近三年導(dǎo)數(shù)大題真題匯總

1、2017-2019近三年導(dǎo)數(shù)大題真題匯總一 一2、1 .已知函數(shù) f (x)(x - ax).(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f (x)在區(qū)間0, 2的最小值為,求a.2 .已知函數(shù) f (x) =2x-ax2+b.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)是否存在a, b,使得f (x)在區(qū)間0, 1的最小值為-1且最大值為1?若存在, 求出a, b的所有值；若不存在，說明理由.第1頁(共46頁)3 .已知函數(shù) f (x) =2x3ax2+2.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0vav3時(shí)，記f (x)在區(qū)間0, 1的最大值為 M,最小值為 m,求M - m的取 值范圍4 .

2、已知函數(shù) f (x) = ( x- 1) lnx - x - 1,證明：(1) f (x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2) f (x) =0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).第 2 頁(共 46 頁)5 .設(shè)函數(shù) f (x) = Inx a (x 1) ex,其中 a CR.(I)若a 0,討論f (x)的單調(diào)性；(n )若 0V axq,證明3xo - xi 2.6 .設(shè)函數(shù)f (x) = excosx, g (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù).(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng) x可一，一時(shí)，證明 f (x) +g (x) ( x) 0;(出)設(shè)xn為函數(shù)u (x) = f (x) - 1在區(qū)間(

3、2njt 2n % 一)內(nèi)的零點(diǎn)，其中 n CN ,證明 2njt - xn ax,求a的取值范圍.8 .已知函數(shù)f (x) = lnx -(1)討論f (x)的單調(diào)性，并證明f (x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x。是f (x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A (x。，lnx。)處的切線也是曲線y=ex的切線.9 .已知函數(shù) f (x)-x3x2+x.(I)求曲線y = f (x)的斜率為1的切線方程；(n)當(dāng) x q 2, 4時(shí)，求證：x 6 w f (x) w x;(m)設(shè) F (x) = |f (x) - (x+a) | (aCR),記 F (x)在區(qū)間-2, 4上的最大值為 M(a

4、).當(dāng)M (a)最小時(shí)，求a的值.10 .已知函數(shù) f (x) =sinx-ln (1+x), f (x)為 f (x)的導(dǎo)數(shù).證明:(1) f (x)在區(qū)間(-1,一)存在唯一極大值點(diǎn)；(2) f (x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).11 .設(shè)函數(shù) f (x) = ax2- (4a+1) x+4a+3ex.(I)若曲線y = f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與x軸平行，求a;(n)若f (x)在x=2處取得極小值，求 a的取值范圍.12 .設(shè)函數(shù) f (x) = ax2- (3a+1) x+3a+2ex.(I)若曲線y = f (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線斜率為 0,求a;(n)若f (

5、x)在x=1處取得極小值，求 a的取值范圍.第 6 頁(共 46 頁)13 .已知函數(shù) f (x) = ( 2+x+ax2) ln (1+x) - 2x.(1)若 a= 0,證明：當(dāng)1vxv0 時(shí)，f(x) 0 時(shí)，f (x) 0;(2)若x=0是f (x)的極大值點(diǎn)，求 a.14 .已知函數(shù) f (x) =aexlnx1.(1)設(shè)x=2是f (x)的極值點(diǎn)，求 a,并求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明：當(dāng) a 時(shí)，f (x) 0.第10頁(共46頁)15 .已知函數(shù)f (x) -(1)求曲線y=f (x)在點(diǎn)(0, - 1)處的切線方程;(2)證明：當(dāng) a1 時(shí)，f (x) +e0.16 .

6、已知函數(shù) f (x) = ex-ax2.(1)若 a=1,證明：當(dāng) x0 時(shí)，f (x) 1;(2)若f (x)在(0, +8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a.17 .已知函數(shù) f (x) = ax, g (x) = logax,其中 a1.(I )求函數(shù) h (x) = f (x) - xlna的單調(diào)區(qū)間；(n )若曲線y= f (x)在點(diǎn)(xi, f (xi)處的切線與曲線 y= g (x)在點(diǎn)(x2, g (x2)處的切線平行，證明 xi+g (期)；(m)證明當(dāng)a 一時(shí)，存在直線l,使l是曲線y=f (x)的切線，也是曲線 y=g (x) 的切線.18 .已知函數(shù) f (x)-x3-a (x2+

