工程測量誤差測量理論例習(xí)題和習(xí)題(專題復(fù)習(xí))

1、測量誤差理論一、中誤差估值（也稱中誤差）： nmDD= i（i=1，2，n） （6-8）【例】 設(shè)有兩組同精度觀測值，其真誤差分別為：第一組 -3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二組 +1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試比較這兩組觀測值的精度，即求中誤差。解：由于m1m2，可見第一組觀測值的精度比第二組高。同時，通過第二組觀測誤差的分布情況可看出其誤差值的波動幅度較大，因而也可判斷出第二組觀測值的穩(wěn)定性較差，則精度較低。另外，由以上分析可知，中誤差僅代表了一組觀測值的精度，并不表示某個觀測值的真誤差。二、相對誤差：觀測值中誤差m的絕對值與相應(yīng)觀測值S相比，并化為分子為

2、1、分母為整數(shù)的形式，即 （6-10） 三、誤差傳播定律【例】 丈量某段斜距S= m，斜距的豎角，斜距和豎角的中誤差分別為、，求斜距對應(yīng)的平距D及其中誤差。解：平距 由于是一個非線性函數(shù)，所以，對等式兩邊取全微分，化成線性函數(shù)，并用“”代替“d”得 再根據(jù)（6-29）式，可以直接寫出平距方差計算公式，并求出平距方差值因此，平距的中誤差為：mD=5 cm。則最終平距可表示為：D= m。應(yīng)用誤差傳播定律時，由于參與計算的觀測值的類型不同，則計算單位也可能不同，如角度單位和長度單位，所以，應(yīng)注意各項單位要統(tǒng)一。例如，上例中的角值需要化為弧度。綜上所述，應(yīng)用誤差傳播定律求任意函數(shù)中誤差的步驟如下：列獨

3、立觀測值函數(shù)式對函數(shù)式進行全微分寫出中誤差關(guān)系式應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)特別注意兩點：正確列出函數(shù)式；函數(shù)式中的各個觀測值必須是獨立觀測值。【例】 用長度為l=30 m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差m=5 mm，求全長D及其中誤差mD。 解：列獨立觀測值函數(shù)式 對函數(shù)式進行全微分 寫出中誤差關(guān)系式 則，全長的中誤差為 mD = 如果采用下面方法計算該題，考慮錯誤之處：先列出函數(shù)式D=10l，寫出全長D的中誤差關(guān)系式并計算中誤差mD=10m=105=50mm。答案錯誤，原因在于錯誤地列出了函數(shù)式。【例】設(shè)有函數(shù)式Z=y1+2y2+1，而y1=3x，y2=2x+2，已知x的中誤差為mx，求Z的

4、中誤差。 解：若直接利用式（6-16）和（6-23）計算，則 函數(shù)Z的中誤差 上面答案是錯誤的！這是因為y1和y2均是x的函數(shù)，它們不是互相獨立的觀測值，因此，不能直接應(yīng)用誤差傳播定律進行計算。正確的做法是先將y1和y2代入函數(shù)式Z，合并同類項后即為獨立觀測值，再應(yīng)用誤差傳播定律，即 【例】 對某段距離進行了5次等精度觀測，觀測結(jié)果列于表6-3，試計算該段距離的最或然值及其中誤差。計算見表6-3。表63 利用觀測值的改正數(shù)計算觀測值中誤差序號觀測值 L（m）改正數(shù)V（cm）VV（cm）精度評定1-39最或是值： m觀測值中誤差： cm最或是值中誤差： cm觀測成果：x= m2+393004-1

5、15+11L=V=0VV=20四、加權(quán)平均值及其中誤差【例】 已知觀測值分別為L1、L2、L3，其中誤差分別為m1=1、m2=2、m3=3,則它們的權(quán)分別為：取=1時， 取=4時， 取=36時，【例】 水準測量中按測站數(shù)和水準測量距離定權(quán)。設(shè)在A、B兩點間進行水準測量，共設(shè)置了n個測站，各測站的高差分別為h1、h2、hn，則A、B點間的高差hAB為 hAB=h1+h2+hn （6-38）若每個測站的高差中誤差為m站，則根據(jù)誤差傳播定律可得hAB的中誤差為 （6-39）若設(shè)每測站的水準距離相等，均為s，則A、B間的水準測量距離SAB=ns，由式（6-39）可得hAB的中誤差 （6-40）設(shè)，則式

6、（6-40）變?yōu)椤．擲AB=1 km時，=m公里=，可見為每公里水準測量高差的中誤差。因此，式（6-40）變?yōu)?（6-41）由式（6-39）和（6-41）可得：水準測量高差的中誤差與測站數(shù)的平方根成正比，與距離的平方根成正比。可見，在水準測量中，測站數(shù)越少或距離越短，則觀測高差的精度越高。若取c個測站的觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，根據(jù)權(quán)定義式（6-37）和式（6-39），可得觀測高差hAB的權(quán)為 （6-42）若取c公里觀測高差的中誤差為單位權(quán)中誤差m公里，根據(jù)定義權(quán)公式（6-37）和式（6-41），可得觀測高差hAB的權(quán)為 （6-43）由（6-42）和（6-43）式可知：水準測量高差的權(quán)與測

