中學學習微積分的意義ppt課件

1、中學學習微積分的意義中學學習微積分的意義天地通用微積分：是研究各種科學的工天地通用微積分：是研究各種科學的工具，是學生終生學習最重要的數(shù)學基礎具，是學生終生學習最重要的數(shù)學基礎在中學數(shù)學中，微積分是研究初等函數(shù)在中學數(shù)學中，微積分是研究初等函數(shù)和幾何問題最有效的工具：和幾何問題最有效的工具：平均值、單調性、極值、最值、求長度、平均值、單調性、極值、最值、求長度、面積、體積等面積、體積等樹立科學的世界觀，用變化的觀點觀察樹立科學的世界觀，用變化的觀點觀察世界世界中學學習微積分的方法中學學習微積分的方法直觀微積分直觀微積分通過直觀說理學習微積分，而不是不說理。通過直觀說理學習微積分，而不是不說理。

2、平均速度和瞬時速度，平均變化率和瞬時變平均速度和瞬時速度，平均變化率和瞬時變化率?；?。割線與切線斜率的計算割線與切線斜率的計算通過數(shù)值的近似計算理解微積分思想通過數(shù)值的近似計算理解微積分思想計算器和計算軟件的使用計算器和計算軟件的使用微積分編寫的指導思想微積分編寫的指導思想打破傳統(tǒng)的教學順序，越過極限理論和連續(xù)函打破傳統(tǒng)的教學順序，越過極限理論和連續(xù)函數(shù)，直取導數(shù)，然后快速攻進微積分的核心數(shù)，直取導數(shù)，然后快速攻進微積分的核心微積分基本定理微積分基本定理. 本教材從學生所喜愛的登山運動出發(fā)，創(chuàng)設學本教材從學生所喜愛的登山運動出發(fā)，創(chuàng)設學習導數(shù)的情景，以測量山頂高度為實際背景，習導數(shù)的情景，以

3、測量山頂高度為實際背景，導出微積分學基本定理導出微積分學基本定理.這種做法的理論依據(jù)僅這種做法的理論依據(jù)僅僅是中學生所熟知的直角三角形的解法僅是中學生所熟知的直角三角形的解法xxfyxkykxy)( tan0勾股定理 y x 直角三形中的邊角關系直角三形中的邊角關系教學要求教學要求理解微積分學大意理解微積分學大意1. 以運動的平均速度、曲線割線的斜率為背景，以運動的平均速度、曲線割線的斜率為背景，認識函數(shù)的平均變化率；以運動的瞬時速度和認識函數(shù)的平均變化率；以運動的瞬時速度和曲線切線的斜率為背景，認識函數(shù)的瞬時變化曲線切線的斜率為背景，認識函數(shù)的瞬時變化率，從而引出導數(shù)的概念率，從而引出導數(shù)的

4、概念.由此過程，讓學生體會導數(shù)與現(xiàn)實生活多么密由此過程，讓學生體會導數(shù)與現(xiàn)實生活多么密切，理解導數(shù)的真正含意切，理解導數(shù)的真正含意.2. 學會用導數(shù)定義，求出部分冪函數(shù)的導學會用導數(shù)定義，求出部分冪函數(shù)的導數(shù)，并記住基本初等函數(shù)的求導公式；數(shù)，并記住基本初等函數(shù)的求導公式；并會用四則運算公式和復合函數(shù)的求導并會用四則運算公式和復合函數(shù)的求導法則，求一些比較復雜的初等函數(shù)的導法則，求一些比較復雜的初等函數(shù)的導數(shù)，在求導過程中，進一步領會導數(shù)概數(shù)，在求導過程中，進一步領會導數(shù)概念的實質念的實質.3. 體會導數(shù)的重要價值：體會導數(shù)的重要價值：（1導數(shù)對人們原先難以認識的函數(shù)性質導數(shù)對人們原先難以認識

