6.2拉普拉斯方程的分離變量法

1、6.2木節(jié)介紹求解拉普拉斯方程的-類解析方法.稱為分離變帚法。 拉普拉斯方程V2w = O(6-2-1)分離變鼠法的展木思想是將偏微分方程的解表示成分別只跟一個(gè)坐標(biāo)相關(guān)的兒個(gè)函數(shù) 的乘積，將這樣的解代入偏微分方程，通過運(yùn)算和變換，得到兒個(gè)只含一個(gè)坐標(biāo)的常微分方 程，通過解常微分方程得出偏微分方程的解。在苴角坐標(biāo)系中.拉普拉斯方程可表述為d2u d2u d2u c喬+晴+狂二用分離變橫法解方程（6-2-2）,假設(shè)方程的解為u = X（x）Y（y）Z（z）(622)(6-2-3)式中.X（x）, K（y）. Z分別是只含一個(gè)自變鼠的函數(shù)。將式（623）代入方程YZd +ZXd +XK3 f -0(

2、6-2-4)廿dydz(6-2-2),得方程的兩側(cè)同除以XYZ.得1 d2X d2Y 1 d2Z n“、X 加 Y a?2 Z dy2觀察方程（6-2-5）： 每一項(xiàng)只能是常數(shù)。即第一項(xiàng)只跟x有關(guān)，第二項(xiàng)只跟y有關(guān)，第三項(xiàng)只跟z冇關(guān)。因此1 d2Z 1 d2x 1 d2rX a=c, * yW=C2(6-2-6)H滿足c, + c2+c3=Oo因各項(xiàng)只含一個(gè)自變帚.所以偏微分可以換成常微分1 d2X1 d2Y1 d2ZX dx'Y dy2- Z dr3為了簡明扼要地說明問題,這里只討論二維（平行平面場）情況。(6-2-7)在二維情況（函數(shù)不隨Z變化）下，求解式（6-2-7）的前兩個(gè)方程

3、，設(shè)5=1 得1 d2XX dx2Y dy2(6-2-8)(6-2-9)(6-2-10)(6-2-11)(6-2-12)若入為負(fù)值，則可設(shè)一X=k2,得方程方程(29)的解可表述為X = Asin kx + B cos kx方程(6210)的解可表述為/ =Ceb+DeUv若入為正，則可設(shè)入二疋，得方程(6-2-13)等+gF(6-2-14)(6-2-15)(6-2-16)方程(6-2-13)的解可表述為X 二 Ge 虹十 He %方程(6214)的解可衣述為Y = Esin b十尸 cos 好若入為零，則方程退化為方程(217)的解可表述為方程(6-2-18)的解可表述為X=S+TxY=U+

4、Vy(6-2-17)(6-2-18)(6-2-19)(6-2-20)原則上，上述表述形式都是方程的解，所以通解屮應(yīng)該包含所右的項(xiàng)。“(x, y)=(Asnkx-Bcoskx)(Ce"十Deky)十(Ge*'+He%)(Esin燈十尸cosky)+ (S + Tx)(U+Vy)(6-2-21)但解的表達(dá)式屮具體含有哪些項(xiàng)，需耍根據(jù)問題的邊界條件確定。換句話說，就是在 某些邊界條件下解的表述中有些系數(shù)為零，可以簡化.計(jì)算均勻介質(zhì)區(qū)域中電位分布。基本方程：V2/ = 0,邊界條件：u x=0=(/0sin2 u r=O, N 為正整數(shù)。b:W(x, y)根據(jù)方程，解"(x

5、,y)可以包括(6-221)中的所仃項(xiàng)。根據(jù)邊界條件"|_=0, 可以確定解中不含(Asinkv十BcosAx)(CJ'十De-b)和(S十7>)(十Vy)。因此解的表達(dá) 式應(yīng)為w(x, y)=(Get'+/7e "')(Esinky + ? cos ky)因耍滿足邊界條件u v=0 vb6= 0 ,必須有9kb = iiKv 匚 myY = Esin-hn = 1,2,3-.因要滿足邊界條件“|.十=0,需X = Hq將解合并uX(x)Y(y)myFlXX Hne = EnHn sine b bnltx上式中，令Cn=EnHn.通解可寫成邊界

