第四章持續(xù)期與凸性(固定收益證券北大)

1、第四章持續(xù)期與凸性(固定收益證券北大) 第四章第四章 持續(xù)期與凸性持續(xù)期與凸性 第一節(jié)第一節(jié) 持續(xù)期持續(xù)期 第二節(jié)第二節(jié) 凸性凸性 第三節(jié)第三節(jié) 持續(xù)期與凸性的應(yīng)用持續(xù)期與凸性的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 持續(xù)期持續(xù)期 利率與債券價格的關(guān)系利率與債券價格的關(guān)系 基點價值（基點價值（Price Value of a Basis Point） 價格波動的收益率價值（價格波動的收益率價值（Yield Value of a Price Change） 金額持續(xù)期金額持續(xù)期 Macaulay 持續(xù)期持續(xù)期 修正持續(xù)期修正持續(xù)期 有效持續(xù)期有效持續(xù)期 關(guān)鍵利率持續(xù)期關(guān)鍵利率持續(xù)期 組合持續(xù)期組合持續(xù)期 利率與債券

2、價格的關(guān)系利率與債券價格的關(guān)系基點價值基點價值（Price Value of a Basis Point）定義：基點價值是要求的到期收益率變動一個定義：基點價值是要求的到期收益率變動一個基點所對應(yīng)的債券價格的變化額?；c所對應(yīng)的債券價格的變化額。 例例4-1：期限：期限5年，票面利率年，票面利率9%（半年支付），（半年支付），價格為價格為100。求該債券的基點價值。求該債券的基點價值?；c價值基點價值（Price Value of a Basis Point） 目前的到期收益率為9%。到期收益率增加1個基點，為9.01% ,債券新的價格 基點價值 = $100 - $99.9604 = $0.

3、03969604.9904505. 15 .104)505. 41 (5 . 410101ttP價格波動的收益率價值價格波動的收益率價值（Yield Value of a Price Change）定義：價格波動的收益率價值，是指債券價格發(fā)生一定義：價格波動的收益率價值，是指債券價格發(fā)生一定金額變化（通常是定金額變化（通常是1/32 of $1）所對應(yīng)的到期收益率）所對應(yīng)的到期收益率變化的幅度。變化的幅度。 例例4-2：期限：期限5年，票面利率年，票面利率9%（半年支付），（半年支付）， 收益率收益率為為9% (b.e.b.)，對應(yīng)價格為，對應(yīng)價格為$100。價格波動的收益率價值價格波動的收益

4、率價值 = 9% - 8.992% = 0.008%,%992. 8)2/1 (5 .104)2/1 (5 . 432110010101yyytt影響價格影響價格-利率敏感性的主要因素利率敏感性的主要因素 償還期 票面利率 利率水平 例4-3： 4個債券，每個債券的到期收益率為9% (b.e.b)，半年支付。價格分別為$100、$100、$84.175、 $63.1968。 例4-3new yld BP change 9% 5yr 9% 20yr 5% 5yr 5% 20yr 6 -30012.8 34.6713.73 39.95 8 -1004.06 9.94.35 11.26 8.9 -1

5、00.4 0.930.42 1.05 9.01 1 -0.04 -0.092 -0.042 -0.14 9.5 50 -1.95 -4.44 -2.09-5.01 10 100 -3.86 -8.58 -4.13-9.64 12 300-11 -22.6 -11.9-25.1例例 4-3-30-20-1001020304012345679% 5yr9% 20yr5% 5yr5% 20yr持續(xù)期持續(xù)期 持續(xù)期包含了關(guān)于債券到期收益率、票面利率和到期時間的信息。 持續(xù)期是債券或者是債券組合在一個時點上的特征，持續(xù)期與時俱進。 持續(xù)期是大多數(shù)避險策略中的重要內(nèi)容。金額持續(xù)期金額持續(xù)期tnttttnt

6、ttttnttdyyCtdPyCdCP1111)1 ()1 (金額持續(xù)期金額持續(xù)期 如果到期收益曲線是水平的，并且平行移動dyyCtrdyyCtdPyCPntttntttnttt1111)1(11)1()1(金額持續(xù)期金額持續(xù)期 定義：金額持續(xù)期是市場利率變化1個百分點（100個基點）導(dǎo)致債券價格變化的金額。 經(jīng)濟含義)()1 (11tntntttdollarCVtyCt金額持續(xù)期金額持續(xù)期 例4-4: 20年債券, 面值100, 票面利率10%, 1年支付.term yield% discount fct PV t(PV)0 11 8.50560.9216 9.21619.21612 8.6

