100.51 fs2sffsff 2s2sf2sss00022 例 2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2f0t)， f0=5

13、0 Hz以采樣頻率fs=200 Hz對xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號 和時域離散信號x(n)，求xa(t)和 的傅里葉變換以及x(n)的FT。 解： ( )ax t0002200()( )cos212 (2)(2)aaj tjf tjf tj tXjFT x tf tedteeedtff ( )ax t Xa(j)是=2f0處的單位沖激函數(shù)， 強(qiáng)度為， 如圖2.4.2(a)所示。 以fs=200 Hz對xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號 ， 其 與xa(t)的關(guān)系式為 ( )ax t0( )cos(2) ()anxtf nTtnT00()( )1() (2)(2)aaasksskXjFT xtXjjkTkfkfT 將采樣信號轉(zhuǎn)換成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2f0