概率論與數理統(tǒng)計浙江大學習題答案

1、概率論與數理統(tǒng)計第一章習題參考解答1、 寫出下列隨機試驗的樣本空間。（1） 枚硬幣連擲三次，記錄正面出現(xiàn)的次數。（2） 記錄某班一次考試的平均分數（百分制記分）（3） 對某工廠出廠的產品進行檢驗，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出 2 個次品就停止檢查，或檢查 4 個產品就停止檢查，記錄檢查的結果。（4） 在單位圓內任取一點，記錄它的坐標。解：（1） S = 0,1,2,3，（2）S =k/n:k=0,1,2,··· ,100n，其中 n 為班級人數，（ 3） S = 00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,01

2、11,1101,1110,1111 ，其中表示次品，1 表示正品。（4） S = (x, y) x2 + y2 < 12、設 A、B、C 為三事件，用 A、B、C 的運算關系表示下列各事件（1）A、B、C 中至少有一個發(fā)生0（2）A、B、C 中恰好有一個發(fā)生（3）A、B、C 都不發(fā)生（4）A、B、C 中不多于一個發(fā)生（5）A、B、C 中不多于兩個發(fā)生解：（1） A È B È C（2） ABC È ABC È ABC（3） A B C錯解 ABC = A U B U C（4）即至少有兩個不發(fā)生 A B È A C È B C（5

3、）即至少有一個不發(fā)生 ABC = A U B U C2、 指出下列命題中哪些成立，哪些不成立。（1）成立， （2）不成立， （3）不成立，（4）成立（5）成立，（6）成立（7）成立（8）成立4、把 A È B È C 表示為互不相容事件的和。解： (A - AB)È (B - BC )È (C - CA)È ABC答案不唯一5、設 A、B 是兩事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7。問（1）在什么條件下 P（AB）取到最大值？最大值是多少？（2）在什么條件下 P（AB）取到最小值？最小值是多少？（1） A Ì B 時， P( A

4、B) = 0.6 為最大值，因為 A、B 一定相容，相交所以 A 和 B 重合越大時 P（AB）越大（2） A È B = S 時，P（AB）=0.3 為最小值6、若事件 A 的概率為 0.7，是否能說在 10 次實驗中 A 將發(fā)生 7 次？為什么？答：不能。因為事件 A 發(fā)生的頻率具有波動性，在一次試驗中得出的頻率并不一定正好等于事件 A 發(fā)生的概率。7、從一批由 1100 件正品，40（1） 求恰有 90 件次品的概率（2）00 件。C90C 200+（2）1 - 1100（1） 40，CC8、在房間里有 10 個人，分別佩帶從 1 號到 10 號的紀念章，任選 3 人記錄其紀念

5、章的號碼。（1） 求最小號碼為 5 的概率。（2） 求號碼全為偶數的概率。C 2112（1）最小號碼為 5，即從 6、7、8、9、10 里選兩個，所求概率為 5 =C310C3112（2）號碼全為偶數，即從 2，4，6，8，10 里選三個，所求概率為 5 =C3109、在 0，1，2，3，.，9 共 10 個數字中，任取 4 個不同數字排成一列，求這 4 個數字能組成一個偶數四位數的概率。解：設事件“組成一個偶數四位數”為 A任取 4 個不同數字排成一列共有： A4 種10解法一組成一個偶數四位數有A1 A1 A2A1A1A2 + A1 A1 A241×8 × 741首位奇

6、:首位偶:P( A) = 5 5 84 4 8 =5 5 8A410 × 9 ×8 × 790A1 A1 A24 4 810解法二分末位 0 和末位不為 0 兩種，組成一個偶數四位數有C1C1A2 + A3 種4 8 89C1C1 A2 + A34190P( A) = 4 2 89 =A410錯誤:認為樣本空間也為四位數,實際只要求是一列. 10、求 10 人中至少有兩人出生于同一月份的概率。解：10 人中至少有兩人出生于同一月份的概率為:C1010!1 - 12=0.996121011、從 5 雙不同的鞋中任取 4 只，求這 4 只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率