7、7530.8467 8.467216.93433 8.83770.7756 7.756423.26934 8.99270.7086 7.086228.34465 9.14040.6458 6.457632.28816 9.28070.5871 5.871435.22827 9.41360.5327 5.327237.29068 9.53910.4824 4.824438.59559 9.6570.4362 4.361939.256810 9.76750.3938 3.937939.378811 9.87050.3551 3.550739.057212 9.96590.3198 3.202X38

8、.378213 10.05370.2878 2.878337.418214 10.1340.2589 2.588836.243315 10.20670.2327 2.327434.911716 10.27180.2092 2.092033.472517 10.32920.1880 1.880531.967718 10.3790.1691 1.690630.431019 10.42120.1521 1.520628.890620 10.45570.1368 15.0532301.0648total 100.0866911.63金額持續(xù)期 911.63Macaulay(比率比率) 持續(xù)期持續(xù)期dy

9、DyPdPPyCtDyCtdydPyCPntttntttnttt11)1 ()1 ()1 (1111Macaulay 持續(xù)期持續(xù)期 經(jīng)濟含義(倍數(shù)而不是期限)dyDyPdPPyCtDyCtdydPyCPntttntttnttt2/11)2/1(2)2/1(2)2/1(1111例 4-5 period cash flow PV$14.5% PV t(PV) 1 3 0.9569 2.8712.871 2 3 0.9157 2.7475.494 3 3 0.8763 2.6297.887 4 3 0.8386 2.56110.063 5 3 0.8025 2.40712.037 6 3 0.767

10、9 2.30413.822 7 3 0.7348 2.20415.431 8 3 0.7032 2.10916.876 9 3 0.6729 2.01918.168 10 103 0.6439 66.325663.246 Price 88.131 765.895 金額持續(xù)期=765.9, meaning? Macaulay 持續(xù)期 = 765.895/88.13= 8.69(半年) = 4.35 years? 含義 4.35 倍修正持續(xù)期修正持續(xù)期 含義?dyDPdPsemiannualyDDannualyDDMMM)(2/1)(1有效持續(xù)期有效持續(xù)期 例4-6： 票面利率為9%，期限 20

11、的非含權(quán)債券，價格 134.67，到期收益率6%。讓到期收益率上升或下降 20 個基點，債券價格將分別為 137.59 和131.84，因此PyPPPyyPPDeffective2/66.1067.134002. 0284.13159.1372PyPPDeffective有效持續(xù)期有效持續(xù)期 有效持續(xù)期存在的意義 有些證券的現(xiàn)金流量是不確定 (例如MBS)，而持續(xù)期的定義是債券價格相對于市場利率的敏感性。由于現(xiàn)金流量不確定，因此無法使用標準的持續(xù)期公式。債券持續(xù)期的特征債券持續(xù)期的特征 分析的都是無權(quán)債券 附息債券的持續(xù)期小于期限本身 票面利率越高，持續(xù)期越短 零息債券的持續(xù)期等于期限本身（比

12、率,Macaulay） 市場收益率上升，持續(xù)期下降利用持續(xù)期估計債券價格變化 例 4-7： 20 年， 5%票面利率(半年支付），到期收益率9% (b.e.b.)， P=63.1968，D = 10.87年, DM = 10.87/(1.045) = 10.40 如果到期收益率從9%增加到9.10%，預(yù)測價格會這樣變化 -10.40(.0010) = -1.04% 實際價格變化-1.03% 如果到期收益率從9%增加到11%，預(yù)測價格會這樣變化 -10.40(.020) = -20.80% 實際價格變化 -17.94%一般性結(jié)論一般性結(jié)論 在市場利率變化較小時，持續(xù)期可以相在市場利率變化較小時，

13、持續(xù)期可以相對準確地估計債券價格的變化。對準確地估計債券價格的變化。 持續(xù)期的圖形解釋持續(xù)期的圖形解釋傳統(tǒng)持續(xù)期指標的缺陷傳統(tǒng)持續(xù)期指標的缺陷 假定水平的到期收益曲線并且平行移動 到期收益曲線變化的種類 水平移動 85% 的國債收益曲線變動 收益曲線變陡 5%的國債收益曲線變動 蝴蝶狀變化 3-4%的國債收益曲線變動 債券被認為是非含權(quán)的關(guān)于持續(xù)期的一般方法關(guān)于持續(xù)期的一般方法 持續(xù)期的一般方法是指考慮到多種因素發(fā)生變化后，債券價格變化的總量。用線性數(shù)學模型表示為:nnffPffPffPPPdP22111關(guān)鍵利率持續(xù)期關(guān)鍵利率持續(xù)期(202X by Thomas Ho)(202X by Tho