7、x+1).(1)若a=3,求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).19 .已知函數(shù) f (x)- x+alnx.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)若f (x)存在兩個(gè)極值點(diǎn) xi, x2,證明： 0時(shí)，求f (x)的極小值；(n)當(dāng)aw。時(shí)，討論方程f (x) = 0實(shí)根的個(gè)數(shù).21 .已知函數(shù) f (x) = ex (ex-a) - a2x.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)若f (x) n 0,求a的取值范圍.22 .設(shè)函數(shù) f (x) = ( 1x2) ex.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)xR0時(shí)，f (x)w ax+1,求a的取值范圍.第 11 頁(共 4

8、6 頁)23 .設(shè)a 已知定義在 R上的函數(shù)f (x) = 2x4+3x3 - 3x2 - 6x+a在區(qū)間(1, 2)內(nèi)有一個(gè) 零點(diǎn)xo, g (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù).(I )求g (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )設(shè) mqi , x0)U ( xo, 2,函數(shù) h (x) = g (x) ( m - xo) - f (m),求證：h (m)h (xo) v 0;(出)求證：存在大于 0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù) p, q,且一 qi, xo) u (xo,2,滿足 |一 xo| -24 .已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx sinx+2x 2),其中e- 2.718

9、28 是自然對數(shù)的底數(shù).(I)求曲線y = f (x)在點(diǎn)(兀，f (兀)處的切線方程；(n)令 h (x) = g (x) - af (x) (aCR),討論h (x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有 極值時(shí)求出極值.第28頁(共46頁)2017-2019近三年導(dǎo)數(shù)大題真題匯總參考答案與試題解析一、解答題.，一、一一 2x1.已知函數(shù) f (x)(x - ax).(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f (x)在區(qū)間0, 2的最小值為 求a.【分析】(1)將a=1代入f (x)中，然后求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)判斷單調(diào)性導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間上的符合，從而得到單調(diào)區(qū)間；(2)對f (x)求導(dǎo)后，根

10、據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分a三類分別求出f(x)的最小值，讓最小值等于解出a,然后判斷是否符合條件即可.【解答】解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f (x)一(x2x),則 f (x) 一 一( x0),令 f (x) = 0,貝U x 當(dāng) 0vxv 時(shí)，f (x) V 0；當(dāng) x 時(shí)，f (x) 0.f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，-，單調(diào)遞增區(qū)間為 -，；(2) f (x) (0WxW2),令 f (x) =0,貝U x ，當(dāng) aw。時(shí)，f (x) 0, .f (x)在0, 2上單調(diào)遞增，不 符合條件；當(dāng) V一時(shí)，V ，則當(dāng) 0VxV 一時(shí)，f (x) V0；當(dāng) 0,.f (x)在 ，上單調(diào)遞減，在 ， 上單調(diào)遞增

11、，一 一 -a符合條件；當(dāng)a時(shí)，一 ，則當(dāng)0vxv2時(shí)，f (x) v 0, f (x)在(0, 2)上單調(diào)遞減，一a ,不符合條件.，f (x)在區(qū)間0, 2的最小值為 -，a的值為一.【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了分類討論思想和分類法，屬中檔題.2.已知函數(shù) f (x) =2x3-ax2+b.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)是否存在a, b,使得f (x)在區(qū)間0, 1的最小值為-1且最大值為1?若存在， 求出a, b的所有值；若不存在，說明理由.2【分析】(1)f (x) =6x- 2ax =6x (x -).令 f (x) =6x (x -)=0,解得 x

12、= 0,或-.對a分類討論，即可得出單調(diào)性.(2)對a分類討論，利用(1)的結(jié)論即可得出.【解答】解：(1) f (x) = 6x2- 2ax=6x (x -).令 f ( x) = 6x (x -)=0,解得 x=0,或一.a=0時(shí)，f (x) = 6x20,函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞增.a0時(shí)，函數(shù)f (x)在(-, 0),(, +)上單調(diào)遞增，在(0,一)上單調(diào)遞減.a0時(shí)，函數(shù)f (x)在0, 一上單調(diào)遞減.- 1,即 a3 時(shí)，函數(shù) f (x)在0, 1上單調(diào)遞減.則 f ( 0) = b= 1, f (1) = 2 - a+b=-1,解得b=1, a=4,滿足條件.0V-V1,即0

