35圖形的放大與縮小位似變換

1、圖形的放大與縮小，圖形的放大與縮小，位似變換位似變換本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.5圖圖3-46是具有這種關(guān)系的，兩個(gè)圖形有什么關(guān)系？是具有這種關(guān)系的，兩個(gè)圖形有什么關(guān)系？ 圖圖3-46相似相似. 分別在圖分別在圖3-46中左、右兩個(gè)小狗的頭頂上取一點(diǎn)中左、右兩個(gè)小狗的頭頂上取一點(diǎn)A，A；再分別在狗尾巴尖上取一點(diǎn)；再分別在狗尾巴尖上取一點(diǎn)B，B.圖圖3-46點(diǎn)點(diǎn)A，A與點(diǎn)與點(diǎn)O在一條直在一條直線上嗎？點(diǎn)線上嗎？點(diǎn)B，B與點(diǎn)與點(diǎn)O在一條直線上嗎？在一條直線上嗎？AABBO 分別量出線段分別量出線段OA，OA，OB，OB的長度，的長度，計(jì)算計(jì)算( (精確到精確到0.1) )： 繼續(xù)在左、右兩個(gè)小狗上找出一些

2、對應(yīng)點(diǎn)，考繼續(xù)在左、右兩個(gè)小狗上找出一些對應(yīng)點(diǎn)，考察每一對對應(yīng)點(diǎn)是否都與點(diǎn)察每一對對應(yīng)點(diǎn)是否都與點(diǎn)O在一條直線上；在一條直線上；圖圖3-46 OA=OA ，OB=OB . 計(jì)算每一對對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)計(jì)算每一對對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O的連線段的比，看它們的連線段的比，看它們是否與上述是否與上述 ， 相等相等.OAOAOBOB 6.8 2.13.2 7.5 2.13.5 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 現(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)圖現(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)圖3-46中右邊的小狗是如何從左邊中右邊的小狗是如何從左邊的小狗畫出來的嗎？的小狗畫出來的嗎？ 如何畫出右邊小狗頭頂上的點(diǎn)如何畫出右邊小狗頭頂上的點(diǎn)A和尾巴尖上的點(diǎn)和尾巴尖上的點(diǎn)B？對于左邊小狗上每一個(gè)點(diǎn)，如

3、何畫出右邊小狗上？對于左邊小狗上每一個(gè)點(diǎn)，如何畫出右邊小狗上的對應(yīng)點(diǎn)？的對應(yīng)點(diǎn)？ 圖圖3-46 從上述畫右邊小狗的方法以及類似問題，我們抽從上述畫右邊小狗的方法以及類似問題，我們抽象出下述概念：象出下述概念： 取定一點(diǎn)取定一點(diǎn)O，把圖形上任意一點(diǎn)，把圖形上任意一點(diǎn)P對應(yīng)到射線對應(yīng)到射線OP( (或它的反向延長線或它的反向延長線) )上一點(diǎn)上一點(diǎn)P，使得線段，使得線段OP與與OP的比等于常數(shù)的比等于常數(shù)k( (k0) )，點(diǎn)，點(diǎn)O對應(yīng)到它自身，這種變對應(yīng)到它自身，這種變換叫作換叫作位似變換位似變換； 點(diǎn)點(diǎn)O叫作叫作位似中心位似中心，常數(shù)，常數(shù)k叫作叫作位似比位似比，一個(gè)圖形，一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換

4、得到的圖形叫作與原圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形位似的圖形.從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：結(jié)論結(jié)論 兩個(gè)位似的圖形上每一對對應(yīng)點(diǎn)都與位似中心兩個(gè)位似的圖形上每一對對應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對應(yīng)點(diǎn)到位在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比似中心的距離之比等于位似比練習(xí)練習(xí)1. 在圖在圖3-47中，以點(diǎn)中，以點(diǎn)O為位似中心，位似比為為位似中心，位似比為2.5，畫，畫出出ABC在這個(gè)位似變換下的像在這個(gè)位似變換下的像. 圖圖3-47答：答：過過OC，OA，OB作射線，作射線， 分

5、別在射線上取分別在射線上取OA= 2.5OA， OB= 2.5OB，OC= 2.5OC. 連結(jié)連結(jié) ， ， 則則 為為ABC在這個(gè)在這個(gè) 位似變換下的像位似變換下的像. A B B C A B C A C2. 在圖在圖3-48中，以矩形中，以矩形ABCD的對角線交點(diǎn)的對角線交點(diǎn)O為位為位似中心，位似比為似中心，位似比為0.6，畫出矩形，畫出矩形ABCD在這個(gè)在這個(gè)位似變換下的像位似變換下的像. 圖圖3-48 利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小.當(dāng)位似比當(dāng)位似比k1時(shí)，一個(gè)圖形被放大成原圖形的時(shí)，一個(gè)圖形被放大成原圖形的k倍；倍；當(dāng)位似比當(dāng)位似比k1時(shí)，一個(gè)