6、條件”"=。血經(jīng)上代入，得UQsinb比枚等式兩邊，町得廠 4 （n = N）Cn=<n o,（心 N） 最后的偏微分方程的解u = UQ sinBAY 2 201011:04:40NOD Al, 5OLUTICWVOLT (AVG| FSYS=0 PetrerGraphiefl irACET-2 AVRES-MAtSMN 二-3?4E075MX -1zvi»M9T-.B2 5527zr=.60157*?=S013609 062444 15N77820833329L667347222 43 OSS 696111569444047222 903778936111圖6-2

7、-1例題中N為1的等值線分布圖計(jì)算均勻介質(zhì)區(qū)域中電位分布?；痉匠蹋篤2/ = 0 >邊界條件："戸o.、“=Ot=o=(/iSin2LLbx=a二 S sin Ml解：根據(jù)方程，解”（兒刃可以包括（6-2-21）中的所有項(xiàng)。根據(jù)邊界條件w|y_OVB/,=0, 可以確定解中不含(Asinkx + Bcosfcv)(Ce+ De )和(S+ Tx)(U+Vy) o“”話sin竺（樣歲+G,尹） n n 匕、Rn令 Ptt = EnHn. Qn = EnGn血 xnKx心=(出e h +gze h )sin b8HX.Y 竺 血” = g(£e h +Qe ”)sin

8、-=i將邊界條件"¥=0胡Sid1 b代入解的表達(dá)式，得Nity 總int ysin7= (+2Jsin bn=ib比較等式兩側(cè)，得U(n = N)(工 N)將邊界條件ux=a :Sin竽代入解的表達(dá)式，得I 一 . oo皿rtXa5譽(yù)客呼比較等式兩側(cè),得tfXaPne+Q/tenKa=i(n = M)(”工 M)卜面分兩種情況討論: 情況1, NM o 當(dāng)n = N時(shí)，有Pn + 2v = 5NKaNKaP、e b +(2ve b =0 聯(lián)立求解，先將前式改寫為NitaN*aiVXaPve h +gve h =i/,e h 減后式，得ArKa A*X<rjVJTa(

9、e b -e b )Qn = Uxq hNKaQn=5Qn =52Nnad-e & )將詢式改寫為jVXajVT aMta£、.e b +Qve b =Uie b 減厲式，得A*X aMt a)PN=UPLMa e b-UINKaNna(e 12 -e h)P宀_52NKu(1-e » )當(dāng)n = M時(shí).有PM 十0 =0MKaMna兒 e +a,e = U2 聯(lián)立求解，先將前式改寫MX aMahe F+q, =0 后式減z,得MKa MX(e-e")2 = U2Af Jta _ A/Jta (e 6 -e b )將前式改寫為AfXaMXae+2A/e =

10、0后式減之，得MKa MKa(e-e)& = U2U2flta MX “ (e h -e h )這種情況下.方程的解為8nX.rrtJtx寸代入系數(shù)AfX*AfJt.vM兀y壬 竺 N“g+缶 b )sin丁+U +加 )sin-心5(l-e b)U2VXaeb -e b )十Q g (eMCx十(l-e &) 匕MKaU2NKaNKxesin 些bMx+(e b -e b )duE=-V«=-ev dx dvNKx岬5 d-e )_5°L2NKad-e) MKa MKa(e b -e b )MKa2.VXaeh)NKx+N兀b (l-e “ ).Mtix

11、U= 一 b 罟 (e b -eI NtiU、NKxMXU2Xna(l-e ")Af X Xr je 匕十MMNKx(e h -e h )efsin 竽"e & sinev TbNitycos evb b y.WXaMKa.Muye h cosevb b情況2, N = M o 當(dāng)打二N時(shí)，有巴 + Q = UNhaNKaP、e h 4-gve h =U2 前式改寫NKaiVt aMiaPve h +Qve b =U& h 減后式，得NKa NKaNKaPv(e b -e b ) =Ue b -U2Zap _ % 丁- 2rNN*a Ma(e “ -e b