13、vav 3時(shí)，函數(shù)f (x)在0,-)上單調(diào)遞減，在(一，1上單調(diào)遞增.則最小值 f (一) 一 a - b= - 1,化為： b=-1.而 f (0) = b, f (1) = 2- a+b,最大值為 b 或 2 - a+b.若： b = - 1, b = 1,解得a = 33,矛盾，舍去.若： 一 b=-1, 2-a+b=1,解得a = 3 ，或0,矛盾，舍去.綜上可得：存在a, b,使得f (x)在區(qū)間0, 1的最小值為-1且最大值為1.a, b的所有值為:【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.3

14、.已知函數(shù) f (x) =2x3ax2+2.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0vav3時(shí)，記f (x)在區(qū)間0, 1的最大值為 M,最小值為 m,求M - m的取 值范圍.【分析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，對a分類求解原函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0vav3時(shí)，由(1)知，f (x)在(0,-)上單調(diào)遞減，在(一，1)上單調(diào)遞增，求得f (x)在區(qū)間0, 1的最小值為 - 一 ，最大值為f (0) = 2或f (1)一 , V V=4 - a.得到 M - m,分類求得函數(shù)值域，可得 M - m的取值一， v范圍.【解答】 解：(1) f ( x) = 642ax= 2x (

15、3x a),令 f ( x) = 0,得 x= 0 或 x -.若 a0,則當(dāng) xC (-oo, 0)u (一,)時(shí)，f (x) 0;當(dāng) xC (0,-)時(shí)，f(x) 0.故f (x)在(-8, 0),(一，)上單調(diào)遞增，在(0,-)上單調(diào)遞減；若a = 0, f (x)在(-8,+OO)上單調(diào)遞增；若 a0；當(dāng) xC (一，0)時(shí)，f (x) 0.故f (x)在(-8, 一), (0, +OO)上單調(diào)遞增，在(，0)上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)0vav3時(shí)，由(1)知，f (x)在(0, 一)上單調(diào)遞減，在(一，1)上單調(diào)遞 增，.f (x)在區(qū)間0, 1的最小值為于是，m , M一 一 ,最大值為

16、 f (0) =2 或 f (1) = 4- a.V V當(dāng)0vav2時(shí)，可知2-a 一單調(diào)遞減，M - m的取值范圍是(一，)；當(dāng)2Wa0,得到 f (x) = 0 在(xo, +8)內(nèi)存在唯一的根 x= a,由axo1,得一 v v ,從而一是f (x) = 0在(0, xo)的唯一根，由此能證明f (x) =0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【解答】 證明：(1) ;函數(shù)f (x) = (x-1) lnx- x- 1. .f (x)的定義域?yàn)?0, +8),f (x) lnx -, y= lnx單調(diào)遞增，y 單調(diào)遞減，二. f ( x)單調(diào)遞增，又，(1)= 10, 存在唯一的 xo

17、C (1, 2),使得 f (xo) =0.當(dāng)xvxo時(shí)，f (x) V 0, f (x)單調(diào)遞減，當(dāng)xxo時(shí)，f (x) 0, f (x)單調(diào)遞增， .f (x)存在唯一的極值點(diǎn).(2)由(1)知 f (xo) vf (1) = 2,又 f (e2) = e2- 30,，f (x) = 0在(x0, +8)內(nèi)存在唯一的根 x= a,由 ax01,得一 v v ,.f (一)= ( 一 )ln- - 0, .一是 f (x) = 0 在(0, xo)的唯一根，綜上，f (x) =0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)的證明，考查函數(shù)有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)

18、實(shí) 根互為倒數(shù)的證明，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值等基礎(chǔ)知識，考查化歸 與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題. .設(shè)函數(shù) f (x) = lnx a (x 1) ex,其中 a CR.(I)若ax0,證明3x0 - xi2.【分析】(I) f (x) - aex+a (xT) ex , x (0, +8). aw。時(shí)，f (x)0,即可得出函數(shù)f (x)在xC (0, +oo)上單調(diào)性.(II) (i)由(I)可知：f ( x), xC (0, +oo).令 g (x) = i-ax2ex, / 0 a 1 時(shí)，lnxv x 1. f (In) f (1) =0.可