14、mas Ho) 利率持續(xù)期（利率持續(xù)期（rate duration)：即期利率的一定幅度變：即期利率的一定幅度變化導(dǎo)致債券價格變化的金額?；瘜?dǎo)致債券價格變化的金額。 對應(yīng)即期利率曲線上的每一點都存在一個即期利率持續(xù)期 如果全部即期利率都變化相同的基點，那么債券價格變化的總金額就是持續(xù)期。 關(guān)鍵利率持續(xù)期：關(guān)鍵即期利率的一定幅度的變化所關(guān)鍵利率持續(xù)期：關(guān)鍵即期利率的一定幅度的變化所產(chǎn)生的債券價格的變化。產(chǎn)生的債券價格的變化。 11 個關(guān)鍵利率：個關(guān)鍵利率： 3 個月個月, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 25, 30 年。其年。其他利率持續(xù)期可以用線性估計。他利率持續(xù)期可以

15、用線性估計。例例 4-8 有三個關(guān)鍵利率有三個關(guān)鍵利率 2年、年、 16年、年、 30年。關(guān)鍵利率持續(xù)期年。關(guān)鍵利率持續(xù)期 就是零息債券的持續(xù)期，零息債券的期限就是關(guān)鍵利就是零息債券的持續(xù)期，零息債券的期限就是關(guān)鍵利率的期限。有兩個組合率的期限。有兩個組合 組合2年債券16年債券30年債券 A 50 0 50 B 0 100 0 D2 = 2 D16 = 16 D30 = 30例例 4-8 組合組合A的關(guān)鍵利率持續(xù)期的關(guān)鍵利率持續(xù)期 D2 = (50/100)*2=1 D16 = 0 D30 = (50/100)*30=15 Deffective=16 組合組合B的關(guān)鍵利率持續(xù)期的關(guān)鍵利率持續(xù)

16、期 D2 = 0 D16 = (100/100)*16=16 D30 = 0 Deffective=16例例 4-8 全部即期利率下降全部即期利率下降10基點基點 組合組合 A 2年關(guān)鍵利率下降10個基點，組合組合價值上升 0.1% 30年關(guān)鍵利率下降10個基點，組合價值上升1.5% 總共上升1.6%，這與使用有效持續(xù)期（ Deffective=16 ）來計算的結(jié)果相同 組合組合 B 16年關(guān)鍵利率下降10個基點，組合價值上升1.6% 總共上升1.6%，與這與使用有效持續(xù)期（ Deffective=16 ）來計算的結(jié)果相同例例 4-8 2年即期利率上升年即期利率上升10個基點，個基點，30年即

17、期利率下年即期利率下降降10個基點個基點 組合組合 A 2年關(guān)鍵利率上升10 個基點，組合價值下降 0.1% 30年即期利率下降10個基點，組合價值上升 1.5% 總共上升 1.4%，這與使用有效持續(xù)期（ Deffective=16）計算出來的結(jié)果不同 組合組合 B 沒有變化!例例 4-8 2年即期利率下降年即期利率下降10 個基點，個基點，30即期利率上升即期利率上升10個基點個基點 組合組合 A 2年即期利率下降10個基點，組合價值上升 0.1% 30年即期利率上升10個基點，組合價值下降 1.5% 總共下降 1.4%，與使用有效持續(xù)期（Deffective=16）計算出來的結(jié)果不同 po

18、rtfolio B 沒有變化!組合的持續(xù)期組合的持續(xù)期 組合持續(xù)期是單個債券持續(xù)期的加權(quán)總和（金額）或加權(quán)平均（有效等） 如果債券間的到期收益率不同，這意味著組合中每個債券的持續(xù)期計算所依據(jù)的到期收益率是不同的。 例 4-9： 由兩個債券構(gòu)成構(gòu)成的組合， P(1) = $8,000， DM(1) = 4.3； P(2) = $12,000， DM(2) = 3.6 Dportfolio = (8/20)(4.3) + (12/20)(3.6) = 3.88iiportfolioDwD第二節(jié)第二節(jié) 凸性凸性 凸性的定義與特征 凸性的計算凸性的定義與特征 凸性衡量的是收益率-價格曲線彎曲的程度。