12、)將前式改寫為NitaNKaNKaPve b +Qve & =uiQ & 減后式，得jVXci NnaNKa2v(e b -e b ) = qe b 7 2NKaQn =Ufi-U2NKa jVXct(e h -e b )這種情況下.方程的解為竺 氾 Nil y “二(匕e b +QNe b)sm b代入系數(shù)，得55NKajVJta(e 6 -e b )“ esinWhNKa(e b -e b )55ZV =1 DT9T-1.11-lh；3I» noBAY Z 201011:17:31NODAL SOLUTION VOLT (AVG| FSYS=0 PcverGrap

13、hies mCET-l AVRES-NatS74S-07SHX -10ZT778C8333313W89194444<31656747222252777B0005556P86L111R -.972222圖622例題中N和都為l的等值線圖本題中特例，6=0的情況。55代入，得2MCw=l e(l-e)竽+ 5基e寧sin罟(1-e & )2NKa559E=-Vw=-dudlla7eAM3YSax« ae zoio0<il6i35WCM 3OLDTTOTVOLT |AVO|ET&CET-2AVPIS-KatXKN 874EQ7SK2 -Lrv -1»D

14、I5T*.S5XF =.S3B3*> »rr .qQOD詡(M ".13,9 27as9199圖623例題圖計(jì)算均勻介質(zhì)區(qū)域中電位分布。羞本方程：V2w = 0 ,邊界條件:心。=(1-丄口十上匕，“|"=(1-上必+上6 ,“l(fā)z=(l-,a aa ab b"|“(1一訃/+訃。根據(jù)邊界條件，通解中只能含(S + Tx)(U + Vy)項(xiàng)。即通解為"(x，刃二 £(S” 十 7； a)(/ + Vny)n=l論,)=(1)(1一+)匕+上(1一+)5+耳4+(1-上)卩4a b a b a ba b滿足邊界條件電場強(qiáng)度：=丄(

15、1一丄(I -訓(xùn)廠丄沁十耳/啟a b a b a b a b+l|(l-)(/,b a baobab a驗(yàn)證：皈數(shù)所包含項(xiàng)為1,小八xv，得V2m=O.邊界條件滿足.解惟一。AKST3 5.6 MAY Zfi 2010 23:29:46NOD1X SOLQTI'DNVOLT (1VG) Porw*rCraphics 2fiCZl-2 AVW3=t!ac3 EM -1 srx =ZV =1*DIST-1.739XT -1.5呂呂圖 6-2-ANSY3 5.6 XAY 29 2010 22:30:26 VECTOirATOPM00I-27 xm= 1 002 XAX-.102ZV -1*U

16、I8T=1.739xr isYF iTtOTV«C1= 6圖 6-2-在関柱坐標(biāo)系卜，拉普拉斯方程表述為12(廠叫+A巴十咚=0rdr dr r da'(6-2-22)根據(jù)分離變量的原則,設(shè)w = /?(r)0(a)Z (z)(6-2-23)代入方程,得YT -11 320da'(6-2-24)(6-2-25)(6-2-26)(6-2-27)(6-2-28)(6-2-29)(6-2-30)(6-2-31)(6-2-32)(6-2-33)zl2()+ z/?丄T+R些=0rdr 0r r2 da2 dz2為r簡化，只討論二維情況（兩數(shù)不隨z變化） 方程兩側(cè)同除以RZ丄2

17、（趙）+亠孝“ rR dr dr 廣 dor方程兩側(cè)同乘以尸r d / dR 1 09 八 (r) +=0 R dr 丹 3or可以看出，第-項(xiàng)只跟有/關(guān)，第二項(xiàng)只跟a有關(guān)。因此肓r d / dR1 d20(r ) = cP = G Rdr dr" da且滿足Cj + c2 =0 o二2(止)Rdr dr將（6-2-28）展開，得2 d2Rr dF+-kR = O將（6-2-29）展開，得吧+M)=0 dor方程（&231）的解.表述為AcosVFa + Bsin Jlia, （k > 0） =« A + Ba,伙=0）Ae壓+阿阿，伙>o）由柱坐標(biāo)系中

