第6章彎曲應(yīng)力

1、61 梁的純彎曲梁的純彎曲 62 純純彎曲時(shí)的正應(yīng)力彎曲時(shí)的正應(yīng)力63 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力64 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力65 提高提高彎曲強(qiáng)度的措施彎曲強(qiáng)度的措施6 6 梁的純彎曲梁的純彎曲2、橫力彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）、應(yīng)力、橫力彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）、應(yīng)力內(nèi)力剪力Q 剪應(yīng)力t t彎矩M 正應(yīng)力s s1、橫力彎曲、橫力彎曲橫截面上既有剪力Q又有彎矩M的情況q 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaABQMxx3 . 純彎曲純彎曲 只有正應(yīng)力，沒(méi)有剪應(yīng)力4 . 純彎曲段橫截面上的應(yīng)力純彎曲段橫截面上的應(yīng)力6 62 2 純彎曲時(shí)梁橫截面上

2、的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn) 橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：（一）變形幾何規(guī)律：中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸bdacabcdMM2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸假設(shè)：縱向纖維無(wú)相互擠壓。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，且與彎曲后的軸線垂直。距中性層等高處的縱向纖維變形相等。3.假設(shè)中性層中性層縱向?qū)ΨQ面

3、縱向?qū)ΨQ面4. 幾何方程：(1) . yx abcdABA1B1O1Odq q xy11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )qqqyyddd)(xyyy （二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單向應(yīng) 力狀態(tài)。(2) . sEyExsyE Z1EIM軸過(guò)形心中性)( z目錄（三）靜力學(xué)關(guān)系：（三）靜力學(xué)關(guān)系：橫截面上以對(duì)稱軸為橫截面上以對(duì)稱軸為y軸，以中性軸為軸，以中性軸為Z軸。軸。故故y,z軸為形心主軸。軸為形心主軸。Z IMysZIMys正應(yīng)力沿梁高的分布：正應(yīng)力沿梁高的分布： 線形分布線形分布（四）最大正應(yīng)力：（四）最大正應(yīng)力：zIM

4、ymaxmaxsmaxyI Wzz抗彎截面模量?？箯澖孛婺Ａ?。ZWMmax s令DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圓環(huán)bh)1 (6 332BHbhBHWz回字框幾種截面的抗彎截面模量幾種截面的抗彎截面模量:6 2maxbhyIWzz矩形bBhH橫力彎曲正應(yīng)力公式橫力彎曲正應(yīng)力公式 彈性力學(xué)精確分析表明，彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度當(dāng)跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之之比比 l / h 5 （細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，（細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。彎曲近似成立。ZmaxWMs橫力彎曲最大正應(yīng)力橫力彎曲最大正應(yīng)力目錄6 63 3 橫力彎曲時(shí)梁

5、橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力ZIMysq解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，試求最大正應(yīng)力。Nm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3m求最大應(yīng)力6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMzs82qLxM+例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，截面對(duì)形心軸的慣性矩Iz=763cm4 ，試計(jì)算梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力。P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2z解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力kN5 .10;kN5

6、 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2zx2.5kNm-4kNmMMPa2 .2810763885 . 2822zCtAIyMsMPa2 .2710763524813zBtAIyMsMPa2 .4610763884824zBcAIyMsy1y2GA1A2A3A4畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)（上拉、下壓）kNm4BM)(kNm5 . 2下拉、上壓CMx2.5kNm-4kNmMy1y2GA1A2A3A4結(jié)論：結(jié)論：截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱的梁構(gòu)件，最大彎矩的截面不一定要產(chǎn)生最大的拉應(yīng)力或最大的壓應(yīng)力。x2.5kNm