7、。解：從 5 雙鞋中取 4 只，至少配成一雙的概率為：C1C 2 22 + C 2C 4 24C1C 2 - C 2或 1- 5或 5 45 5 85 C 4C 4C 410101012、將 3 個球隨機的放入 4 個杯子中，求杯子中球的最大個數分別為 1，2，3 的概率。A3616解：杯中最多有一個球時，概率為 4 =;43C杯中最多有兩個球時，概率為;C3C11杯中最多有三個球時，概率為 3 4 =;431613、某貨運碼頭近能容一船卸貨，而甲乙兩船在碼頭卸貨時間分別為 1 小時和小時。設甲乙兩船在 24 小時內隨時間可能到達，求它們中任何一船都不需等待碼頭空出的概率。解：設 X、Y 分別

8、為甲乙兩船到達的時刻而甲到乙未到應滿足Y - X³ 1而乙到甲未到應滿足 X - Y ³ 2所以它們中任何一船都不需等待碼頭空出的概率為24 ´ 24 - 1 ´ 22 ´ 22 - 1 ´ 23 ´ 23P =22=0.879324 ´ 2414、從區(qū)間（0，1）內任取兩數，求這兩個數的積小于 1/4 的概率。解：設從區(qū)間（0，1）所取兩數為 X、Y3p311 -´´´14， P =2424= 0.56要使 XY1或者 P =ln 215、隨機地想半圓0 < y <2ax

9、 - x 2 (a 為正常數）內擲一點，點落在半圓內任何區(qū)域的概p率與區(qū)域的面積成正比，求從原點到該點的連線與 x 軸正向的夾角小于 的概率。4解：如圖半圓區(qū)域為樣本空間 S 對平方移項(x-a)2+y2=a2，p事件“與原點連線與 0x 軸的夾角小于 ”為 A4A 為如圖陰影部分（藍色）a211其中 m(s) =a p ， m( A) =p +a22242 P( A) = m( A) = 1 + 1m(s)2p16、已知 P(A ) = 0.3, P(B) = 0.4 ， P(AB ) = 0.5 ，求 P(B A È B )解：Q P( AB) = P( A) - P( AB )

10、 =0.7-0.5=0.2P( AB)P( AB)0.2 P(B A È B ) =0.250.7 + 0.6 - 0.5P( A È B )P( A) + P(B ) - P( AB )1 1 118、三個人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為 , ,。求密碼被破譯5 3 4的概率。解：設 AI ="第i個人能破譯"，則所求為 P( A1 È A2 È A3 )P( A È A È A ) = 1 - P( A )P( A )P( A ) = 1 - 4 ´ 2 ´ 3 = 0.6

11、12312353419：設有 4 張卡片分別標以數字 1，2，3，4，今從中任取一張。設 A 表示事件“取到標有1 或 2 的卡片”，B 表示事件“取到標有 1 或 3 的卡片”，C 表示事件“取到標有 1 或 4 的卡片”。驗證P( AB) = P( A)P(B)，P( AC) = P( A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)P( A)P(B)P(C) ¹ P( ABC)1111解：顯然 P( A) = P(B) = P(C) =，P( AB) =, P(BC) =， P( ABC) =,2444 P( AB) = P( A)P(B) = 1 , P( AC) = P( A

12、)P(C) = 1 , P(BC) = P(B)P(C) = 14441而 P( A)P(B)P(C) =¹ P( ABC)820、某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號。求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率。解：設 A=“在三次內能撥通電話”，Ai =" 第 i 次能撥通電話“i=1，2，3，則 A = A1 È A1 A2 È A1 A2 A3P( A) = P( A1 ) + P( A1 A2 ) + P( A1 A2 A3 )= P(+ PA1+ P A1A2A2A1A3A1 A21310=+10=21、一批零件共 100 個,其中

13、次品 10 個.每次從其中任取一個零件,取出的零件不再放回, (1)求第三次才取到正品的概率;(2)求第三次取到正品的概率.解：設 Ai=“第 i 次取到正品”i=1，2，3，A=“第三次才取到正品”，B=“第三次取到正品”（1）所求為 P( A) = P( A1 A2 A3 )2181 = 0.008399 98 00 300解法一P( A1 A2 A3 )解法二P( A1 A2 A3 ) = C解法三用乘法公式 P( A1 A2 A3 ) = P( A3 | A1 A2 )P( A1 A2 )= P( A3 | A1 A2 )P( A2 | A1)P( A1 )= 90 ´ 91