18、a坐標(biāo)的特殊性，有隱含條件a)(a + 2n)=(a)考慮到上述周期性，設(shè)k=n2A cos/a+ 5 sin na, (n 工 0).人(n = 0)(6-2-34)k=n2代入方程(Q23O)得d2Rdr2+ r -/r/? = 0做-個(gè)變彊替換則p = lnrd _ d d|l _ 1 ddr dp dr r d|id2 _ d 1 d dg_l 1 d2 1 1 ddr2 d|i r d|i dr r r d|i2 r2 r dp方程(6-2-35)轉(zhuǎn)換為4-7?2/? = 0d方(6-2-40)程的解農(nóng)述為門Ce中十 De一呼=Crn + Drn,(“ 工 0)A = <C+D

19、pi = C+Dln r,(n = 0)綜介解的各種情況，得(6-2-35)(6-2-36)(6-2-37)(6-2-38)(6-2-39)(6-2-40)(6-2-41)88u = C() + Do Inr + rn(4, cosna 十 Bft sin na) + g r "(Q cosa 十 Dn sin na) nslns)(6-2-42) 方程中的系數(shù)根據(jù)問題的邊界條件確定.在均勻電場中垂肖J電場方向放置一半徑為a的無限長関柱導(dǎo)體，求導(dǎo)體周闈的 電場。設(shè)均勻電場沿a = 0的方向，數(shù)值為根據(jù)題意，邊界條件為也=0訕一 =-E0rcosa在方程通解中代入邊界條件二一應(yīng)/cos

20、a,得-E0rcos a = q 十 Qin 廠 + £ rn(An cos na + 代 sin na)”=!00+ E(C”c osna + D sinna)W=18在roo情況下，廠“tO,rn(Cncosm + Dn sin /a)0.這一項(xiàng)可不用考慮,對比等式兩側(cè)，可知A = -£o其余系數(shù)C°、D。、&(> 1)和Bn(n>0)為零'代入邊界條件u|=0,得0 = C。十 q lna + Ea"(A” cosna 4- B/; sin /a) +n (Cn cos /a 4- Z), sin na)n=ln=l將前

21、面邊界條件多的結(jié)論代入，得0 = aA + E f/"n(Czj cos /a + Dn sin /a) n=l對比等式兩側(cè)，可知aAx + 丄 C = 0 a解得C 嚴(yán) HE。其余系數(shù)C”> 1)和Dn(n > 0)為寒.所以方程的解為u = -Enr cos a+a2EQ cos aMNANSYS $6 MAY 28 2010 09:48:04MODAL SOLUTION VOLT (AVGI PowerGraphics CTACCT=1 AVRES=MatSMN 4.9圖6-2-4導(dǎo)體圜柱附近電位 進(jìn)一步，電場強(qiáng)度解為廠dll1 duE =dr- r3a=ocosa

22、+a%lcosa)er -(耳)sina-aE( Asin a)ef(=E° +a2E0cosaer +a2E0sna£aW* A* ANSYS S6 MAY 28 2010 09:49:02VECTORNODE=81 MIN-0 MAX=20 .117647 196073 .27451|352941I1 43137354902 .627451| .705882 .784314:941176|11.059I1 1.1371.216 1.294I1 1.373I11.4511.569| 二| 1.647 |11.7251.904I_I 1.882圖6-2-5導(dǎo)體関柱附近電場A

23、NSYS 56MAY 28 201009:50:16VECTORATOPNQDB=81.196078 .27461 .352941 .431373 54902 .627451 .705BB2 .784314 862745 .941176 1.059 1.137 1.216 1.294 1.373 1.4S1 1.569 l.«47 1.725 1.604 1.8822圖6-2-6導(dǎo)體圓柱附近電場放大ANSYS 5.6 MAY 28 201009:S6:.VICTOR A TOP NODE=$4 MINs.02r<AX-l円冒.02 .077647 .116073.15451.1

24、92941 23137328902 .327451365882 .404314442745 .481177538824.577255615686 654118 .692549 .73098押62« .27059.86S49 903922.942353圖6-2-7導(dǎo)體圓柱上電荷產(chǎn)生的電場在均勻電場屮垂直J電場方向放置一半徑為d的無限長関柱介質(zhì)，相對介電常數(shù) 為求圓柱介質(zhì)內(nèi)外電場。設(shè)均勻電場沿a = 0的方向，數(shù)值為根據(jù)題意，邊界條件為d心 |df/ |"一。=-EQr cos a在方程通解中代入邊界條件二一厶/cosa,得oo-E0rcos a = C0 + D()lnr +