19、非含權(quán)證券都有正的凸性 正的凸性是受歡迎的，會給投資者帶來額外的利益。 凸性會隨著到期收益率的增加而降低。凸性的幾何解釋凸性的幾何解釋 正凸性 負凸性凸性的計算凸性的計算 金額凸性(經(jīng)濟含義?)22212121121)()1 (121)1 (1)()1 () 1()1 (121)1 (1)( )(41)() 1(41)( )()() 1(yyyDyPyyCttyyDyPsemiannualCVtCVttannualCVtCVttdollardollarntttdollarnttnttdollarnttnttdollar例例4-10period cash flow PV$14.5% t*PV t

20、*t*PV1 3 0.95692.87 2.872 3 0.91575.49 10.993 3 0.87637.89 23.664 3 0.838610.06 40.985 3 0.802512.04 60.186 3 0.767913.82 82.947 3 0.734815.43 108.008 3 0.703216.88 134.989 3 0.672918.17 163.5410 103 0.6439663.25 6632.50 765.90 7260.63金額凸性=7260.63/4 = 1945凸性的計算凸性的計算PyCttyntttModified12)1 () 1()1 (1

21、比率凸性 修正凸性PyCttntttRatio1)1 () 1(凸性的計算凸性的計算2)(21yyDPPmm 有效凸性200)(22yVVVVeffective有效凸性有效凸性100)(1002yyDPPeffectiveeffective 例 4-11 yield=6%,V0 =134.67, yield=6.2%,V+ =131.84, yield=5.8%,V- =137.59 06.10002. 067.134284.13159.137)(20yVVVDeffective有效凸性有效凸性%04.1828. 332.2110002. 096.8110002. 066.10100)(100

22、22yyDPPeffectiveeffective 當當 yield 6%增加到增加到 8%96.81)002. 0(67.134267.134284.13159.137)(222200yVVVVeffective凸性引入與債券價格估計的準確性 當市場利率變化很小時，利用持續(xù)期可以相對準確地估計出債券價格的變化。例如，有一個20年期的附息債券，面值為9363.03，年票面利息為1009.09。到期收益率曲線與前面例子相同。該債券的金額持續(xù)期為900，現(xiàn)價為10000.03。假定到期收益率曲線水平上升1個基點，債券價格將下降到9991.03，下降幅度為9元。相似地，如果到期收益率曲線水平下降1個

23、基點，債券價格將上升9元，達到10009.03。根據(jù)持續(xù)期，計算債券價格波動。由于金額持續(xù)期為900。那么，到期收益率變化一個基點，債券價格變化應(yīng)該為900*0.01=9。凸性引入與債券價格估計的準確性 當市場利率變化幅度很大時，用持續(xù)期估計債券價格會產(chǎn)生一定的誤差。例如，到期收益率曲線平行上升200個基點，可以根據(jù)債券價格計算公式計算得到債券的新價格應(yīng)該為8420.47，下降1579.56元。如果到期收益率曲線平行下降200個基點，債券的新價格應(yīng)該為12073.67，上升2073.64元。根據(jù)持續(xù)期，計算債券價格波動。由于金額持續(xù)期為900，那么，到期收益率變化200個基點（2個百分點），債

24、券價格變化應(yīng)該為900*2=1800。因此，當市場利率變化很大的情況下，用持續(xù)期來估計就有較大的誤差。二、凸性的引入與債券價格估計的精確性 如果使用持續(xù)期和凸性，那么債券價格估計精度會有所提高。本例中債券的凸性為122.36。因此，債券價格變化為1555.28,與1579.56已經(jīng)很接近了.28.15554*36.122*211800第三節(jié)第三節(jié) 持續(xù)期與凸性在風險管理中的應(yīng)用持續(xù)期與凸性在風險管理中的應(yīng)用 持續(xù)期與平衡點持續(xù)期與平衡點 免疫免疫 避險避險 持續(xù)期與凸性在組合風險管理持續(xù)期與凸性在組合風險管理 持續(xù)期與平衡點持續(xù)期與平衡點 例 4-12. 你在0時點上購買票面利率7%的債券，價

25、值 $1000。該債券期限10年，一年支付利息一次。你的投資期為7.5年。該債券持續(xù)期為7.5年。 在時點7.5,你累積的財富將大致相等,而不管在0時點市場利率發(fā)生了怎樣的變化時點市場利率發(fā)生了怎樣的變化.關(guān)于持續(xù)期作為平衡點的舉例關(guān)于持續(xù)期作為平衡點的舉例 如果在零時點利率為7%: 如果在債券購買(零時點)后利率立即降到 4%16614 .10346 .62607. 1107007. 17007. 170)07. 1 (70)07. 1 (70)07. 1 (705 . 25 . 15 . 05 . 05 . 55 . 65 .16687 .11048 .56304. 1107004. 17