7、-4kNmM IyzmaxmaxZWMM1.1.對(duì)對(duì)等截面梁且截面關(guān)于中性軸對(duì)稱，彎矩最大截面的上等截面梁且截面關(guān)于中性軸對(duì)稱，彎矩最大截面的上下邊緣產(chǎn)生最大正應(yīng)力下邊緣產(chǎn)生最大正應(yīng)力. .若材料為若材料為脆性材料，脆性材料，脆性材料的脆性材料的抗拉和抗壓性能不同，抗拉和抗壓性能不同，則二方面都要考慮。則二方面都要考慮。ttssmaxccssmax. .若截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱，注意最大正應(yīng)力的若截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱，注意最大正應(yīng)力的計(jì)計(jì)算。算。目錄6 6 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 sszWMmax依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：、校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)

8、度：設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)載荷：maxsssMWz)( ;MfPWMzs解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，試求最大正應(yīng)力,并校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。Nm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3m求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz82qLxM+例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的st=30MPa，sc=60 MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理

9、？P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2Cz解：求支座反力并畫彎矩圖kN5.10;kN5.2BARR畫彎矩圖并求危面內(nèi)力)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2zx2.5kNm-4kNmMMPa2 .2810763885 . 2822zCtAIyMsMPa2 .2710763524813zBtAIyMsMPa2 .4610763884824zBcAIyMsy1y2GA1A2A3A4畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)（上拉、下壓）kNm4BM)(kNm5 . 2下拉、上壓CMx2.5kNm-4kNmM校核強(qiáng)度: tts

10、s2 .28maxccss2 .46max6 65 5彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力1、研究方法：在梁上取微段如圖b；dxxQMM+d MQdx圖圖a圖圖cyzbhdx圖圖b2、兩點(diǎn)假設(shè)： 切應(yīng)力與剪力平行；距中性軸等距離處,切應(yīng)力相等。0)(11dxbNNFxtdxxN NxyzN N1 1t t1 1t t圖圖d、在微段上取一塊如圖d，平衡yzdxy*Z*11S d *ZAzAzAIdMMydAIdMMdAIydMMANs又*AN NxyzN N1 1t t1 1t tzzAzAIMSAyIMANddszzISdMMN1ZZbIQS*1t

11、t由切應(yīng)力互等定理得：0)(11dxbNNFXtbIQSdxdMbISbdxIdMSZZZZzz*11 0tt其中：Q為截面上的剪力； Sz 為計(jì)算點(diǎn)所在作用層以下的面積對(duì)中性軸之面積矩；Iz為整個(gè)截面對(duì)z（中性軸）軸之慣性矩；b 為計(jì)算點(diǎn)處截面寬度。ZZbIQS*ttttt5 . 123 , 0y maxmaxAQ時(shí)當(dāng))4(222yhIQz矩tQt t方向：與橫截面上剪力方向相同；t t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。4 4、橫截面上切應(yīng)力沿梁高的分布、橫截面上切應(yīng)力沿梁高的分布ZZbIQS*t)4(2)2(22 22yhbyhbyhAySc

12、zyzybh*A二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力橫截面上的切應(yīng)力1、研究方法與矩形截面相同;切應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：其中：Q為截面剪力； Sz 為計(jì)算點(diǎn)所在作用層以下的面積對(duì)中性軸之面積矩；Iz為整個(gè)截面對(duì)z（中性軸）軸之慣性矩；b 為計(jì)算點(diǎn)處截面寬度。ZZbIQS*t2、幾種常見(jiàn)截面的彎曲切應(yīng)力 工字鋼截面：工字鋼截面：ZbIQS*t腹板：hh1tbmaxtmint22121242442yhthhbtIQZt當(dāng) y=0 時(shí)，maxtt844221212maxthhhbtIQZtmintt當(dāng) 21hy時(shí)，442212minhhbtIQZtzy ; maxA Qt tf結(jié)論：結(jié)論： 翼

