高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六版1-02-數(shù)列的極限ppt課件

1、Chap01 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù) 不介紹、不需要掌握的內(nèi)容不介紹、不需要掌握的內(nèi)容:P17 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)_雙曲正弦雙曲正弦,雙曲余弦雙曲余弦,雙曲正切雙曲正切; P19 反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)_.;P55 柯西柯西Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則;P72 一致連續(xù)性一致連續(xù)性.Chap01 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù) 重點內(nèi)容重點內(nèi)容:極限定義極限定義,極限運算法則極限運算法則,極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則,兩個重要極限兩個重要極限, 等價無窮小量等價無窮小量;2. 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性,連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算,閉區(qū)間上連閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)續(xù)函數(shù)的性質(zhì).難點難點:極

2、限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則,等價無窮小量的使用等價無窮小量的使用;函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用. 今日講課內(nèi)容今日講課內(nèi)容: 數(shù)列極限定義數(shù)列極限定義 函數(shù)極限定義函數(shù)極限定義長假后講課內(nèi)容長假后講課內(nèi)容: 極限運算法則極限運算法則 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限 概念的引入概念的引入二二. . 數(shù)列極限的概數(shù)列極限的概念念三三. . 數(shù)列極限的性數(shù)列極限的性質(zhì)質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的極限1. 如何用漸近的方法求圓的面積如何用漸近的方法求圓的面積A？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積A.A1 A2

3、A3 A1表示圓內(nèi)接正表示圓內(nèi)接正6邊形面積邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正表示圓內(nèi)接正12邊形面積邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正表示圓內(nèi)接正24邊形面積邊形面積,An表示圓內(nèi)接正表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積邊形面積, , 顯然顯然n越大越大, An越接近于越接近于A. 因而因而, 需要考慮當(dāng)需要考慮當(dāng)n時時, An的變化趨勢的變化趨勢. 一、概念的引入一、概念的引入劉徽割圓術(shù)：劉徽割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體不可割，則與圓周合體而無所失矣而無所失矣” 劉徽劉徽1213 23 2sinnnnAR 劉劉徽徽 | |牟牟合合方方蓋蓋

4、4VV:球球牟牟2. 2. 曲邊三角形的面積問題：曲邊三角形的面積問題：與割圓問題與割圓問題 同樣的是同樣的是 曲邊曲邊 三角形的三角形的 面積面積 A 如如何計算？何計算？11o oxy2yx我們通常的做法是我們通常的做法是:將區(qū)間將區(qū)間0,1 n 等份等份,用小用小矩形的面積來近似地表示小曲邊梯形的面積矩形的面積來近似地表示小曲邊梯形的面積.niniinnnnn nnnnninnnnn nnnnn222231322223131112(1)(1)(21)111(1)(2)66112(1)(21)111(1)(2)66 不足近不足近似似(橘橘色部分色部分)過剩近過剩近似似(橘色橘色 加藍(lán)色加藍(lán)

5、色 部分部分)可以看到，隨著可以看到，隨著 n 的不斷增大，不足近似的不斷增大，不足近似不斷增加，過剩近似不斷減少，越來越接不斷增加，過剩近似不斷減少，越來越接近于所要求的曲邊三角形面積近于所要求的曲邊三角形面積 A 的真值。的真值。1111(1)(2),631111(1)(2).63nnAnnAnn 3. 3. 截杖問題：截杖問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1定義定義:按

6、自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n數(shù)數(shù)列列注意：注意： 數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動可看作一動點在數(shù)軸上依次取點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn

7、 2, 22, 222 , 問問題題當(dāng)當(dāng) 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn問題問題:當(dāng)當(dāng) 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn1( 1),11.nnnxn 例例如如，當(dāng)當(dāng)無無限限增增大大時時無無限限接接近近于于問題問題: “無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 二二. 數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義nnnnnxnxnxnNx22233344410 ,10,1

8、10 ,10 ,10,110 ,10 ,10,110 ,10,1. 給給定定只只要要時時 有有給給定定只只要要時時 有有給給定定只只要要時時 有有給給定定只只要要 時時有有成成立立定義定義 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù) a是數(shù)是數(shù)列列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于 a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的

9、就說數(shù)列是發(fā)散的.x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每每一一個個或或任任給給的的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使數(shù)列收斂的表述數(shù)列收斂的表述用邏輯符號用邏輯符號: lim0,0,.,.nnnxaNnforNxaone of allexisryteve Greek alphabet : Eepsil n 1( 1)111110,1,nnnnxnnxnn

10、 ，任任給給要要只只要要或或例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證所以所以,1111( 1),1( 1)111( 1)1,lim1.1nnnnnNnNnnnnnNn 取取則則當(dāng)當(dāng)時時 就就有有即即用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是對任意給定關(guān)鍵是對任意給定 的的 尋找尋找N., 0 例例2. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明nnnnnqqqxqnqnqNq0,limlim00;01,0,0,lnlnln ,lnln.ln 分分析析 若若則則若若任任給給要要使使得得則則 可可取取qnnnnnnNnqnnqqqqqNqnNqqqqqqlnloglnlim0,1.