26、004. 170)04. 1 (70)04. 1 (70)04. 1 (705 . 25 . 15 . 05 . 05 . 55 . 6關(guān)于持續(xù)期作為平衡點的舉例關(guān)于持續(xù)期作為平衡點的舉例 如果在債券購買(零時點)后利率立即上升到10% 為什么? 價格風險被再投資風險抵銷1 .16676 .9705 .6961 . 110701 . 1701 . 170) 1 . 1 (70) 1 . 1 (70) 1 . 1 (705 . 25 . 15 . 05 . 05 . 55 . 6 免疫 免疫的目標是讓來自投資組合的收益滿足負債的支付,而在投資后不必再增加額外資本. 簡單地,免疫就是使資產(chǎn)和負債的

27、現(xiàn)金流量相吻合( “cash matching”) 在不特別限制投資選擇的情況下, 免疫較為容易實現(xiàn)誰來應(yīng)用誰來應(yīng)用 退休基金 壽險公司 商業(yè)銀行免疫步驟免疫步驟 (1) 找到負債的持續(xù)期. (2)選擇一個組合,該組合修正持續(xù)期等于前面負債的持續(xù)期. (3) 選擇每個證券投資的數(shù)量,使得組合的現(xiàn)值等于負債的現(xiàn)值. (4) 當市場利率發(fā)生變化,或者負債償還,調(diào)整投資組合例4-13: 單一負債的免疫 假定你10年后必須償還$1931,到期收益率是水平的, 為10%. 負債的現(xiàn)值 負債的持續(xù)期 = 10 years 20年期債券,面值$1000,票面利率7%(一年支付),價格 $745,持續(xù)期大約為

28、10年.7451 . 1193110例 4-13: 如果到期收益曲線在投資后立即發(fā)生變化: Yield Bond Value Liability Value 4% $1409 $1305 6% 1115 1078 8% 902 895 _ 10% 745 745 _ 12% 627 622 14% 536 521 16% 466 438例4-13 現(xiàn)在假定利率不是一次性的變化,而是: a) 利率立即降到 4%,并一直保持9年. b)在9.5年后利率漲到16%. 你可以看到,組合與負債不能很好匹配了.這能證明免疫這種策略不行嗎? 當然不能! 一旦市場利率發(fā)生變化,組合就得重新免疫.例 4-13

29、在利率變化后,債券價格與持續(xù)期為 為了再免疫為了再免疫: 出售債券 買新債券或者債券組合,其持續(xù)期為10年71.121408/04. 170140804. 170201201tttttDP用債券組合免疫一組負債用債券組合免疫一組負債 目標目標:找到最高到期收益率的債券組合來免疫一組已知找到最高到期收益率的債券組合來免疫一組已知負債負債 投資組合的修正持續(xù)期和現(xiàn)值, 必須與負債的修正持續(xù)期和現(xiàn)值相匹配例例 4-14:免疫一組負債免疫一組負債 負債: 1 year $100 2 years $200 3 years $50 第一步:根據(jù)當期市場中債券的到期收益率計算出負債的現(xiàn)值和持續(xù)期，從而得到免

30、疫曲線（immunization curve）例例 4-14:免疫一組負債免疫一組負債 IRR PV 持續(xù)期 修正持續(xù)期 6% $314.32 1.833 1.729 7% $308. 96 1.830 1.710 8% $303.75 1.826 1.691 9% $298.69 1.822 1.672 10% $293.76 1.818 1.653例例 4-14:免疫一組負債免疫一組負債 第二步:分析哪些債券可以用來構(gòu)建組合,對于每一種債券,都計算出到期收益率和持續(xù)期 利率 期限 $100面值 IRR 持續(xù)期 修正持續(xù)期 8 1 101.41 6.5% 1 .939 6.7 2 100.7

31、3 6.3% 1.937 1.822 9 5 107.34 7.2% 4.268 3.981 8.5 8 102.87 8.0% 6.1475 5.692第三步:將債券和免疫曲線畫出 (修正 持續(xù)期 vs. 到期收益率).immunization curve diagram01234560%2%4%6%8%10%12%IRRModified durationLiabilitybonds例例 4-14 本圖可以告訴我們哪種債券組合可以產(chǎn)生最大的 IRR.在本例中,1年期債券與8年期債券的組合或許會產(chǎn)生最高的到期收益率. 也可以采用其他組合.你建議哪個組合? 剩下的事情是決定每種債券投資的數(shù)量,使

