2014張宇考研高數(shù)沖刺班講義

1、2014 考研高等數(shù)學沖刺班講義目錄目錄備戰(zhàn)攻略 1一、函數(shù)極限 2二、數(shù)列極限 3三、一元函數(shù)微分學 4四、中值定理 6五、一元函數(shù)積分學（重在計算） 8六、微分方程 10七、多元函數(shù)微分學 12八、二重積分（重在計算） 13九、級數(shù)（數(shù)學一、數(shù)學三） 15十、多元函數(shù)積分學（數(shù)一） 16備戰(zhàn)攻略、手段與目的1、 手段全面總結(jié)（筆記+書）實戰(zhàn)演練（?？碱}+真題）2、 目的查漏補缺科學預測、關(guān)于試卷1、 答題整潔、干凈2、 答題順序選擇 填空 線代大題 概統(tǒng)大題 高數(shù)大題選擇 +填空 60-70分鐘大題 110-120分鐘、函數(shù)極限常規(guī)題泰勒洛必達非常規(guī)題一一夾逼準則1x , 一 ,3、例 1

2、：求I=lim 1 f(t sint 1,1 t3 11n(1t)dtx 0 X 0其中f(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，且f(tu,tv) t2f(u,v) (*) f(1,2) 0, f1 (1,2) 3分析I =1im1 f (x sin x 1, .11)1n(1 x3)f (x sinx 1, 1 x3 1)1n(1 x3)lim 3x20f1 (1 cosx) f2 0 lim ” 2 (II )求 ljm 0 1ntiln(1 t)ndt x3=ex 03x2112 f2 (1,2) 2e(*)式兩邊同時對t求偏導 f1(tu,tv) u f2(tu,tv) v 2t f(u,v) 取

3、 u 1,v 2,t 13(1,2) 1f2(12) 2 2 f(1,2)3 f2(1,2) 2 0 1I e4，一，、1n ,2n ,，、，、e，例2: (I)比較o(1 sin -t) dt與的大小，并說明理由;(II)求pm n! 1 (1 sin-t)ndt注(真題)11(I)比較 lntln(1 t)ndt與 lnttndt的大小例3： （8套卷）（I）證明積分中值定理5dx、2（11） 求 I= lim arctan nx x 11、重點不回避2、邊角知識要考到3、計算量大、數(shù)列極限火逼準則定積分定義06年數(shù)一 (15)單調(diào)有界準則12年數(shù)二(21) 8套卷級數(shù)求和1 3例(i)證

4、明 x 7x sinx,x(0,T)62 I i、. i(H)求卜m (1 -)sin n i 1 n n分析令 f(x) sin x x 1 x361 9則 f(x) cosx 1 x2f ”(x) sin x x 0f (x)單增f (x) f (0) 0f(x)單增f (x) f (0) 0(ii)n(1i 1L)( ni n23j36n6)(1-)sin ni n2(1L) ni n2limn(1-) ni n2limnlimn10(1limnlimnn(1i 156n(1i 1(1(1_L)Un n n5x)xdx -. 3. 3I/ n 6nn(11) n.3 i一3 n61(10

5、limnx)x3dx(1L) nn.3 i-3 n3( ni2 n(13j36 6 )6ni、.-)sin n(1三、一元函數(shù)微分學導數(shù)定義 高階導數(shù) 函數(shù)狀態(tài)i 1i n2【例1】設f(x)在x0處可導,lim f(% n) f(x。n【分析】“先造函數(shù)，再取極限”i、.-)sin nn)(1都是收斂于0的正項數(shù)列，求已知f (Xo)f (X0)f(X0n) f(Xo)lim f (x0n) f (x0)0-f(Xo) 0(1)nf(Xon)f(Xo)f (Xo)n 0( n)(1 式)同理，f(X0n)f(X0)f (xo)lim0 n 0nfn) f(Xo)f(Xo) 0(1)f (Xo

6、(1) (2) f (Xo f (Xonn)f (Xo)f (Xo) n 0( n)(2式)n)f(Xon)f(Xo)( n n) 0( n) 0( n)n) f (Xon)f (Xo)( n n)0( n) 0( n)|0( n) 0( n)| |0( n)|0 n)|0( n)| |0( n)|nI f (Xo)【例2】士)(o)【分析】(2)yy、/Xn!11 ( 3X)5(1)nn o31)n 3531，n1 n nX_ 3n(3)由唯一性y(n)(。)( 1)n f n!5n 1【例 3】設 y x2 sin x ,求 y(n) (x)【分析】萊氏公式：n(n)i (k) (n k)

7、(u v) Cnu vk 0(sin kx)(n)knsin(kx n)2(n) y/ 2(n)(x sin x)sin x(n)n 2x (sin x)(n 1)暝 2 (sin x)(n 2)sin(x n) n 2x sin(x2(n 1) n(n 1)sin(x -(n 2)x2n(n 1)sin( x n) 2nxcos(x n), n 222,3,.四、中值定理好就未考：柯西常規(guī)題：“折騰區(qū)間”【例11 （8套卷）1 .x y設 y x 0 ,證明：| x y | 1x y e e【分析】y xxe ye 1x yey / y ex / x /11 1y xu/ e令 f(u) ,