25、 £r;,(Aw cos na+ B” sin m)/r=l00 十甘(Qc os na + Dn sinna) /!=18在廠t 8情況下，廠"一> 0, E r" (Cn cos no.十Dn sin na) t 0,這一項(xiàng)可不用考慮,對比等式兩側(cè)，可知A=_E°其余系數(shù)C。、2、和恥>0)為零< 此處的&和B”是叫中的系數(shù)。在電介質(zhì)圓柱Z外，方程的解表述為8uo =-E(/cosa 十cosna+q sin net)nsl在電介質(zhì)圓柱內(nèi)，因含廠=0的點(diǎn)，解中不應(yīng)含負(fù)耶次項(xiàng)和對數(shù)項(xiàng)。所以00ui = C()十匸廠"

26、(代 cos “a 十 B” sinna)此處&和耳是氣中的系數(shù)。代入邊界條件叫爲(wèi)=譏,有88-Eoacos a + an (Cn cos na + Dn sin na) = Co + on(An cos na + sin na)n«ln«l對比兩側(cè)各項(xiàng)系數(shù)，得q = 0 , aAx = -ciEq + ,aanAn =anCn, (/ > 1 )anBn =(T”D (n>0 )nn代入邊界條件普譽(yù)|口，有oooo-Eo cos a - nanl( Cn cosna + £> sin/?a) = cos“a 十耳 sinna)n !/v

27、l對比兩側(cè)各項(xiàng)得zrnanl& = -na'nlCn, (/: > 1 )ernanlBn = -na' Dn, (/i>0)解得(n > 1)和Bn(n > 0)為零。只剩卜方程aA - -ciEq + 聯(lián)立求解，將前一個(gè)方和轉(zhuǎn)做為 erA, =-erE0+er-Q-與后一個(gè)方程相減，得-Efo + ef-+Eo=00 0- 解得綜合所有邊界條件，得電位1 £ _ ° 1uo = -EQr cos a + C, - cos a = -£or cos a + a2E0-cosa , ( r >n )u = Ar

28、cosa = -f0rcosa , ( r> a )£+1電場強(qiáng)度E =-Vm =一也°° dr£1=1 £ _= =(E()cosa + a2E( cosa)er -(Eosina-a2EQ sina)ea- '一e;十 1 rE 1> r. 1.sina£ar da a耳十1=& + a2EQcoscte r +S + l r2er+l電介質(zhì)惻林外部的電場由兩部分組成。第一部分是原來的均勻場，第二部分相當(dāng)在 軸上放置一條無限長線偶極子產(chǎn)生的電場。線偶極子偶極矩的線密度2電介質(zhì)圓柱內(nèi)部電場強(qiáng)度為常數(shù)與原均

29、勻場方句一致，數(shù)值為原來的倍。當(dāng) 5+1E,. Too時(shí)，內(nèi)部電場強(qiáng)度為零，對外等效為導(dǎo)體。這時(shí)E° = Eo + ci2E()-cosaer 遲丄 sina%廠廣對比導(dǎo)體圓柱情況，兩種方法所得結(jié)果相同。V W = r2 drdr+2 (sin 8 也)+ J ,廠 sinG 3030 廠 siir 9da(6-2-43)在球處標(biāo)系下拉泮拉斯方程表述為根據(jù)分離變橫原則，設(shè)方程的解為(6-2-44)代入方程00 r2 drdrJ(sin0)+ R0、° ? = 0 廠 sin 0 3030廠 siir 0 dor(6245)方程兩側(cè)同除以他0,得1 onr2R dr+ J(s

30、in 9 )十吧=0廠 sin 00 3036 廣 siir dor(6246)為了討論簡便.只考慮軸對稱情況，即"不隨a變化的情況。去掉方程(6-2-46)中的 最后一項(xiàng)，得+丄?/sin003O=0(6-2-47)丄2( 2竺R dr dr式中，第一項(xiàng)只與r仃關(guān)，設(shè)丄當(dāng),ORR drdr(6-2-48)(6-2-49)n(n +l) = -(n + l)(-(n+l) + l) = n(n + l) = (6-2-59)n(n +l) = -(n + l)(-(n+l) + l) = n(n + l) = (6-2-59)進(jìn)一步，將方程(6248)改寫為常微分方程.并展開得方稈(