14、0´= 0.008349899100解法一 直接計算法樣本空間的取法:C1 C1 C1B = A A A U A A A U A A A U A A A100 99 981 2 31 2 31 2 31 2 3A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2)3然后利用加法公式和乘法公式1C1 C1 C1C1 C1 C189 90 10 8910 90 89 +=0.892C1CC C CC C CC9800解法二用全概率公式：一、二兩次取球情況有A1 A2 ,A1 A2 ,A1 A2 ,A1A2 ，構成了樣本空間的一個劃分令 B1 = A1 A2 ,(B) = P(B2 = A1

15、A2 ,B3 = A1 A2 ,B4 = A1 A2) + P(B )P( A B ) + P(B )P( A)+C=0.89222、設有甲、乙兩袋，甲袋中裝有 n 只白球、m 只紅球；乙袋中裝有 N 只白球、M 只紅球。今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球。求從乙袋中取到白球的概率。解：設 A=“從甲袋中取出白球一只”，B=“從乙袋中取到白球”用全概率公式：P(B）= P( AB) + P( AB)= P( A)P(B A) + P( A)P(B A)C1C1C1C1n(N + 1) + mN=n ×N +1 +m ×N=(m + n)(N + M +

16、 1)C1C1C1C1n + mN + M +1n + mN + M +123、如圖,1,2,3,4,5 表示繼電器接點.假設每一繼電器接點閉合的概率為 p,且設各繼電器接點閉合與否相互獨立,求 L 至 R 是通路的概率. 解法一: 設事件“L 至 R 是通路”為 ABi 為事件“i 接點閉合”,i=1,2,5P( A) = P( A | B3 )P(B3 ) + P( A | B3 )P(B3 ) 其中 P( A= P(B1 È B4 )P(B2 È B5 )= 1 - P(B )P(B )1 - P(B )P(B ) = 1 - (1 - p)2 2 = p2 (2 -

17、 p)21425P( A | B ) = P(B B ) È (B B ) = 1 - P(B B )P(B B ) = = 1 - (1 - p2 )2 = 2 p2 - p431 24 51 24 5 P( A) = p3(2 - p)4 + (2 p2 - p4 )(1 -p3 + 2 p2解法二： A, Bi同解法一A = (B1 È B4 )(B2 È B54 B1 B5 B3P( A) = P(B)= P(B È B )P(BÈ B ) - 2 p2 (1 - p)31425= 1 - (1 - p)2 2 - 2 p2 (1 -

18、p)3 = 2 p5 - 5 p4 + 2 p3 + 2 p224、甲、乙、丙同時向飛機射擊，三人中命中率分別為 0.4,0.5,0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為 0.2,被兩人擊中而擊落的概率為 0.6,若被三人擊中,飛機必定被擊落.求飛機被擊落的概率.解： 設 Ai=“飛機被 i 人擊中”，i=1，2，3 B=“飛機被擊落”用全概率公式P(B）= P( A1B È A2 B È A3 B) = P( A1B) + P( A2 B) + P( A3 B)= P( A1 )P(B A1 ) + P( A2 )P(B A2 ) + P( A3 )P(B A3 )（1）設

19、 D 甲=“飛機被甲”，D 乙“飛機被乙”，D 丙“飛機被丙”則 P( A1 ) = P(D甲D乙D丙 È D甲D乙D丙 È D甲D乙D丙）= P(D甲D乙D丙）+由于甲乙丙的射擊是相互+ P(D甲D乙D丙）P （ D 甲 D 乙 D 丙 )的， P( A1) =P(D甲)P(D乙)P(D丙）+P （ D 甲 ) P ( D 乙 ) P ( D 丙 )+ P(D甲)P(D乙)P(D丙）= 0.4 ´ 0.5 ´ 0.3 + 0.6 ´ 0.5 ´ 0.3 + 0.6 ´ 0.5 ´ 0.7 = 0.36同理求得 P

20、( A2 ) = 0.41P( A3) = 0.14代入（1）式 P(B) = 0.36 ´ 0.2 + 0.41´ 0.6 + 0.14 ´1 = 0.45825、已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者.今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人,恰好是色盲患者,求此人是的概率.解:設 A=”抽出的是所求為 P( A B)” ,B=”抽出的是色盲”用貝葉斯公式1 ´ 5P( A)P(B A)P( AB)2100P( A B) =P(B)P( AB È AB)P( AB) + P( AB)1 ´ 5=2100= 0.