6、圖形被縮小成原圖形的時(shí)，一個(gè)圖形被縮小成原圖形的k倍倍.舉舉例例例例 把圖把圖3-49中的五角星放大成原圖形的中的五角星放大成原圖形的2倍倍. 圖圖3-49解解:選取五角星的特征點(diǎn)：五個(gè)角尖點(diǎn)選取五角星的特征點(diǎn)：五個(gè)角尖點(diǎn) 51234A A A A A, , , , , , , , ,以五角星的中心以五角星的中心O為位似中心，為位似中心，51234OA OA OA OA OA,分別作射線分別作射線圖圖3-4935124512342 2 2 22 OAOAOAOAOA = = = = = .OAOAOAOAOA, , ,在這些射線上分別取一個(gè)點(diǎn)在這些射線上分別取一個(gè)點(diǎn) ，使得，使得 551314

7、2423A AA AA AA AA A ,連結(jié)連結(jié)則得到的五角星則得到的五角星 是原五角星是原五角星A1A2A3A4A5的的2倍倍. 51234A A A A A做一做做一做 在圖在圖3-49中，證明：中，證明： 13132 A A = .A A圖圖3-49證明證明:311313132 2 OAOA = = OAOA= AOAAOA, , OA1A3 13 OA A . 13132 A A = A A. . 圖圖3-50中，圖形中，圖形( (1) )經(jīng)過什么變換得到圖形經(jīng)過什么變換得到圖形( (2) )？觀察觀察圖形圖形( (2) )經(jīng)過哪些變換得到圖形經(jīng)過哪些變換得到圖形( (3) )？由此

8、得出：由此得出：圖圖3-50圖形圖形( (2) )與圖形與圖形( (1) )是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？圖形圖形( (3) )與圖形與圖形( (2) )是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？圖形圖形( (3) )與圖形與圖形( (1) )是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ 答：圖形答：圖形( (2) )與圖形與圖形( (1) )相似相似.答：圖形答：圖形( (3) )與圖形與圖形( (2) )相似相似.答：圖形答：圖形( (3) )與圖形與圖形( (1) )相似相似.圖圖3-50結(jié)論結(jié)論 圖圖3-50中圖形中圖形( (3) )與圖形與圖形( (1) )的關(guān)系表明：一個(gè)的關(guān)系表明：一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換和平移、旋轉(zhuǎn)，最后得到

9、的圖形圖形經(jīng)過位似變換和平移、旋轉(zhuǎn)，最后得到的圖形與原圖形相似與原圖形相似 舉出生活中相似的圖形的例子，它們中的一個(gè)舉出生活中相似的圖形的例子，它們中的一個(gè)能不能從另一個(gè)經(jīng)過位似變換和平移、旋轉(zhuǎn)或軸反能不能從另一個(gè)經(jīng)過位似變換和平移、旋轉(zhuǎn)或軸反射得到？射得到？ 1.把圖把圖3-51中的中的正方形正方形ABCD縮小為原圖形的縮小為原圖形的0.6.練習(xí)練習(xí)答：答：連結(jié)連結(jié)AC與與BD，則，則AC與與BD相交于相交于O， 在射線在射線OA，OB，OC，OD上取上取OA=0.6OA， OB=0.6OB，OC=0.6OC，OD=0.6OD. 連結(jié)連結(jié) ，則正方形，則正方形 為正方形為正方形ABCD在這個(gè)

10、位似變換下的像在這個(gè)位似變換下的像. A B C D A B B C C D A D,圖圖3-51ABDC2. 把圖把圖3-52中的菱形中的菱形ABCD放大為原圖形的放大為原圖形的1.5倍倍 圖圖3-52答：答：連結(jié)連結(jié)AC與與BD，則，則AC與與BD相交于相交于O， 在射線在射線OA，OB，OC，OD上取上取OA=1.5OA， OB=1.5OB，OC=1.5OC，OD=1.5OD. 連結(jié)連結(jié) ，則菱形，則菱形 為為 菱形菱形ABCD在這個(gè)位似變換下的像在這個(gè)位似變換下的像. A B C D A B B C C D A D,小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 本章的中心內(nèi)容是研究圖形的放大與縮小，即圖本章的

11、中心內(nèi)容是研究圖形的放大與縮小，即圖形的相似形的相似.它的基礎(chǔ)概念是它的基礎(chǔ)概念是線段的比線段的比. 我們著重研究了相似三角形的判定方法和性質(zhì)；我們著重研究了相似三角形的判定方法和性質(zhì)；相似多邊形的判定方法和性質(zhì)相似多邊形的判定方法和性質(zhì). 我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮小的方我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮小的方法法.圖形的相似在許多實(shí)際問題中有重要應(yīng)用圖形的相似在許多實(shí)際問題中有重要應(yīng)用. 一、基本概念一、基本概念1.相似的圖形相似的圖形 直觀上，把一個(gè)圖形放大（或縮?。┑玫降膱D直觀上，把一個(gè)圖形放大（或縮?。┑玫降膱D形是與原圖形相似的形是與原圖形相似的2.相似三角形相似三角形