11、0,limlim00;ln01,0,ln,0lim0. 證證明明 其其中中證證 若若則則若若任任給給取取則則當(dāng)當(dāng)時時 有有例例3.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設(shè)設(shè)證證nnnnnnnnnmmnnxaNnNxaxaxaxaxaaxaxaam0,lim,lim.,.,lim 任任給給使使得得當(dāng)當(dāng)時時 恒恒有有 故故同同理理 對對于于給給定定的的Z Z注意：注意：1.,;2.,;nnxaxaNnNn 不不等等式式取取值值的的任任意意性性刻刻劃劃了了與與 的的無無限限接接近近與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 有有關(guān)關(guān) 而而刻刻劃劃了了 的的無無限限增增大大3. 改變或去掉數(shù)

12、列的有限項改變或去掉數(shù)列的有限項, 不影響數(shù)不影響數(shù)列的收斂性和極限列的收斂性和極限. 重排不改變數(shù)列斂重排不改變數(shù)列斂散性散性. * * 數(shù)列發(fā)散的表述數(shù)列發(fā)散的表述用邏輯符號用邏輯符號: : nnnnnnxxaNnNxaxNnNxaa00000000(1)lim0,;(2),0,. 數(shù)數(shù)列列發(fā)發(fā)散散有有數(shù)數(shù)列列發(fā)發(fā)散散有有Z ZZ Znnnnxxa114( 1).( 1) 例例 證證明明數(shù)數(shù)列列是是發(fā)發(fā)散散的的數(shù)數(shù)列列不不以以任任何何實實數(shù)數(shù) 為為極極限限三三. 數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性定義定義: 對數(shù)列對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然

13、數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件注意：有界性是數(shù)列收斂的必

14、要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .2.唯一性唯一性定理定理2 2 收斂的數(shù)列極限唯一。收斂的數(shù)列極限唯一。 112212lim,lim,0,;,;max,()()2.nnnnnnnnnnxaxbNnNxaNnNxbNNNnN abxbxaxbxaab 證證 設(shè)設(shè)又又由由定定義義有有有有取取上上式式僅僅當(dāng)當(dāng)時時才才能能成成立立 定理定理2 2 收斂的數(shù)列極限唯一。收斂的數(shù)列極限唯一。證證 法二法二,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè) 112212,0,2lim0,2lim0,2max,22,nnnnnnnnnnabababxaNnNxaabxaxbNnNxbabxba

15、babnNNNxxab 0 000000 000000 0假假設(shè)設(shè)不不妨妨設(shè)設(shè)則則可可取取對對于于對對矛矛盾盾！ 于于則則當(dāng)當(dāng)時時 應(yīng)應(yīng)有有同同時時成成立立. .3#.子數(shù)列的收斂性子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子列）的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的一個數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項在原數(shù)列這些項在原數(shù)列保持保持中任意抽取無限多項并中任意抽取無限多項并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx ,.kkknnnnkkxxkxxnnk 在在子子數(shù)數(shù)列列中中 一一般般項項是是第第項項而而在在原原數(shù)數(shù)列列中中卻卻是是第第項項 顯

16、顯然然注意：注意：例如，例如，定理定理3 3 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂，且極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂，且極限相同。相同。證明從略。證明從略。其實這個結(jié)論就是其實這個結(jié)論就是 從一般到特殊的必然。從一般到特殊的必然。例例4.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證 nx的的不不同同的的子子列列極極限限值值不不相相等等. .小結(jié)小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其取值規(guī)律，變化趨勢。研究其取值規(guī)律，變化趨勢。數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義; ;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性. .2

17、222222222225.lim1.1,.()0,nnannanannnaaannnnanaN 例例 求求證證分分析析只只要要證證明明 任任給給我我們們可可取取則則22222222222220.0,1,()lim1.naaNnanannNnnaaanannannan 證證明明 不不妨妨設(shè)設(shè)取取則則當(dāng)當(dāng)時時即即nnanannnanaannN222211lim1.,. 求求證證分分析析 只只要要的的取取值值顯顯然然只只要要二二合合適適夠夠用用即即可可法法nnnnQaan1:0,lim?lim? nnnnnnnnnnaaahahahnhnaaanaaannaNnNaa6.lim1.(1)1,1,0.

18、(1)11(1),11.0,111,1,1,lim1. 例例 求求證證證證明明 記記則則由由得得 要要只只要要或或取取則則當(dāng)當(dāng)時時即即適當(dāng)放大適當(dāng)放大例例7 求數(shù)列求數(shù)列 的極限。的極限。分析分析nn nnnnnnnnnnnnnnanh hnnhnhC hC hahnnNannn22222221,0(1)111,2111,12201,11222,1,11 記 要使得 即只要故可取 nnnnnnnnnnnnnnnnnNanh hnnhnhC hC hahannanNnnN2222221,0(1)111,22111,0111222011111.20,1,21lim 證證明明 記記 nnnnnnnn

19、nnnNnNnnnnnnnnnnN211211122221,040,011112241,2221 法法二二 練習(xí)題練習(xí)題3. , |limlimaaaannnn 反之是否成立反之是否成立?nnExnNnNnnnnnnnnnnn313.1(2).lim;2120,313.21231311,2122(21)41111,1,.44,.4 分分析析 要要找找使使當(dāng)當(dāng)時時有有只只要要即即可可當(dāng)當(dāng)然然即即也也可可也也nnnnnExnNnNnnnnnnn nn nnnn!.1(3).lim0 ;0,!0.!1 2(1)1,11,. 分分析析 要要找找使使當(dāng)當(dāng)時時有有只只要要即即可可也也 nnnnnmnmmmmaExnaannaNnNnnaammamaaaaaaanmnmmnaanmnm11|.1(4).lim0 .!1|1,0,0,!11,0;!|1,|,|1,|0!1!|1|,.!1 2| 求求證證 證證明明 當(dāng)當(dāng)時時可可取取有有當(dāng)當(dāng)時時 記記則則所所以以只只要要使使得得成成立立即即可可1111