32、得: 1) 組合的現(xiàn)值等于負債的現(xiàn)值. 2)持續(xù)期相等.例例 4-14 根據(jù)已知的到期收益率,負債修正持續(xù)期大約為1.7年. 1年期和8年期債券的組合權(quán)重為: X(0.939) + (1 X)(5.692) = 1.7 這意味著 84%投資于1年期債券,而16%投資于8年期債券. 例例 4-15 我們假設(shè)1年期債券的票面利率為6%,每年支付一次;4年期債券的票面利率為8%,每年支付一次.即期利率（折現(xiàn)率為10%）。投資者負債是5年期分期付款，每年支付100。如何免疫負債?例例 4-15 time cashflow discout f. PV t*PV 0 01 0 0 1 1000.9091

33、90.91 90.91 2 1000.8264 82.64 165.29 3 1000.7513 75.13 225.39 4 1000.683 68.3 237.21 5 1000.6209 62.09 310.46 Total 379.07 1029.26例例 4-15 1年期債券的持續(xù)期 time cashflow discout f. PV t*PV 0 0 1 0 0 1 106 0.909196.36 96.368 . 2379/1029liabilityD11yrD例例 4-15 4年期債券的持續(xù)期 time cashflow discout f. PV t*PV 0 0 1 0

34、 0 1 80.90917.27 7.27 2 80.82646.61 13.22 3 80.75136.01 18.03 4 1080.683 73.77 295.58 total 93.66 334.156. 366.93/3344yrD例例 4-15 負債的現(xiàn)值為負債的現(xiàn)值為$379.07$379.07，所以，所以$111.21$111.21投資于投資于1 1年期債券年期債券,$267.86 ,$267.86 投資于投資于4 4年期債券年期債券. .71. 029. 08 . 256. 311212221相關(guān)問題相關(guān)問題 再免疫的頻率? 除了持續(xù)期之外,還要得到什么? 如何免疫一串負債?

35、 在實踐中,免疫策略的效果如何?再舉例 假定投資者的凈權(quán)益為50000。目前，投資者的資產(chǎn)包括305個單位的3年期零息債券（面值為12892.53）。投資者的負債包括300個單位的20年期附息債券（年票面利息為1009.09，面值為9363.03）。投資者希望持有20年的附息債券，但愿意調(diào)整3年期零息債券的頭寸。投資者也愿意購買或者發(fā)行20年期的零息債券（面值為73074.31）。債券價格100001368. 003.936309.1009100001368. 031.73074100007756. 053.1289220120203ttcdPPP投資者調(diào)整前的資產(chǎn)負債表305個3年期的零息債

36、券 300個單位的20年期附息債券 價值3050000 價值3000000 權(quán)益50000持續(xù)期計算178500900*300300*305900)(10012000100100002030010010000320120203組合的金額持續(xù)期ttCCVt組合調(diào)整1052000900300200030050000100003001000010000203203203NNNNNN投資者調(diào)整后的資產(chǎn)負債表 200個3年期的零息債券 300個單位的20年期附息債券 價值202X000 價值3000000 105個單位的20年期附息債券 價值1050000 權(quán)益50000持續(xù)期策略的基本方法 投資者為了

37、讓他的權(quán)益資本達到一個既定的利率風險目標（用持續(xù)期來表示），希望調(diào)整他的資產(chǎn)和負債，他可以：調(diào)整組合中資產(chǎn)和負債以使權(quán)益有一個理想的持續(xù)期，即權(quán)益的市場價值等于組合中資產(chǎn)的價值減去負債的價值iiN權(quán)益iiVNV權(quán)益2. 用持續(xù)期 和凸性來避險 例 4-15: 做市商的資產(chǎn)組合的避險 一公司債券做市商在某交易日末尾擁有5年期公司債券面值$1mm，票面利率 6.9%（半年支付），價格為平價。該債券流動性很差，因此出售該債券會遭受很大的損失。而隔夜持有該債券也有很大風險，因為如果市場利率上升，該債券價格會下降。替代出售該公司債券的做法有不少，其中之一是賣空 流動性很強的國債。例 4-16:做市商的資