19、 得函數(shù)f (x)在(x0, +8)上存在唯一零點(diǎn).又函數(shù)f (x)在(0, xO)上有唯一零點(diǎn)1 .即 可證明結(jié)論.(ii)由題意可得：f ( x0) = 0,f (x1)=0,即 a 1,Inx1=a(x1-1) ，可得，由 x 1,可得 Inxvx-1.又 x1 xo 1,可得 v ，取對數(shù)即可證明.【解答】(I)解：f (x)- aex+a(x1)ex , xC(0,+8).a 0,，函數(shù)f (x)在xC (0, +oo)上單調(diào)遞增.(II)證明：由(I)可知：f (x),xC (0, +8).令 g (x) = 1 - ax2ex, 0 a 0.且 g (ln-) =1-a - 1-

20、 0) , h ( x),可得 h (x) 1 時(shí)，lnxx- 1 .f (ln )= In(ln)- a(ln-1)- In (ln)- (ln-1) f (1) =0. 函數(shù)f (x)在(x0, +8)上存在唯一零點(diǎn).又函數(shù)f (x)在(0, xo)上有唯一零點(diǎn)1.因此函數(shù)f (x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；(ii)由題意可得：f ( xo) = 0, f (x1)= 0,即 a 1, lnx1=a (x1 一1), - lnx1 ,即,x 1,可得 lnxvx- 1.又 x1 x01,故 v,取對數(shù)可得：x1 - x0 2lnx0 2.【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等

21、式的解法、分 類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、構(gòu)造法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.6.設(shè)函數(shù)f (x) = excosx, g (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù).(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng) x可一，一時(shí)，證明 f (x) +g (x) ( x) 0;(出)設(shè)xn為函數(shù)u (x) = f (x) - 1在區(qū)間(2門兀2n % _)內(nèi)的零點(diǎn)，其中n CN ,證明 2njt xn.【分析】(I)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng) xC (一)(kCZ)時(shí)，f(x) 0, f (x)單調(diào)遞增；(n )記 h (x) =f (x) +g (x)(一 )，依題意及(I),得到 g (x) = ex (co

22、sx- sinx), 由 h ( x) v 0,得 h (x)在區(qū)間,一上單調(diào)遞減，有 h (x) h (一)= f (一) = 0, 從而得到當(dāng)x,一時(shí)，f(x)+g(x)(x)0;(出)依題意，u(xn) = f( xn) 1 = 0,即，記 yn=xn 2n 兀,貝U ynC(一,一),且 f(yn) = e 2n兀(xCN).由 f (yn) = e-2ny 1 = f (y0)及(I),得 yny。，由(n )知，當(dāng) xC (一，一)時(shí)，g (x)在一，一上為減函數(shù)，有 g(yn)Wg(yQ)vg (一)=0,又由(n )知，一，得一 ,從而證得 2n兀 xncosx,彳導(dǎo) f (

23、x) 0, f (x)單調(diào)遞增.f (x)的單調(diào)增區(qū)間為,一(kCZ),單調(diào)減區(qū)間為, 一(kCZ);(n )證明：記 h (x) = f (x) +g (x)(一 )，依題意及(I ),有 g (x) = ex ( cosx - sinx),從而 h ( x) = f (x) +g (x)?(-)+g (x)?( 1)=g (x) (一)v 0.因此，h (x)在區(qū)間-,一上單調(diào)遞減，有 h (x) h (一)= f () = 0.當(dāng) xq,時(shí)，f (x) +g (x) ( x) 0；(in)證明：依題意，u (xn)= f(xn) 1 = 0,即.記 yn= xn-2n 兀，貝 U ynC

24、(一,一),且 f y yn)e 1t(xCN).由 f (yn) = e 2n兀w 1 = f (yo)及(I )，得 ynyo,由(n)知，當(dāng) xe(,)時(shí)，g ( x) 0, g(x)在 ,上為減函數(shù)，因此，g (yn) Wg (yo) Vg (-) =0,又由(n)知，,故 ax,求a的取值范圍.【分析】(1)令g(x)=f(x),對g(x)再求導(dǎo)，研究其在(0,兀)上的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)值不難證明；(2)利用(1)的結(jié)論，可設(shè) f (x)的零點(diǎn)為x0,并結(jié)合f (x)的正負(fù)分析得到 f (x)的情況，作出圖示，得出結(jié)論.【解答】解：(1)證明：= f (x) = 2sinx-