12、三個(gè)角對應(yīng)相等，且三條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三個(gè)角對應(yīng)相等，且三條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫作三角形叫作相似三角形相似三角形.相似三角形的對應(yīng)邊的比叫相似三角形的對應(yīng)邊的比叫作作相似比相似比3.相似多邊形相似多邊形 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫作作相似多邊形相似多邊形. 相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫作相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫作相似比相似比.4.線段的比，成比例線段，黃金分割線段的比，成比例線段，黃金分割 在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比

13、例線段成比例線段. 如果選用同一長度單位量得兩條線段如果選用同一長度單位量得兩條線段PQ， 的的長度分別為長度分別為m，n，那么把它們的長度的比，那么把它們的長度的比 叫作這叫作這兩條線段的比，記作兩條線段的比，記作 ，或，或 P Qmn P Qn = PQm : : P Q PQ = n m .PQPQ 將一條線段將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線分成不相等的兩部分，使較短線段段CB與較長線段與較長線段AC的比等于的比等于AC與原線段與原線段AB的比，的比，那么稱線段那么稱線段AB被點(diǎn)被點(diǎn)C黃金分割黃金分割，點(diǎn)，點(diǎn)C叫作線段叫作線段AB的的黃金分割點(diǎn)黃金分割點(diǎn)，較長線段，較長線段AC

14、與原線段與原線段AB的比叫作的比叫作黃黃金分割比金分割比.5 10.618.2 AC= AB- -ACCB5.位似變換，位似的圖形位似變換，位似的圖形 取定一點(diǎn)取定一點(diǎn)O，把圖形上每一個(gè)點(diǎn)，把圖形上每一個(gè)點(diǎn)P對應(yīng)到射線對應(yīng)到射線OP( (或它的反向延長線或它的反向延長線) )上一點(diǎn)上一點(diǎn)P，使得線段，使得線段OP與與OP 的比等于常數(shù)的比等于常數(shù)k( (k0) )，點(diǎn)，點(diǎn)O對應(yīng)到它自身，這對應(yīng)到它自身，這種變換叫作種變換叫作位似變換位似變換，點(diǎn)，點(diǎn)O叫作叫作位似中心位似中心，常數(shù)，常數(shù)k叫作叫作位似比位似比，一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫，一個(gè)圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作作與原圖形與原圖形

15、位似的圖形位似的圖形.二二、成比例線段的基本性質(zhì)成比例線段的基本性質(zhì) 如果四條線段如果四條線段a，b，c，d是成比例線段，是成比例線段，即即acbd , ,那么那么ad = bc . 三三、相似三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 相似三角形的對應(yīng)邊成比例相似三角形的對應(yīng)邊成比例性質(zhì)性質(zhì)2 相似三角形的對應(yīng)角相等相似三角形的對應(yīng)角相等性質(zhì)性質(zhì)3 相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形周長的比等于相似比， 相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形面積的比等于相似比的平方.四四、相似三角形的判定、相似三角形的判定 判定定理判定定理1 三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三

16、角形相似判定定理判定定理2 兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定定理判定定理3 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角 形相似形相似五五、相似多邊形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 相似多邊形的對應(yīng)邊成比例相似多邊形的對應(yīng)邊成比例性質(zhì)性質(zhì)2 相似多邊形的對應(yīng)角相等相似多邊形的對應(yīng)角相等性質(zhì)性質(zhì)3 相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形周長的比等于相似比， 相似多邊形面積的比等于相似比的平方相似多邊形面積的比等于相似比的平方.六六、相似多邊形的判定、相似多邊形的判定 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)

17、多邊形相似七七、利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小中考中考 試題試題例例1 如圖，圖中的小方格都是邊長為如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，的正方形，ABC與與 是關(guān)于點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上頂點(diǎn)上.（1）畫出位似中心點(diǎn)）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出）求出ABC與與 的位似比；的位似比；（3）以點(diǎn)）以點(diǎn)O為位似中心，再畫一個(gè)為位似中心，再畫一個(gè)A1B1C1，使它與，使它與ABC的的 位似比等于位似比等于1.5. A B C A B C（1）、（）、（3）的解答如圖）的

18、解答如圖2所示所示. .（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)锳BC與與 是位似圖形，所以其位似比是位似圖形，所以其位似比 實(shí)際上就是這兩個(gè)三角形的相似比實(shí)際上就是這兩個(gè)三角形的相似比. .又由勾股定理又由勾股定理 可得：可得：AC= ， ，所以，所以 ABC與與 的位似比的位似比= = 1 ：2.解解 A B C2224 =2 5+ + 22= 48 =4 5A C+ + A B C 2 5 : 4 5如圖如圖2如圖如圖1中考中考 試題試題例例2 檢查視力時(shí)，規(guī)定人與視力表之間的距離為檢查視力時(shí)，規(guī)定人與視力表之間的距離為5 m.現(xiàn)因房現(xiàn)因房間兩面墻的距離為間兩面墻的距離為3m，因此使用平面鏡來解決房間小的問題，因此使用平面鏡來解決房間小的問題.若使墻面鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，如圖所示，由平面鏡成若使墻面鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，如圖所示，由平面鏡成像原理，作出光路圖，其中視力表像原理，作出光路圖，其中視力表