38、產(chǎn)組合的避險 市場中有下面?zhèn)? 10年期，利率 8%的國債，價格P = $1,109.0（面值 $1,000） 3 年期，利率6.3% 的國債，價格P = $1,008.1 （面值 $1,000） a.為了避險，應(yīng)該賣空多少10年期國債？如果賣空3年期國債，賣空多少？ b. 如果所有 債券到期收益率一夜之間上升 1%，該做市商在了解自己的賣空頭寸之后，自己的交易結(jié)果如何？ c. 如果他要賣空這兩種國債，那么10年期和3年期國債各賣空多少？例例 4-16: 做市商的資產(chǎn)組合的避險做市商的資產(chǎn)組合的避險為了回答 (a):1. 找到被避險債券的修正持續(xù)期2. 找到賣空債券的修正持續(xù)期3. 找到避險

39、系數(shù)（ hedge ratios）對于5年期公司債券而言，票面利率6.9%,平價交易,因此y = 6.9% b.e.b., Dm = 4.1688對于10年期國債而言，票面利率 8%,價格1109.0 , y=6.5% b.e.b, Dm=7.005對于3年期國債而言,票面利率 6.3% ,價格1008.1, y = 6.00% b.e.b., Dm = 2.70010年期國債賣空數(shù)量 x, solves: x(7.005) = $1mm(4.1688). x = $593,861.53年期國債賣空數(shù)量 y, solves: y(2.7) = $1mm(4.1688). y = $1.5407

40、2 mm例例 4-16: 做市商的資產(chǎn)組合的避險做市商的資產(chǎn)組合的避險 ( b): 如果全部債券的到期收益率一夜之間都上升了1%, 看一看做市商了解賣空頭寸后的交易結(jié)果 5年期公司債券年期公司債券 yield = 7.9%, = P= $959.344/$1000. 多多頭損失頭損失 = $1mm(1-.959344) = $40,656 10年期國債yield = 7.5% = P= 1034.74/$1000. 1034.74/1109 = .933. (1-.933)(593,861.5) = $39,765.7 (贏利). 3年期債券 yield = 7% = P= 981.35/$1

41、000. 981.35/1,008.1 = .97346. (1-.97346)(1,540,720) = $40,891 (贏利.)例 4-16: 做市商的資產(chǎn)組合的避險 c. 如果他要賣空這兩種國債，那么10年期和3年期國債各賣空多少？ 為了避險,被避險公司債券的價值應(yīng)該等于避險債券價值,而且資產(chǎn)和負債的持續(xù)期應(yīng)該相等: x(7.005) + (1-x)(2.7)=4.1688 x為10年期國債賣空的比重持續(xù)期與凸性在投資組合中的應(yīng)持續(xù)期與凸性在投資組合中的應(yīng)用用 其他因素都一樣,凸性被認為是好的,對投資者是有價值的.如何獲得? Barbells vs. Bullets Bullet pa

42、yment = 一次性支付 Barbell payments = 現(xiàn)金流量兩頭分布 給定到期收益率和修正持續(xù)期,票面利率越低,凸性越小. 與此相關(guān), bullets的凸性比 barbells來得小 這導(dǎo)致一種投資策略,即在其他因素都相同的情況下,選擇 barbells 要優(yōu)于 bullets.例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 有以下國債有以下國債,均為平價交易均為平價交易: Bond Coupon(%) Maturity (yrs) Yields Dm m A 8.5 5 8.5 4.00 19.81 B 9.5 20 9.5 8.88 124.2 C 9.25 10

43、9.25 6.43 55.45例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 兩種國債組合策略: (a) 只投資于 C (bullet strategy) (b) 投資于A 和 B ,組合的金額持續(xù)期等于 C. 也就是A 投資 50.2% ,B 投資 49.8%,因為: .502(4.00) + .498(8.88) = 6.43例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 組合經(jīng)理期望在市場利率變化后,barbell 表現(xiàn)得好一些. 所以該經(jīng)理或許愿意舍棄一點收益率,而獲得較高的凸性. 因此, bullet的到期收益率為 9.25%. 假定 barbell的到期收益率是

44、兩個債券的加權(quán)平均,因此 barbell的到期收益率為: .502(8.5%) + .498(9.5%) = 8.998% 在本例中,該經(jīng)理為獲得凸性已經(jīng)舍棄了一些收益率.例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 % yield ch. level shift flattening Steepening -5.0 -7.19 -10.69 -3.89 -4.0 -4.00 -6.88 -1.27 -3.5 -2.82 -5.44 -0.35 -2.0 -0.59 -2.55 1.25 -1.0 0.06 -1.54 1.57 0.0 0.25 -1.06 1.48 2.0 -0