21、951 ´ 5 + 1 ´ 0.252100210026、甲乙丙三人向靶子各射擊一次,結果有 2 發(fā)別為 4/5,3/4,2/3,求丙脫靶的概率.靶子.已知甲乙丙靶子的概率分解:分別為 A,B,C設甲，乙，丙靶子的P(CD)“2 發(fā)靶子”為 D ，則所求為：P(CD)P(D | C)P(C)4 ´ 3 =5435P(C | D) =P(D | C) =P(D | C)P(C) + P(D | C)P(C)P(D)P(D | C) = P( AB È BA | C) = P( AB È BA) = P( AB) + P(BA)= 1 ´

22、 3 + 4 ´ 17=5454203 ´ 1P(C | D) =53=3 ´+´概率論與數理統(tǒng)計習題二參考答案1、將一顆骰子拋擲兩次，以X1表示兩次所得點數之和，以X2表示兩次得到的點數的最小者，試分別求X1和X2的分布律。解：X1可取 2、1、4、5、6、7、8、9、10、11、12P( X = 2) = P(1,1) = 1 ´ 1 =116636P( X = 3) = P("1,2"È"2,1") = 1 ´ 1 + 1 ´ 1 =216666363P( X = 4)

23、 = P("1,3"È"2,2"È"3,1") =136所以X1的分布律為X2可取的數有 1、2、1、4、5、61136P（X =1）=P（ "1,1"È"1,2"È"1,3"È"1,4"È"1,5"È"1,6"È"2,1"È"3,1"È"4,1"È

24、"5,1"È"6,1" ）=2所以X2的分布律為2、10 只產品中有 2 只是次品，從中隨機地抽取 1 只，以 X 表示取出次品的只數， 求 X 的分布律。解： X 可取 0、1、2C37 = 0 8 PXC31510PX=PX =1、進行重復獨立試驗。設每次試驗成功的概率為 p(0 < p < 1)（1） 將試驗進行到出現(xiàn)一次成功實驗為止，以 X 表示所需試驗的次數，此時稱 X 服從參數為 p 的幾何分布。求 X 的分布律。（2） 將試驗進行到出現(xiàn)r 次成功為止，以Y 表示所需試驗的次數，此時稱Y 服從參數為r 、 p 的巴斯卡分

25、布。求Y 的分布律。解：（1） PX（2） PX= k = p(1 - p)k -1, k = 1,2,.（k-1 次未成功，最后一次成功）= k = Cp (1 - p), k = r, r + 1,.r -1 rk - rk -1X2121456Pk11/169/167/165/161/161/16X121456789101112Pk1/16 2/16 1/164/165/166/165/164/161/162/161/164、下列表中列出的是否是某隨機變量的分布律？解：（1）是（2）不是，因概率之和不為 1的分布律為 PX = k = a , k = 1,2, N5、（1）設隨機變量 X

26、試確定常數 aNæ 2 ök（2）設隨機變量 X 的分布律為 PX= k = b × ç÷, k = 1,2.è 3 ø試確定常數 b× lk= k = c, k = 0,1,2.l > 0 為常數，（1）設隨機變量 X 的分布律為 PXk!試確定常數cN解：（1） åk =1N= k = å= a = 1，a a = 1PXk =1 N2b3æ 2 ök¥¥12（2） å Pk =1= k =bk =1å× ç

27、;÷= 2b = 1， b =X233èø1 -× lk¥å¥= k = åc=l-lce = 1 ， c = ePX（1）k!k =0k =0k154、設隨機變量 X 的分布律為 PX = k =, k = 1,2,3,4,5其分布函數為 F (x) ，試求：（1） Pì1 < X <5 ü，£ 2，（1） F æ 1 ö（2） P1 £ Xç ÷5í 22 ýîþè &#