7、站數(shù)成反比，與水準路線的長度成反比。所以，通過測站數(shù)和水準測量距離就可以確定觀測高差的權(quán)，而不需要利用中誤差來定權(quán)?！纠?在相同的觀測條件下，對某一未知量分別用不同的次數(shù)n1、n2、nn進行n批觀測，得相應(yīng)的算術(shù)平均值為L1、L2、Ln，求 L1、L2 、Ln的權(quán)。解：設(shè)各觀測值的中誤差分別為m1、m2、mn，且觀測一次的中誤差均為m，則因此，相應(yīng)的權(quán)為，再令，則，若取c=1，則 （6-44）可見，在相同的觀測條件下，算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比（或相等）。設(shè)n個不等精度觀測值L1、L2、Ln，相應(yīng)的權(quán)分別為P1、P2、Pn，則最或然值（稱為加權(quán)平均值）為 （6-45）可以看出，當各觀測值

8、為等精度時，則權(quán)P1=P2=Pn=1，上式就與算術(shù)平均值計算式（6-31）相同。下面根據(jù)式（6-45）推算加權(quán)平均值的中誤差。設(shè)觀測值L1、L2、Ln的中誤差分別為m1、m2、mn，則根據(jù)誤差傳播定律可得加權(quán)平均值的中誤差為 （6-46）由權(quán)定義式（6-37），有公式要規(guī)范！，代入式（6-46）可得 （6-47）實際計算時，上式中的單位權(quán)中誤差m可用觀測值的改正數(shù)來計算，其計算公式為 （6-48）將式（6-48）代入式（6-47），可得加權(quán)平均值的中誤差計算公式 （6-50）【例】 如圖6-3所示，從已知水準點A、B、C經(jīng)三條水準路線，測得E點的觀測高程Hi及水準路線長度Si（見表6-4），求

9、E點的加權(quán)平均值及其中誤差。各條水準路線權(quán)： （由式6-43可得）加權(quán)平均值： 加權(quán)平均值中誤差： 則E點高程： HE= （m） 圖6-3 不等精度水準路線表6-4 不等精度高程計算表 觀測路線E點觀測高程Hi (m)觀測路線長度Si (km)觀測高程權(quán)觀測值的改正數(shù) (mm)PVV1102-15311五、思考題習(xí)題：1.觀測條件主要由那些因素構(gòu)成2.觀測誤差分為哪幾類它們各自是怎樣定義的試舉例說明。3.在水準測量中，有下列幾種情況使水準尺讀數(shù)有誤差，試判斷誤差的性質(zhì)及符號：（1）視準軸與水準管軸不平行；（2）儀器下沉；（3）讀數(shù)不準確；（4）水準尺下沉；（5）水準尺傾斜。4.何謂多余觀測測量

10、中為什么要進行多余觀測5.偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律是什么偶然誤差的概率分布曲線能說明哪些問題6.已知兩段距離的長度及其中誤差分別為： m cm及 m cm，試說明這兩段距離的真誤差是否相等它們的相對中誤差是否相等 7.在三角形ABC中，已測出求的值及其中誤差。8兩個等精度觀測角度之和的中誤差為，問每個角的觀測值中誤差是多少9.以相同精度觀測某角5次，觀測值分別為39、39、39、39、39，試計算該角的最或然值及其中誤差。10.丈量兩段直線得 D1=,D2=,其中誤差分別為，求：（1）每段直線的相對中誤差；（2）兩段直線之和的相對中誤差；（3）兩段直線之差的相對中誤差。11.在水準測量中,已知每次讀

11、水準尺的中誤差為,假定視線平均長為50m，容許誤差為中誤差的兩倍，求測段長為Skm的水準路線往返測高差的容許閉合差應(yīng)為多少12.水準測量從點A到點B，如附圖所示。已知A、B點高程分別為。觀測高差及其水準測量距離分別為：求C點的最或然高程及其中誤差。 附圖13.等精度觀測了12個三角形的所有內(nèi)角，求得每個三角形的閉合差見附表，試計算測角中誤差。附表三角形編號123456789101112閉合差( )參考答案： 7. 8910 1112. (m)13. 為真誤差，可得三角形內(nèi)角和的中誤差，則測角中誤差。六、追加練習(xí)：1. 對某基線丈量六次，其結(jié)果為：L，L，L，L，L，L。試求：(1)算術(shù)平均值; (2)每次丈量結(jié)果的中誤差；(3)算術(shù)平均值的中誤差和基線相對誤差。，1/530002. 觀測BM至BM間的高