5、的函數(shù)性質和曲線的切線給出了通用的方法，使這和曲線的切線給出了通用的方法，使這些困難問題迎刃而解；同時導數(shù)可以幫些困難問題迎刃而解；同時導數(shù)可以幫助我們解決更多的數(shù)學問題；助我們解決更多的數(shù)學問題；（2導數(shù)可以解決某些現(xiàn)實生活中的優(yōu)化導數(shù)可以解決某些現(xiàn)實生活中的優(yōu)化問題，增強我們解決實際問題的能力問題，增強我們解決實際問題的能力.4. 從尋求曲邊梯形面積和變力作功出發(fā)，引出定從尋求曲邊梯形面積和變力作功出發(fā)，引出定積分概念，由此體會定積分的真正內涵；學會積分概念，由此體會定積分的真正內涵；學會對最簡單的函數(shù)求定積分例如，對最簡單的函數(shù)求定積分例如，y=c,x,x2, 1/x）；并理解如下運算：

6、）；并理解如下運算： bababadxxgmdxxfkdxxmgxkf)()()()(5通過計算山頂?shù)母叨群妥兞λ龅墓?，通過計算山頂?shù)母叨群妥兞λ龅墓?，理解微積分基本定理，并通過該定理，理解微積分基本定理，并通過該定理，認識到求導數(shù)和求積分互為逆運算，并認識到求導數(shù)和求積分互為逆運算，并會用導數(shù)公式來求定積分會用導數(shù)公式來求定積分.6 6在本章教學中，要注意讓學生體會微積在本章教學中，要注意讓學生體會微積分學在認識論上的價值，體會任何高深分學在認識論上的價值，體會任何高深的理論都源于簡單的、基本的事實；任的理論都源于簡單的、基本的事實；任何復雜的事物可以化解為一個一個的簡何復雜的事物可以化

7、解為一個一個的簡單問題；體會用微觀認識宏觀的辯證方單問題；體會用微觀認識宏觀的辯證方法法. .要讓學生了解微積分學在數(shù)學發(fā)展中要讓學生了解微積分學在數(shù)學發(fā)展中重要作用和在現(xiàn)實生活中的意義重要作用和在現(xiàn)實生活中的意義. .二、教學要點二、教學要點學習微積分的一學習微積分的一些關鍵步驟些關鍵步驟1. 對直角三角形對直角三角形ABC， tan=b/a, 斜邊斜邊c的斜率的斜率 是是 k=tan=b/a. 某人從沿某人從沿C從從A走到走到B，高度在不，高度在不斷變化，變化的快慢可用數(shù)字斷變化，變化的快慢可用數(shù)字k=b/a來描述來描述.abABC設有線性函數(shù)設有線性函數(shù) y=ax+b，其圖像是直線，其圖

8、像是直線l，從，從A沿沿l到到B，函數(shù)，函數(shù)y=ax+b的值在不斷變化，其變化快的值在不斷變化，其變化快慢仿直角三角形可用數(shù)慢仿直角三角形可用數(shù) 某人沿彎曲山路從某人沿彎曲山路從A走到走到B，高度在不斷變化，高度在不斷變化，其變化快慢如何用數(shù)量描述呢？當曲線其變化快慢如何用數(shù)量描述呢？當曲線AB非非常短時，可用割線常短時，可用割線AB近似地代表，即可用近似地代表，即可用(f(x1)-f(x0)/(x-x0) 近似描述此段山路高度的變化快慢近似描述此段山路高度的變化快慢.af(x1)-f(x0)x-x0函數(shù)的平均和瞬時變化率函數(shù)的平均和瞬時變化率函數(shù)函數(shù)f(x) 區(qū)間區(qū)間x0, x1的平均變化率

9、是的平均變化率是教材中以運動員跳水為例進行了計算瞬教材中以運動員跳水為例進行了計算瞬時變化率時變化率f(x1)-f(x0)x-x0f(x1)-f(x0)x-x0l曲線切線的斜率曲線切線的斜率y /x當當x0時，時，B Ay /x k就是切線就是切線l的斜率的斜率ABlxy簡單初等函數(shù)的導數(shù)簡單初等函數(shù)的導數(shù)c=0, x=1, (x2)=2x, (3/2 x) =3/2 x1/2, (sin x)=cos x, (cos x)=-sinx, （ex) = ex (ln x)=1/x.兩函數(shù)之和、差、積、商求導兩函數(shù)之和、差、積、商求導掌握基本初等函數(shù)的求導公式是非常掌握基本初等函數(shù)的求導公式是非