28、248;解：（1） Pì1 < X < 5 ü = PX = 1+ PX12 = 1= 2 =+í 22 ýîþ1515512 = 1（2） P1 £ X £ 2 = PX = 1+ PX = 2 =+15155（1） F æ 1 ö = Pí X £ 1 ü = 0ìç ÷55 ýè øîþ7、一大樓裝有 5 個同類型的供水設備。調查表明在任一時刻t 每個設備被使用的概率為

29、0.1 ，求在同一時刻X-101Pk0.20.10.4X121Pk0.40.50.1（1）（2）（1）恰有兩個設備被使用的概率； 至少有 1 個設備被使用的概率；至多有 1 個設備被使用的概率。解：設 X 表示設備被使用的個數則 X b(5,0.1)（1） PX = 2 = C () (0.9) = 0.07292230.15（2） px ³ 1 = 1 - PX = 0 = 1 - 0.95 = 0.4095（1） px £ 3 = 1 - PX = 4- PX = 5 = 1 - C () (0.9) -C () = 0.99954415450.10.1558、甲、乙兩

30、種味道的酒各 2 杯,顏色相同。從中挑 2 杯便能將甲種酒全部挑出， 算是試驗成功.(1)某人隨機地去挑,問他試驗成功的概率是多少？(2)某人通過品嘗區(qū)分兩種酒,他連續(xù)試驗 10 次,結果成功 1 次，問此人是否確有品嘗區(qū)分的能力？(設各次實驗相互獨立)11解:(1)所求概率為:=C 4708(2)令試驗 10 次中成功次數為 X ，則 X b(10, 1 ) ，70PX = 3 = C3 ´ ( 1 )3 ´ ( 69 )7 » 3.16 ´10-4 顯然X = 3是一小概率事107070根據小概率事件實際不可能發(fā)生原理,可以認為此人有一定品嘗區(qū)分能力

31、. 9、某商場每月銷售某商品的數量服從參數為 1 的泊松分布。問在月初進貨時要進多少此種商品，才能保證此商品當月不脫銷的概率為 0.999? 解：設 X 表示當月銷售量，則要使e -3 3kxå= 0.999k!k =0e -3 3k+¥查表得 å= 0.000292 < 1 - 0.999 = 0.001k!k =11所以在月初進貨時要進此種商品 10 件，才能保證此商品當月不脫銷的概率為 0.999。10、每年襲擊某地的臺風次數近似服從參數為 2 的泊松分布。求一年中該地區(qū)受臺風襲擊次數為 13 的概率。解：設 X 表示每年襲擊某地的臺風次數P3

32、63; X £ 5 = PX £ 5- PX £ 2=1 - PX ³ 6- (1 - PX ³ 3)= (PX ³ 3) - PX ³ 6e-4 4ke-4 4k+¥= å+¥- å=0.76189-0.21287=0.527027k!k!k =3k =6所以一年中該地區(qū)受臺風襲擊次數為 15 的概率為 0.52702711、有 10 臺機床，每臺發(fā)生故障的概率為 0.08, 而 10 臺機床工作獨立，每臺故障只需一個維修工人排除。問至少要配備幾個維修工人，才能保證有故障而不能及時排

33、除的概率不大于 5%。解：隨機變量 X 示發(fā)生故障的機床的臺數則設配備n 個維修工人(0 £ n < 10)則“有故障而不能及時排除”事件為X B(10,0.08)lke-l+¥å10å PX > n =C (0.08) (0.92)10(l = 0.8) 查表X > n10- k»kkk!k = n +1k = n +1n + 1 = 3, n = 2 時PX > 2 = 0.0474 < 0.05PX > 1 = 0.551 > 0.05所以至少要配備 2 個維修工人12、有一繁忙的汽車站，每天有大

