用常數(shù)變易法求解二階非齊次線(xiàn)性微分方程學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1用常數(shù)變易法求解用常數(shù)變易法求解(qi ji)二階非齊次線(xiàn)二階非齊次線(xiàn)性微分方程性微分方程第一頁(yè)，共24頁(yè)。)(, 0).2xPqyypym 是特征復(fù)根是特征復(fù)根，是特征單根是特征單根，不是特征根不是特征根0)(0)(0, )(2* xQxxxQxQymmm第1頁(yè)/共24頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。型型)sin)(cos)()(. 2xxPxxPexfnlrx 1) . 當(dāng)ir不是(b shi)特征根時(shí)，則特解具有(jyu)形式)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx 2. 當(dāng)ir是特征(tzhng)根時(shí)，則特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQxeymmrx ;,max,)

2、()(nlmmxRxQmm 式式次待定多項(xiàng)次待定多項(xiàng)為兩個(gè)為兩個(gè)和和其中其中第2頁(yè)/共24頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。)()()(xfyxQyxPy 將將)()(2211xyCxyCy )()(21xCxC與與中的常數(shù)變易成函數(shù)中的常數(shù)變易成函數(shù)).()(21xCxC與與然然后后求求出出 對(duì)應(yīng)齊次方程(fngchng)的通解第3頁(yè)/共24頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。 )()()()()(0)()()()(22112211xfxyxCxyxCxyxCxyxC例 求 的通解(tngji)；xyycos1 第4頁(yè)/共24頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。若已知齊次方程(fngchng)0)()( yxQyxPy的一個(gè)(y )不恒

3、為零的解),(1xyy 行求解。行求解。化為一階線(xiàn)性方程，進(jìn)化為一階線(xiàn)性方程，進(jìn)，可將非齊次方程，可將非齊次方程則利用變換則利用變換)()()()(1xfyxQyxPyxuyy 第5頁(yè)/共24頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。hw：p301 5,8.的通解。的通解。性方程性方程的一個(gè)解，求非齊次線(xiàn)的一個(gè)解，求非齊次線(xiàn)是齊次方程是齊次方程已知已知例例3221222022)(.xyyxyxyyxyxxxy 第6頁(yè)/共24頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。9 歐拉方程(fngchng) Euler Equation 歐拉方程歐拉方程(fngchng) )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn )(為常數(shù)為常數(shù)k

4、p,tex 令令常系數(shù)常系數(shù)(xsh)線(xiàn)性微分方程線(xiàn)性微分方程xtln 即即第7頁(yè)/共24頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。歐拉方程的算子歐拉方程的算子(sun z)解法解法: )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ,tex 令令則 xyddxttyddddtyx dd1 22ddxyxttyxtdd)dd1(dd tytyxdddd1222 計(jì)算計(jì)算(j sun)繁繁! tyyxdd tytyyxdddd222 ,lnxt 則則第8頁(yè)/共24頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。,ddtD 記記則由上述則由上述(shngsh)計(jì)算可知計(jì)算可知: yDyx yDyDyx 22, ), 3, 2(dd kt

5、DkkkyDD)1( 用歸納法可證用歸納法可證 ykDDDyxkk)1()1()( 于是于是(ysh)歐拉方程歐拉方程 )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn )(11tnnnefybyDbyD 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(zhunhu)為常系數(shù)線(xiàn)性方程為常系數(shù)線(xiàn)性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty 即即第9頁(yè)/共24頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。例例1.1. .ln2ln2222的通解的通解求方程求方程xxyyxyx 解解:,tex 令令,lnxt 則則,ddtD 記記則原方程則原方程(fngchng)化化為為ttyyDyDD222)1(2 亦即亦即ttytyty22dd3dd22

6、2 其根其根,2, 121 rr則對(duì)應(yīng)則對(duì)應(yīng)(duyng)的齊次方程的的齊次方程的通解為通解為特征方程特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22 即即 tteCeCY221 第10頁(yè)/共24頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。 的通解的通解(tngji)為為41ln21ln212221 xxxCxCy4121212221 tteCeCytt換回原變量換回原變量, 得原方程得原方程(fngchng)通解為通解為設(shè)特解設(shè)特解:CtBtAy 2代入確定代入確定(qudng)系系數(shù)數(shù), 得得4121212 tty第11頁(yè)/共24頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。例例2.2.22的通解的通解求方程求方程xxyxyy 解解

7、: 將方程將方程(fngchng)化為化為xyyxyx22 (歐拉方程歐拉方程(fngchng) ,ddtD 記記則方程則方程(fngchng)化為化為,tex 令令teyDDD2)1)1( 即即teyDD2)12(2 特征根特征根:, 121 rr設(shè)特解設(shè)特解:,2tetAy 代入代入 解得解得 A = 1,ttetetCCy221)( xxxxCC221ln)ln( 所求通解為所求通解為 第12頁(yè)/共24頁(yè)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。例例3.3.滿(mǎn)足滿(mǎn)足設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01 xy且且. )(xy求求解解: 由題設(shè)得定解問(wèn)題由題設(shè)得定解問(wèn)題(wn

8、t)xyyxyx524 0)1(,0)1( yy,tex 令令,ddtD 記記則化為則化為teyDDD 54)1(teyD 5)4(2特征特征(tzhng)根根: ,2ir 設(shè)特解設(shè)特解: ,teAy 代入得代入得 A1 第13頁(yè)/共24頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。得通解得通解(tngji)為為tetCtCy 2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21 利用利用(lyng)初始條件初始條件得得21, 121 CC故所求特解為故所求特解為xxxy1)ln2sin(21)ln2cos( hwhw：p319 2,4.p319 2,4.第14頁(yè)/共24頁(yè)第十五頁(yè)，共24頁(yè)。一類(lèi)(y

9、 li)特殊變系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程)(1)1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn 第15頁(yè)/共24頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)。解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)(tnggu)(tnggu)變量代換可化為常系數(shù)微分方程變量代換可化為常系數(shù)微分方程. .特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)次數(shù)(csh)相同相同令tex 將方程(fngchng)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)微分方程(fngchng)。第16頁(yè)/共24頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydt

10、ydxdxyd將自變量換為將自變量換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd第17頁(yè)/共24頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。用用D表示對(duì)自變量表示對(duì)自變量t求導(dǎo)的運(yùn)算求導(dǎo)的運(yùn)算,dtd上述結(jié)果上述結(jié)果(ji gu)可以可以寫(xiě)為寫(xiě)為,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx 第18頁(yè)/共24頁(yè)第十九頁(yè)，共24頁(yè)。.)1()1()(ykDDDyxkk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量t的常系數(shù)的常系數(shù) 線(xiàn)性微分方程線(xiàn)性微分方程. .求

11、出這個(gè)方程的解后求出這個(gè)方程的解后，t把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解. .一般一般(ybn)地，地，例例求歐拉方程求歐拉方程(fngchng)22334xyxyxyx 的通解的通解(tngji)解解作變量變換作變量變換,lnxtext 或或第19頁(yè)/共24頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)。原方程原方程(fngchng)化為化為,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(fngchng)(1)(fngchng)(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程(fngchng)(fngchng)為為, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr第20頁(yè)/共24頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0321 rrr所以齊次方程所以齊次方程(fngchng)的的通解為通解為tteCeCCY3321 設(shè)特解為設(shè)特解為,22bxbeyt 代入原方程代入原方程(fngchng)，得得.21 b所給歐拉方程所給歐拉方程(fngchng)的的通解為通解為.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC 第21頁(yè)/共24頁(yè)第二十二頁(yè)，共24頁(yè)。例 .34. 203. 12232xyxy