25、xcosx - x,1- f ( x) = 2cosx cosx+xsinx 1=cosx+xsinx 1,令 g (x) = cosx+xsinx - 1,貝U g (x) = sinx+sinx+xcosx=xcosx,當(dāng) xC (0, )時(shí)，xcosx0,當(dāng) x C _ , 時(shí)，xcosxV 0 ,當(dāng)x 一時(shí)，極大值為g (一) 一 0,又 g (0) =0, g (兀)=2,g (x)在(0,兀)上有唯一零點(diǎn)，即f (x)在(0,兀)上有唯一零點(diǎn)；(2)由(1)知，f ( x)在(0,兀)上有唯一零點(diǎn) xc,使得 f (xQ) = 0,且f ( x)在(0, x0)為正，在(x0,兀)

26、為負(fù)， f (x)在0, x0遞增，在x0,可遞減，結(jié)合 f (0) =0, f (兀)=0,可知f (x)在0,兀上非負(fù),令 h (x) = ax,作出圖示，f (x) h (x), a w 0,和數(shù)形結(jié)合的思想方法,【點(diǎn)評】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)等問題,難度較大.8 .已知函數(shù)f (x) = lnx -(1)討論f (x)的單調(diào)性，并證明f (x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x0是f (x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A (xo, lnxo)處的切線也是曲線y= ex的切線.【分析】(1)討論f (x)的單調(diào)性，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)大致區(qū)間求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，(

27、2)運(yùn)用曲線的切線方程定義可證明.【解答】解析：(1)函數(shù)f (x) = lnx .定義域?yàn)椋?0, 1) U ( 1, +8)；f (x)- 0, (x0 且 xw 1), f (x)在(0, 1)和(1, +8)上單調(diào)遞增，在(0, 1)區(qū)間取值有一，-代入函數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義得， f(一) 0, f(一)?f(-) V0, f (x)在(0, 1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在(1, +8)區(qū)間，區(qū)間取值有 e, e2代入函數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義得，又 f (e) 0, f (e)?f (e2) 0,，f (x)在(1, +8)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故f (x)在定義域內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)； 2) x

28、0是f (x)的一個(gè)零點(diǎn)，則有 lnxc ,曲線y=lnx,則有V, 一；曲線y=lnx在點(diǎn)A (x0, lnx0)處的切線方程為：y- lnx0 一(x-xq)即：y x- 1+lnxo即：y x 而曲線y=ex的切線在點(diǎn)(ln ,一)處的切線方程為：y 一 一(x-In-),即：y 一x ,故曲線y= lnx在點(diǎn)A (x0, lnx0)處的切線也是曲線 y=ex的切線.故得證.【點(diǎn)評】本題考查f (x)的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)大致區(qū)間求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及利用曲線的切線方程定義證明.9 .已知函數(shù) f (x) -x3x2+x.(I)求曲線y = f (x)的斜率為1的切線方程；

29、(n )當(dāng) x 可2, 4時(shí)，求證：x 6 w f (x) w x;(m)設(shè) F (x) = |f (x) - (x+a) | (aCR),記 F (x)在區(qū)間-2, 4上的最大值為 M(a).當(dāng)M (a)最小時(shí)，求a的值.【分析】(I)求導(dǎo)數(shù) f (x),由f (x) =1求得切點(diǎn)，即可得點(diǎn)斜式方程；(n )把所證不等式轉(zhuǎn)化為- 6 f (x) - x 0,再令g (x) =f (x) - x,利用導(dǎo)數(shù)研究g (x)在-2, 4的單調(diào)性和極值點(diǎn)即可得證；(出)先把F (x)化為|g (x) - a|,再利用(n)的結(jié)論，引進(jìn)函數(shù)h (t) =|t-a|,結(jié)合絕對值函數(shù)的對稱性，單調(diào)性，通過對

30、稱軸t=a與-3的關(guān)系分析即可.【解答】解：(I) f (x),由 f (x) = 1得 x (x ) = 0,得 ， 一.又 f (0) =0, f (一)，y= x 和,即y=x和y=x ；(n)證明：欲證 x-6Wf (x) x,只需證-6Wf(x) - x6,g(4)= 0,x 6W f (x) x;(m)由(n)可得，F(xiàn) (x) = |f (x) - ( x+a) |=|f (x) - x - a |=|g (x) - a|.在-2, 4上，63,當(dāng)a= - 3時(shí)，M (a)取得最小值 3;當(dāng) a一3 時(shí)，M (a) = h (6) = | - 6-a|= |6+a|,-6+a3,M