34、量的汽車通過。設每輛汽車在一天的某段時間內出事故的概率為 0.0001。在某天的該時間內有 1000 輛汽車，問出事故的次數不小于 2 的概率為多少？解：設出事故的次數為 X，所求為 PX ³ 3l = np = 3000 ´ 0.0001 = 0.3n = 1 時0.3k e -0 3+¥åX ³ 3= 0.0036P=k!k =3所以出事故的次數不小于 2 的概率為 0.0016(1)設 X 服從二項分布，其分布律為 PX = k= Cp (1 - p)n-kkknK=0，1，2，n，問 K 取何值時 PX = k最大？ = lke-lX

35、= k（2）設 X 服從泊松分布，其分布率為 p，k=0，1，2k!問 K 取何值時 PX = k最大？C P (1 - p) PX = k n-kkk（1） 解： M = =n()X = k -1Ck -1 Pk -1 1 - Pn-k +1Pn= (n -1 + k )Pkq + (n -1 + k )P - kq kq=kq= 1 + (n + 1)P - (p + q)kkq k < (n + 1) p時,M > 1M = 1 ，此時 PX = k = PX = k -1M < 1k = (n + 1) p時,k > (n + 1) p時,ì(n +

36、1)p -1, (n + 1) p, 若(n + 1) p為整數所以當k = íî （n + 1）p，若（n + 1）p為非整數（2）對于泊松分布 P(l) ，由 P(k; l) = l , k = 2,3.P(k - 1; l)k當k < l 時， P(k - 1; l) < P(k; l)可知當k > l 時， P(k - 1; l) > P(k, l)當k = l 時， P(l, l) = P (l - 1; l)故可得：泊松分布的通項 P(k; l) 當k 由0 變到l時，單調上升，并且在k = l時，達到最大值 P(l; l) ；當k 超過

37、l 繼續(xù)變動時， P(k; l) 單調下降，即k = ìl, l -1, 若l為整數15、寫出泊松分布和二項分布的分布函數 16、設í l, 若l為非整數îx < 00 £ x < 1x ³ 1ì 0ïF (x) =Ax2連續(xù)型隨量X 的分布函數為í求ï 1î(3) PX < 1/ 2 ； PX > 3 / 2；(1)常數 AP0 £ X £ 2。(2)概率密度函數解法一：由于連續(xù)型隨量 X 的分布函數是連續(xù)的x < 00 £ x &l

38、t; 1x ³ 1ì0lim Ax2 = Af (x) = F '( X ) = ï2x 1 = F（1）= lim F (x) =x ¾¾® 1íx ¾¾® 1ï 0î1 / 21 / 2PX < 1/ 2 = ò f (x)dx = ò 2xdx =1/ 4 或 PX < 1/ 2 = F (1/ 2) = 1/ 4-¥0¥¥PX > 3 / 2 = ò f (x)dx = ò

39、 0dx = 0 或3 / 23 / 2PX > 3 / 2 = 1 - PX £ 3 / 2 = 1 - F (3 / 2) = 1 -1 = 0212P0 £ X £ 2 = ò f (x)dx = ò 2xdx + ò 0dx = 1或001P0 £ X £ 2 = F (2) - F (0) = 1 - 0 = 1x < 0ì 0解法二： f (x) = F '( X ) = ï2 Ax0 £ x < 1x ³ 1íï0&

40、#238;+¥1òò由 1 =f (x)dx = 2Axdx =AA = 1 其它同解法一-¥00 < x £ 11 < x £ 2其它ìx量 X 的概率密度為: f (x) = ï2 - x17、已知隨íï0î求(1)分布函數 F ( X )(2) PX < 0.5,PX > 1.3,P0.2 < Xx< 1.2ò(1) F (x) = PX£ x =f (x)dx解:-¥x £0 0< x £

41、;1£ 2x > 2ì0ïxò=2xxdxï 02=íïï1(ò= 201x+ 0dx=1òïî0122)解法一 PX < 0.5 = F (0.5) = 1/ 8æö1.322PX > 1.3 = 1 - F (1.3) = 1 - ç 2 ´1.3 -è-1÷ =0。245øP0.2 < X < 1.2 = F (1.2) - F (0.2) = 0.66:分別求積分0 5