13、緣部分沿鉛垂方向的tmax腹板上的tmax，只計(jì)算腹 板上的tmax。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故實(shí)際工程中也可采用腹板的平均剪應(yīng)力代替工字 鋼最大剪應(yīng)力Af 腹板的面積。hh1tBmaxtmint翼緣：翼緣上沿鉛垂方向的剪應(yīng)力很小,不考慮. 剪流：對(duì)橫力彎曲的薄壁截面桿，其橫截面上剪應(yīng)力剪流：對(duì)橫力彎曲的薄壁截面桿，其橫截面上剪應(yīng)力 的方向象的方向象 “水流水流”一樣在截面內(nèi)一樣在截面內(nèi)“流動(dòng)流動(dòng)”。 翼緣上也有平行長(zhǎng)邊的水平方向的剪應(yīng)力，它的指向和分布情況，也可以采用與求矩形截面上的剪應(yīng)力相同的方法求得。Q 圓截面：tt3434maxAQ 薄壁圓環(huán)：tt

14、22maxAQ三、梁的三、梁的剪切強(qiáng)度條件剪切強(qiáng)度條件 ttZbISQmax*maxmax解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+xq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 1

15、8. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQ應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzts 懸臂梁由三塊木板粘接懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹槎?。跨度為1m1m。膠合面。膠合面的許可切應(yīng)力為的許可切應(yīng)力為0.34MPa0.34MPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa，=1MPa=1MPa，求許可載荷。，求許可載荷。 ss2maxmax6bhlFWMz1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖2.2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 Q FM Fl 3.75kNN375061015010010692721lbhFs

16、ttbhFAQ2/32/3max3.3.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 kN01N100003/101501001023/266bhFtFl100505050z解：解：例題5目錄 gZZbhFbbhhbFbISQtt3412332*g4.4.按膠合面強(qiáng)度條件按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷計(jì)算許可載荷 3.825kNN382541034. 01015010034366gbhFt5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minFFl100505050M FlzSF F目錄注意：注意：一般情況下，只需校核梁的正應(yīng)力，不需要一般情況

17、下，只需校核梁的正應(yīng)力，不需要校核梁的切應(yīng)力。下面幾種特殊情況，需校核梁校核梁的切應(yīng)力。下面幾種特殊情況，需校核梁的切應(yīng)力：的切應(yīng)力：鉚接、焊接或膠合而成的組合截面梁，需要對(duì)焊縫、鉚接或膠合面等校核切應(yīng)力。梁的彎矩M 較小，而Q較大時(shí)，要校核切應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。6- 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施ZmaxmaxWMss1. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置載荷合理布置載荷6-7目錄合理安排支座合理安排支座目錄合理安排支座：合理安排支座：目錄FF目錄合理布置載荷合理布置載荷FZmaxmaxWMss2.

18、2. 增大增大 W WZ Z 合理設(shè)計(jì)截面形狀合理設(shè)計(jì)截面形狀合理放置截面合理放置截面6-7目錄W WZ Z是衡量構(gòu)件彎曲強(qiáng)度的一個(gè)指標(biāo)。是衡量構(gòu)件彎曲強(qiáng)度的一個(gè)指標(biāo)。目錄合理設(shè)計(jì)截面形狀：合理設(shè)計(jì)截面形狀：一般地，把梁的抗彎截面模量與其橫截面面積之比作為一般地，把梁的抗彎截面模量與其橫截面面積之比作為選定合理截面形狀的一個(gè)指標(biāo)。選定合理截面形狀的一個(gè)指標(biāo)。62bhWZ左62hbWZ右目錄合理放置截面合理放置截面3、等強(qiáng)度梁、等強(qiáng)度梁 目錄、等截面梁、等截面梁 bh sszWMmaxmaxsmaxMWz目錄、等強(qiáng)度梁、等強(qiáng)度梁 等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁 ：任一截面上的最大正應(yīng)力都達(dá)到容許正應(yīng)力。：任一截面上的最大正應(yīng)力都達(dá)到容許正應(yīng)力。s2)(6121hbFxx 2(x)3b hFxs目錄 tthbFAQ)0( 2 2323 0b (0)當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)，此處截面上剪應(yīng)力不滿足剪切強(qiáng)度條件此處截面上剪應(yīng)力不滿足剪切強(qiáng)度條件.故需根據(jù)剪