31、 (a) = 6+a,也是a= - 3時(shí)，M (a)最小為3.綜上，當(dāng)M (a)取最小值時(shí)a的值為-3.【點(diǎn)評】此題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化法，數(shù)形結(jié)合法等，難度較大.10 .已知函數(shù) f (x) =sinx-ln (1+x), f (x)為 f (x)的導(dǎo)數(shù).證明：(1) f (x)在區(qū)間(-1, 一)存在唯一極大值點(diǎn)；(2) f (x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).得至IJ- 1+1結(jié)合單調(diào)【分析】(1) f (x)的定義域?yàn)?-1, +8),求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求導(dǎo), f (x)在(-1,一)上為減函數(shù)，結(jié)合 f (0) =1, f (-)= - 1 =0,由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)

32、f (x)在(-1, 一)上存在唯一得零點(diǎn) xq,性可得，f (x)在(-1, X0)上單調(diào)遞增，在(X0,-)上單調(diào)遞減，可得f (x)在區(qū)間(-1, 一)存在唯一極大值點(diǎn)；(2)由(1)知，當(dāng) xC ( 1, 0)時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增；由于f( x)在(xo,-)上單調(diào)遞減，且f( xo)0, f (一)0, f (兀)0.然后列x, f (x)與f (x)的 變化情況表得答案.【解答】證明：(1) f (x)的定義域?yàn)?-1, +8),f ( x) = cosx , f (x) =- sinx ,令 g (x) = sinx ,貝U g ( x) = cosx f( 0

33、)= 0, f(x)單調(diào)遞增；由于 f (x)在(x0, 一)上單調(diào)遞減，且 f (x0) 0, f (-)f(x1)=0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) xC (, 一)時(shí)，f( x)單調(diào)遞減，f( x)V f( x1)= 0,f(x)單調(diào)遞減.當(dāng) x C (一，兀)時(shí)，cosxv 0, 0,于是 f ( x) = cosx 1 ln (1 _)=1- ln2.61 - lne=0,f(7t) = - ln (1+兀) In3V0.于是可得下表:x(T,0)0(0, x1)x1(，)1-(一，)兀f (x)-0+0-f (x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增0單調(diào)遞減K 0單調(diào)遞減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù) f (

34、x)在(-1, 一上有且只有一個(gè)零點(diǎn) 0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，f(X)在(一，兀)上有且只有一個(gè)零點(diǎn) X2,當(dāng) xq 兀，+)時(shí)，f (x) = sinx- In (1 + x) v 1 In (1+ 兀) 1 - In3- , 0 aa 0,由極小值的定義，即可得到所求a的范圍.【解答】 解：(I)函數(shù)f (x) = ax2- (4a+1) x+4a+3ex的導(dǎo)數(shù)為f (x) = ax2- (2a+1) x+2ex.由題意可得曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線斜率為 0,可得(a2a-1+2) e=0,且 f (1) = 3ew 0,解得a= 1;(n) f (x)的導(dǎo)數(shù)

35、為 f (x) = ax2 (2a+1) x+2ex= (x 2) (ax 1) ex,若 a = 0 則 x0, f(x)遞增；x2, f ( x) 0,且 a ,則 f (x) (x-2) 2e 0, f (x)遞增，無極值；若 a ,則v2, f (x)在(，2)遞減；在(2, +) , (-,)遞增，可得f (x)在x= 2處取得極小值；若 0vav 則2, f (x)在(2,-)遞減；在(，+8),(8, 2)遞增，可得f (x)在x= 2處取得極大值，不符題意；若 a 1, 0vav1, a0,由極小值的定義，即可得到所求a的范圍.【解答】 解：(I)函數(shù)f (x) = ax2-

36、(3a+1) x+3a+2ex的導(dǎo)數(shù)為f ( x) = ax2- ( a+1) x+1ex.曲線y = f (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線斜率為 0,可得(4a - 2a - 2+1) e2= 0,解得a -；(n ) f (x)的導(dǎo)數(shù)為 f (x) = ax2 ( a+1) x+1ex = (x 1) (ax 1) ex,若 a = 0 則 x0, f(x)遞增；x1, f (x) 0,且 a = 1,則 f ( x) = ( x- 1) 2ex0, f (x)遞增，無極值；若 a1,則v1, f (x)在(，1)遞減；在(1, +8),( 8, _)遞增，可得f (x)在x= 1處取