42、1 2òòò, PX < 0.5 =f (x)dx, P0.2 < X < 1.2 =f (x)dx,-¥0 218、設隨機變量 X 服從參數為的q 指數分布,確定常數 c,使 PX>C= 12ìqe-qx , x > 0解：指數分布的密度函數為 f (x) = íî0, x £ 0PX > c = 1 - PX £ c = 1 -f (x)dxcò-¥0-¥còò= 1 -f (x)dx -f (x)dx0= 120c

43、òò= 1 -0dx -q-qxedx = e-cq-¥0 c = ln 2q19、某種電子元件的壽命 X (以小時計)具有以下概率密度ìï1000 ,x > 1000其他f (x) = íïîx 20,現(xiàn)有一大批此種電子元件(是否損壞相互獨立),從中任取5 只,求至少取得0 只其壽命大于 1500 小時的概率.解；此相當于五重貝努利試驗，用 x 表示壽命大于 1500 小時的只數Px > 1500 = 1 -10001500òò= 1 -f (x)dx -f (x)dx-¥

44、;1000= - òdx - òdxx23=則 PX ³ 2 = 1 - PX= 0- PX = 1= 232= 1 - C24300、設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間 X (以分計)服從指數分布, 其概率密度為ìï1 e- x / 5x > 0其它f (x) = í5ïî 0某顧客的習慣是,等待時間超過10 分鐘便離開,現(xiàn)知他一個月要到銀行5 次,求他受到服務的次數不少于 1 的概率.分析: 顧客一個月到銀行 5 次，每去一次只有兩種結果：受到服務和沒受到服務，所以相當于 5 重貝努利試驗等待 10 分鐘

45、受到服務的事件記為 A = X £ 1011010òòP( A) = PX £ 10 =f (x)dx =edx = 1 - e- x / 5- 25-¥0設顧客一個月內受到服務的次數為Y 要求的是 PY ³ 1Y b(5,1 - e-2 ) PY ³ 1 = 1 - PY = 0 = 1 - (e(-2) )5 » 0.99821、設 X N (3,22 ) ，求(1).P2<x £ 5;P-4<x £ 10;P x >2,Px>3(2)確定 c 使 Px>c=P

46、x £ c.解：（1） P2 < X £ 5 = Fæ 5 - 3 ö - Fæ 2 - 3 ö = F(1) - Fæ- 1 öç÷ç÷ç÷è2øè2øè2 ø= 0.8413 -1 + 0.6915 = 0.5328£ 10 = Fæ 10 - 3 ö - Fæ - 4 - 3 öP- 4 < Xç÷ç

47、÷è2øè2ø= F(3.5) - F(- 3.5) = 2F(3.5)-1 = 0.9996> 2= PX < -2ÈX > 2 = PX < -2+ PX > 2PX= Fæ - 2 - 3 ö + 1 - Fæ 2 - 3 öç÷ç÷è2øè2ø= F(- 2.5)+ 1 - F(- 0.5)=0.6977£ 3 = 1 - Fæ 3 - 3 ö =

48、1 - 0.5 = 0.5PX > 3 = 1 - PXç÷è2ø（2） Q PX > c = PX £ c1 = 2PX £ c1 - PX £ c = PX 1£ c= PX £ c2即Fæ c - 3 ö = 1 c - 3 = 0 Þ c = 3ç÷è2ø2222、由某機器生產的螺栓的長度(cm)服從參數 = 10.03,s =0.06 的正態(tài)分布。規(guī)定長度在 10.03 ± 0.12 內為合格品。任取一螺

49、栓，求其不合格的概率. 解：設螺栓的長度為 X所求概率為1 - P10.05 - 0.12 < X £ 10.05 + 0.12= 1 - Fæ 10.05 + 0.12 - 10.05 ö + Fæ 10.05 - 0.12 - 10.05 öç÷ç÷è0.06øè0.06ø= 1 - Fæ 0.12 ö + Fæ- 0.12 ö =0.0236ç÷ç÷è 0.06 &