31、6-2-51)解的形式為代入方程并比較系數(shù),得d j d/? 喬r d7-kR = O(6-2-50)2彈十2迪-godr2 drR = Arn± n(n) = k將式(6-2-53)代入方程(6-2-49),得±(sin9)+n(n + l)sin6e = 0做一個(gè)變最替換，設(shè)g=cose 得2=2也d0 _dg d0=-sin0(6-2-51)(6-2-52)(6-2-53)(6-2-54)(6-2-55)n(n +l) = -(n + l)(-(n+l) + l) = n(n + l) = (6-2-59)n(n +l) = -(n + l)(-(n+l) + l)

32、= n(n + l) = (6-2-59)代入方程(6254)-Jl-p，f)+n(n + 1)J1-) = 0dpdp整理，得+/K/?+i)0=o dp(6-2-56)n(n +l) = -(n + l)(-(n+l) + l) = n(n + l) = (6-2-59)n(n +l) = -(n + l)(-(n+l) + l) = n(n + l) = (6-2-59)方程(6256)稱為勒讓徳方程，其解為勒讓徳函數(shù)(6-2-57)0 = P (cos6)對同一個(gè)R, M的另一種取法為/ °若(6-2-58)/'=-(« + !)n(n +l) = -(n

33、+ l)(-(n+l) + l) = n(n + l) = (6-2-59)因此,勒讓德函數(shù)有以下性質(zhì)P(/I+I)(cos 0) = /(cose)(6-2-60)代入方程的解.得“”=（如"+芻）代（心9）(6-2-61)對應(yīng)不同的，勒讓徳函數(shù)的計(jì)算公式如下dn恥趾*舟扁（曲刊”(6262)勒讓德函數(shù)前6項(xiàng)列出如 化(COS0) = 1斥(cos 0) = cos 63、只(cos0) = cos2 0- 2 253P、(cos 0) = cos3 0 cos2 02 23515o3(cos9) = cos4 G-cos2 0+ 84863355只(cos 0) = cos5 0

34、cos3 8+cos 9848考慮到方程的全部解.得(6-2-63)勒讓德函數(shù)還具有正交特性J iPn(cos0)P,(cos0)dcos 0= * 2/ + 12(/? = in)(6-2-64)0.(/?工 in)拉腔拉斯方程解中的系數(shù)，宙八體問題的邊界條件確定。在均勻電場中放置一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，計(jì)算導(dǎo)體球附近的電場。在導(dǎo)體球屮心建立球坐標(biāo)系極軸指向原來電場方向，原均勻場的電場強(qiáng)度為厶。邊界條件為wl =0I r=a“|p8=_E()Z = _QcosB方程的解為"述(A/+ 丄比(cos B)n=Or將邊界條件u“8 = -EOZ = -E.r cos 8代入解 當(dāng)r -&

35、gt;oo ,有丄？t0,得8-Eor cos 0 = £ &/ £ (cos 0)在(-11)之間將等式兩側(cè)乘以化(cosB)對cos3做積分，確定系數(shù)A = £其他系數(shù)A)和A,(n> 1)為零。將邊界條件ur=a = 0代入0 = £(以”得比(cos®加。a確定系數(shù)的方法是在(-1,1)之間將等式兩側(cè)乘以C.(cos9)對cosB做積分。遼:( Aa +2比(cos B比” (cos 0)dcos 0 n=O -a根據(jù)勒讓徳函數(shù)的正交性質(zhì).有0W+角)22/1 + 1Brl=-Anaa =-a2An代入前而邊界條件得出的結(jié)

36、論人二一仇，得因此，方程的解U - -Eor( - t)cos 0ANSYS $6 HAY 28 2010 10:21:41MODAL SOLUTION VOLT (AVGI PowerGraphics EFACCT=1AVRES=f4atSMN 7.984 SMX »7.9847.828-7.20£-6.57S6.8887.828圖6-2-8導(dǎo)體球附近電位電場強(qiáng)度解為匚r2d、八E= -=E0(i +)cos 0 drr1 dua ANSYS $.6 MAY 28 2010 10:22:36 VECTORNODE=122MIN-0MAX=3Ml 0176471 |1.294118411765.529412|1 64*7059 823529941176I