37、得極小值；若 0vav1,則一 1, f (x)在(1, 一)遞減；在(一，+8),(巴 1)遞增，可得f (x)在x= 1處取得極大值，不符題意；若 a0,則v1, f (x)在(，1)遞增；在(1, +8),( 8, _)遞減，可得f (x)在x= 1處取得極大值，不符題意.綜上可得，a的范圍是(1, +8).【點(diǎn)評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值，考查分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題.13 .已知函數(shù) f (x) = ( 2+x+ax2) ln (1+x) - 2x.(1)若 a= 0,證明：當(dāng)1vxv0 時(shí)，f(x) 0 時(shí)，f (x) 0;(2)若x=0是f (x

38、)的極大值點(diǎn)，求 a.【分析】(1)對函數(shù)f (x)兩次求導(dǎo)數(shù)，分別判斷 f (x)和f (x)的單調(diào)性，結(jié)合 f(0) =0即可得出結(jié)論；(2)令h (x)為f ( x)的分子，令h ( 0) = 0計(jì)算a,討論a的范圍，得出f (x) 的單調(diào)性，從而得出 a的值.【解答】(1)證明：當(dāng) a= 0 時(shí)，f (x) = ( 2+x) ln (1+x) - 2x, (x 1).可得 xC( 1, 0)時(shí)，f (x) W0, xC (0, +8)時(shí)，f (x) 0 f (x)在(-1, 0)遞減，在(0, +8)遞增， f ( x) f (0) =0, .f (x) = ( 2+x) In (1

39、+ x) - 2x在(-1, +8)上單調(diào)遞增，又 f (0) =0. 當(dāng)1vxv0 時(shí)，f (x) V0；當(dāng) x0 時(shí)，f (x) 0.(2)解：由 f (x) = ( 2+x+ax2) In (1+x) 2x,得f (x) = ( 1+2ax) In (1+x) 2 令 h (x) =ax2-x+ (1+2ax) (1 + x) In (x+1),h ( x) = 4ax+ (4ax+2a+1) In (x+1).當(dāng) a0, x0 時(shí)，h ( x) 0, h (x)單調(diào)遞增，h (x) h (0) =0,即 f (x) 0, f (x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，故 x= 0不是f (x)

40、的極大值點(diǎn)，不符合題意.當(dāng) a0,當(dāng) x0 時(shí)，h (x)0,即 f (x) 0,當(dāng) x0 時(shí)，h (x) 0,即 f (x) 0, h (1) = (2a1)(1)0, h ( x)單調(diào)遞增， h (x) h (0) =0,即 f (x) 0, f (x)在(0, xq)上單調(diào)遞增，不符合題意；2若 av貝U h (0) = 1+6av0, h (- 1) = ( 1 2a) e 0, .h (x) = 0在(-1, 0)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x1，當(dāng) x1x0 時(shí)，h ( x) h (0) = 0,h (x)單調(diào)遞增，h (x) 0.【分析】(1)推導(dǎo)出x0, f (x) = aex 一，

41、由x = 2是f (x)的極值點(diǎn)，解得a , 從而f (x)ex - lnx - 1,進(jìn)而f (x)由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng) a 一時(shí)，f (x) lnx 1,設(shè) g (x) lnx 1,貝U 一 :由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng) a -時(shí)，f (x) 0.【解答】 解：(1) ,函數(shù)f (x) =aexlnx1.x 0, f (x) = aex. x=2是f (x)的極值點(diǎn)，f ( 2) =ae2 0,解得 a ，1- f (x)ex - lnx - 1,，f (x)，當(dāng) 0vxv2 時(shí)，f (x) 2 時(shí)，f (x) 0, f (x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2, +8)單調(diào)遞增

42、.(2)證明：當(dāng) a -時(shí)，f (x) lnx- 1,設(shè) g (x) lnx 1,則 -由 一0,得 x= 1,當(dāng) 0vxv 1 時(shí)，g ( x) V 0,當(dāng) x1 時(shí)，g ( x) 0, x= 1是g ( x)的最小值點(diǎn)，故當(dāng) x0 時(shí)，g (x) g (1) = 0, 當(dāng) a 時(shí)，f (x) 0.【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題.15.已知函數(shù)f (x)(1)求曲線y=f (x)在點(diǎn)(0, - 1)處的切線方程;(2)證明：當(dāng) a1 時(shí)，f (x) +e0.分析(1)由f (0) =2,可得切線斜率 k=2,即可得到切線方程.(2)可得 .可得長*)在(巴 _),(2, +8)遞減，在(2)遞增