50、#248;è0.06 ø所以不合格率的概率為 0.0236.21、某廠生產的某種建筑材料的強度 X 服從參數為m = 180 ,s = 10 的正態(tài)分布.一購貨方在一大批材料中任取了 10 件,聲稱有多于 2 件的材料強度低于 160 便拒絕接收.問這批材料被接收的概率是多少?解：用 x 表示材料的件數PX ³ 160 = Fæ 160 - 180 ö = 1 - F(2) = 0.0228ç÷è10ø則 x 服從參數為np = 10 ´ 0.0228 » 0.2 的泊松分布所求為1

51、- Px ³ 3 ，查表得1 - Px ³ 3 = 1 - 0.0011 = 0.998922、求標準正態(tài)分布上分位點。（1）z0.01 ,（2）z0.003解PX > z0 01 = 0.01,即PX £ z0 01 = 1 - 0.01 = 0.99F(z0 01 ) = 0.99查表得z0 01 = 2.33.同理得z0 003 = 2.7523、28、11、盒子里裝有 1 只黑球,2 只紅球,2 只白球.在其中任取 2 只球,以 X表示取到黑球的只數,以Y 表示取到紅球的只數. (1)求 X 、Y 的聯(lián)合分布律(2)求( X 、Y )的邊緣分布律(1

52、) X 、Y 是否相互獨立解：（1）(3) PX = 1,Y = 2 = 12 / 35, PX = 2 = 18/ 35 ， PY = 1 = 4 / 772 ¹ 1284PX = 2 PY = 1=24535245所以 X 與Y 不相互獨立.06、設隨機變變（ X ， Y ）的概率密度為ìke-3x-4 yx > 0, y > 0其他f (x, y) = íî0,求（1）常數k ；（0）P0<x<1,0<y<0;(3)分布函數。設隨機變變（ X ，Y ）的概率密度為ìx 2 + xy / 3,0 

53、3; x £ 1,0 £ y £ 2f (x, y) = íî，求 px+y ³ 1。設二維隨機變變（ X ，Y ）0,其他的概率密度為ìe- y0 < x < yf (x, y) = = í，求邊緣概率密度。î0, 其他30、33、如右圖，設二維隨機變變( X 、Y )的概率密度為ìï3< y < xf (x, y) = í2(1)求邊緣概率密度ïî0其它(0) X 、Y 是否相互獨立.+ x+ x 3時 f (x) =f (x,

54、 y)dy =xdy = 3x2+¥f (x) =f (x, y)dyòòò當 0 < x < 1XX-¥- x- x2< 1其它f (Xî+¥同理fY ( y) = ò-¥ f (x, y)dx 當 - 1 < y < 1時ìï 3 (1 - y2 )330 < x < 1其它1òf ( y) =xdx =(1 - y ) fY ( y) = í42Y24| y|ïî0ìï9 x2

55、(1 - y2 )0 < x < 1 且 -1 < y < 1(0)f X (x) fY ( y) = í4ïî0其它顯然 f X ( X ) fY (Y ) ¹ f ( X ,Y )X0103p1/3310/3318/334/33X 與Y 不是相互獨立的.32、設（X、Y）分布規(guī)律為問 、 b 取何值時，X，Y 相互獨立？解：先求邊緣分布律即得：21a =， b =時 X 與Y 相互獨立 34、設 X 、Y 是相互獨立的隨機變量，且都服99+ Y = 0 有實根的概率.從（0,1）上的均勻分布。試求方程分析:+ Y = 0 有實

56、根Û X 2 - 4Y 2 ³ 0所以,所求為 PX 2 - 4Y 2 ³ 0這樣,該題可看作二維隨機變量( X 、Y )的概率計算,先求( X 、Y )的聯(lián)合概率密度. 由已知f ( y) = ì10 < y < 1其它f (x) = ì10 < x < 1其它íí 0X與Y相互獨立YX0îî0 < x < 1 且 0 < y其它f (x, y) = f (x) f ( y) = ì1í 0XYîPX 2 - 4Y ³ 0 = òò f (x, y)dxdyG 11221x / 4òòòò=dxdy =dxdy =00G135、設 X、Y 是兩個相互 獨立的隨機變量，X 在（0，1）上的均勻分布， Y 的概率密度為ìïe - y / 2y > 0y <= 0fY ( y) = íïî20(1)求 X和Y 的聯(lián)合概率密度；（2）求關于s 的二次方程s 2+2Xs