45、.31 -1.18 0.49 2.75 -0.73 -1.46 -0.05 3.00 -0.88 -1.58 -0.24 3.75 -1.39 -1.98 -0.85例4-17: Bullet vs. Barbell 策略-12-10-8-6-4-2024yieldch-5-4-3-2-1022.753level shiftflattensteepen例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 Flattening意思是5年期到期收益率比水平移動多漲 25 個基點,而20年期到期收益率比水平移動少漲25個基點 Steepening意思是5年期到期收益率比水平移動少漲 25 個基點

46、,而20年期到期收益率比水平移動多漲25個基點 上表說明的是在6個月的持有期間,bullet 收益金額減去 barbell收益金額后的結(jié)果 注意注意 barbell 策略不是永遠好于策略不是永遠好于bullet ,為什么為什么?凸性在固定收益證券投資中的應(yīng)用一般債券的凸性是個正數(shù)，因此凸性的存在改善了債券價格的風險狀況。因此，Grantier, J. B.寫了一篇“凸性與債券表現(xiàn)，越彎越好”(Grantier J. B.Convexity and bond performance: The benter the better, Financial Analyst Journal Vol. 44

47、 202X.)的文章。 固定收益證券管理中存在著努力實現(xiàn)組合凸性最大化的動機。 參見 Douglas,L.G. Bond risk analysis :a guide to duration and convexity, New York Institute of Finance,202X含權(quán)證券的凸性特征與傳統(tǒng)固定收益證券不同，這也給投資者利用這些證券的凸性進行組合管理提供了機會。債券的凸性與時間效應(yīng)是一對矛盾。當債券的凸性效應(yīng)高時，時間效應(yīng)就比較差。而當凸性效應(yīng)較差時，時間效應(yīng)就比較好。因此，不能簡單講，凸性越大越好。凸性的引入與利率風險回避 例如，有這樣兩種債券A、B。 償還期 票面利率

48、 價格 到期收益率 金額持續(xù)期 比率持續(xù)期 金額凸性 投資額 面值額A 10 10% 1026.85 9.6% 6935.9 6.75 125207 45.2144.03B 1 10% 1013.76 8.5% 1013.8 1.0 1014 19.3719.11組合 64.58凸性的引入與利率風險回避 投資者有100萬元的負債，5年后到期，可以計算出這筆負債的現(xiàn)價為64.58。負債的持續(xù)期為5。投資者用A、B兩種債券進行避險，那么因此，A債券投資45.21萬元，B債券投資19.37萬元。那么A債券購買面值為44.03萬元，B債券購買面值19.11萬元。 5175. 61BABA3 . 0,

49、7 . 0BA凸性的引入與利率風險回避組合的價值與負債的價值相等，組合持續(xù)期與負債的持續(xù)期也相。那么能否實現(xiàn)避險呢？當?shù)狡谑找媛是€平行上升20個基點時，負債的價值為639877元，資產(chǎn)的價值為639971元。資產(chǎn)價值超過負債價值94元。到期收益率曲線平行下降20個基點時，負債的價值為651711元，資產(chǎn)的價值為651835元。資產(chǎn)價值超過負債價值124元。當市場利率變化幅度增大時，比如到期收益率曲線平行上升1個百分點時，負債的價值為616974元，資產(chǎn)價值為617373元，資產(chǎn)價值超過負債價值399元。當?shù)狡谑找媛是€平行下降1個百分點時，負債的價值為676177元，資產(chǎn)價值為676768元

50、，資產(chǎn)價值超過負債價值591元。凸性的引入與利率風險回避 上面的例子表明，不管市場利率發(fā)生什么樣的變化，組合資產(chǎn)價值決不會小于負債的價值，而且利率變化幅度越大，不管是向哪個方向變化，組合資產(chǎn)超過負債的價值就越多。只有在利率不發(fā)生變化的時候，資產(chǎn)價值與負債價值相等。凸性的引入與利率風險回避 分析其中的原因，不難理解，組合資產(chǎn)的凸性遠遠大于負債的凸性，本例中，資產(chǎn)的凸性為 ，負債的凸性為 16140000說明在市場利率下降時，資產(chǎn)價值的上升會超過負債價值的上升；而當市場利率上升時，資產(chǎn)價值的下降幅度小于負債價值的下降幅度。正因為如此，組合資產(chǎn)的凸性越大，對投資者就越有利?？梢杂脠D形來表示。 上例說明，僅僅考慮持續(xù)期是不夠的，由于市場利率隨時會發(fā)生變化，因此有必要讓組合資產(chǎn)的持續(xù)