10、常必要的，同時要記住兩函數(shù)之和、之積、必要的，同時要記住兩函數(shù)之和、之積、之商的求導公式之商的求導公式.運用這兩方面的結果，可運用這兩方面的結果，可以求出許多較為復雜函數(shù)的導數(shù)以求出許多較為復雜函數(shù)的導數(shù).兩點補充兩點補充（1要理解復合函數(shù)的求導公式要理解復合函數(shù)的求導公式 y=f(u), u=g(x) fx (g(x)= fu gx (x). y=k1u, u=k2x y=k1k2x 2.直觀理解sin x和cos x的 導數(shù)xOABCOBC OAB扇形扇形OAB1/2sin xcos x1/2sin x1/2xsin xcos xsin xxxxxOABCDcossin)sin(xxxxx

11、BCcoscos E對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)lnx的導數(shù)的導數(shù)xtxttxtxxxxxxxxxxxxxytx1)1ln(1)1ln(111lnln1ln)ln(1導數(shù)應用導數(shù)應用費馬定理作奠基費馬定理作奠基如果函數(shù)如果函數(shù)f(x) 在在x=x0 附近是可導的，而附近是可導的，而且均有且均有f(x)f(x0) （或（或f(x)f(x0)），則必有），則必有f(x0)=0.f(x0)=0是是x0為極值點的必要條件，于為極值點的必要條件，于是極值點必在是極值點必在f(x)=0的解之中的解之中.人們一般稱人們一般稱使使f(x)=0的點為駐點，極值點必在駐點之的點為駐點，極值點必在駐點之列列.直觀說明用導數(shù)判定

12、函數(shù)的增減性和極直觀說明用導數(shù)判定函數(shù)的增減性和極值的判定值的判定如果在如果在x= x0附近，有附近，有f(x0)0） (或或f(x0) 0)，函數(shù)，函數(shù)f(x) 在在x0 附近是增加的附近是增加的或減少的）；或減少的）；若若y=f(x)的圖像在的圖像在a, b上是一條連續(xù)上是一條連續(xù)不斷的曲線，不斷的曲線，f(x) 在在a, b必有最大值與必有最大值與最小值最小值.解極值問題解極值問題例例1 求求f(x)=(x-1)2x2-(3a+4)x+9a-4在區(qū)間在區(qū)間 0， 3的最大值與最小值，其中常數(shù)的最大值與最小值，其中常數(shù)a滿足滿足0a2.例例2 在直徑為在直徑為1 m的圓桌正上方安裝一吊燈，

13、的圓桌正上方安裝一吊燈，桌面照度桌面照度y=ksin(/r),其中其中r是燈與被照點的是燈與被照點的距離，距離，是光線與桌面的夾角是光線與桌面的夾角.為使桌邊最亮，為使桌邊最亮，吊燈應離桌面多高吊燈應離桌面多高.例例3 設設 a、b、c為正數(shù)，那么為正數(shù)，那么33abccba.2 . 0)()(3)( 0232cbxxcbxcbXxf解得解f(x)無最大值無最大值,有最小值有最小值,最小值為最小值為f(x0)4定積分源于面積問題定積分源于面積問題如果學生問，矩形面積為什么等于長乘寬？如果學生問，矩形面積為什么等于長乘寬？其實這問題連大學生也未必能回答其實這問題連大學生也未必能回答.至于曲線形面

14、至于曲線形面積是什么，更是一個艱難的問題積是什么，更是一個艱難的問題.如今，我們姑且如今，我們姑且承認矩形面積公式，在直觀的基礎上，認識曲邊承認矩形面積公式，在直觀的基礎上，認識曲邊形面積，最簡單的曲邊形是互相垂直的直線段，形面積，最簡單的曲邊形是互相垂直的直線段，另一邊是曲線段另一邊是曲線段.例如由例如由y=x2，y=0, y=1所圍的曲邊三角形所圍的曲邊三角形.它的面積是一個客觀存在，它的面積是一個客觀存在，記為記為S，S是常數(shù)是常數(shù).將底邊將底邊n等分，曲線之下各大小等分，曲線之下各大小矩形面積之和矩形面積之和,當當n趨向于無窮時趨向于無窮時,極限應存在極限應存在.通過求曲邊梯形的面積理解定積分和通過求曲邊梯形的面積理解定積分和微積分基本定理