8、g(u) u1 ,-,在x, y上用柯西 uyxe / y e / x11y x令 h(u) eu euu, u (x,y)u uuh(u) e e u e 0h(u)單減 h(u) h(0) 1,xb【例2】(i)設f(x)在a,b非負連續(xù)且不包為0,證明： f(x)dx 0a(ii)是否存在0,2上的可導函數(shù)f(x),滿足f(0) 1,f(2)11,| f (x)| 1, 0 f(x)dx 1 ,說明理由【分析】設 x。a,b,使f(%) 0f(x。)0又 lim f (x) f (x0) 0x (x,xx x0進一步，0,使f(x) 0bx0x0f (x)dx f (x)dx dx 0

9、ax0x0),f(x) 0(ii)問法新穎，沉著應對x (0,1, X寸f (x)在0, x上用拉式定理f(x) f(0)f1( 1)x1 x f (x) f ( 1)x 1 1 x(2)x 1,2), X寸f (x)在x,2上用拉式定理f(2) f(x) f1( 2)(2 x)x 1 f (x) 1 f ( 2)(2 x) 3 x于是，122121o(1 x)dx 1 (x 1)dx o f (x)dx o f (x)dx f(x)dx o(1 x)dx21 (3 x)dx212)f(x)dx 0 f (x)dx 1 f(x)dx不存在滿足題意的f (x)五、一元函數(shù)積分學（重在計算）基本法

10、：湊微分法、換元、分部、有理函數(shù)積分法用性質(zhì)：奇偶性、周期性、絕對值函數(shù)特殊通法：區(qū)間再現(xiàn)法、Il+l2,I 1-I 2f (a b x)dxb如：（i）證明 f（x）dx a(ii)求 I 04 ln(1 tan x)dx【分析】bf (x)dxabx a b t a f(a b t)dtba f(a b x)dx(11)I 04 1n(1 tan x)dxt o41n(1 tan( x)dx0-(11 tanx、， )dx1 tanx04ln 21n(1 tan x)dxIn 2 041n(1 tan x)dxI -1n 2 I I 1n248n【例1】求 x|sin x|dx,n為正整數(shù)

11、i(i 1)x|sinx|dx0 2x2x2nt x (i 1) ot (i 1) sintdt i 1tsintdt(i 1)sintdt)(i【例2】1)(0證明:2)(n 1)dx(ii)計算dxe2 2、2(x 2)【分析】(i)2(0 e x dx)dxe(x2Doy2)d2y dy02d2rdr2(ii)r2 e|0x2,e dx 2(x2dx 2)2d(x2e22x(x2)|02x 2、e (x /2dxx2x(x2J。x2d(-) xx2e2x(x212|0x2e|02x2xdx2x(x1 2x22(x22)x2 .e dxx2e 2x2|02x 12x .2 e dx0六、微

12、分方程以方程為載體考綜合體人咨按類求解，對號入座 計算超綱類型+附加條件【例11設q(x) 0,證明y【分析】q(x)y 0的任意非零解至多有一個零點。設方程的任意非零解為y(x)0,其至少有2個零點,記為x1, x2,不妨x, x (x1,x2),y(x) y(xi),y(x2)已知x2,且相鄰0y(x1)Vlimx x1y(x)y(xi)y(x2)Vlimx x1y(x) y(x2) 0對y(x)在x1, x2上用拉式定理y()y(X2)y(xi) 0,(xi,x2)X2 xi但，y( ) q( )y( ) 0y( ) 0 矛盾故y(x)至多一個零點。，1 、【例2】設y y q(x)y

13、。有兩個互為倒數(shù)的特解 力，丫2,求該方程的通 x解?！痉治觥?1)簡單情形：若y1(x) a( 0)常數(shù)，y2工代入原方程 aq(x)a 0 q(x) 01y y 0 x試用 y x (1)x 2 x 22取y x2故y通 C1a C2x2,(a0, C1Q2)(2)一般情形:若y(x)不包為常數(shù)，則記y, y2代入原方程y1yJv：(y1 )23Vi(yyJy1 -y1x-22(y1)3Vi29必)2Vi1,-y1 Vi x2y1qy12x V1yJ1Vi xy1 y10q 0 y1.0Vi再取yi1 y1-(4)0 x y-ex，則 y22Ciex取左2xy-x2e2C2ex,(CiC)

14、七、多元函數(shù)微分學概念(可微、連續(xù)、偏導數(shù))計算應用一多元函數(shù)極值、最值【例】設f(x,y)(a|x| x2y2 b)2、 sin(xy ),(x,y),(x, y)(0,0)在點(0,0)處(0,0)可微，(i)求常數(shù)a, b(ii)求 f y(0,0),【分析If yx(0,0)可微 連續(xù)連續(xù)：蝦。f (0 Vx,0Vy 0Vy) f (0,0)即 Vxm0 aviVxiVy 0取 Vx (Vy)2(Vx)22(Vy)2 bVm0 a |Vy|(Vy)4(Vy)2 b畸 0b - 0 b2可微：0；limVx 0Vy 0Vz AVxBVy.,1(Vx)2 (Vy)2f x(0,0)limn

15、x 0f(x,0)f y(0,0)0limVX 0Vy 0f(Vx,Vy)(Vx)2 (Vy)2a.|VX|即：lim Vx 0Vy 0取 VX (Vy)2(Vx)2(Vy)22 sin(Vx(Vy) (Vx)2 (Vy)4.(Vx)2 (Vy)2a|Vy| (Vy)4 (Vy)2 1 lim -2 0Vy 0 |Vy| (Vy)2 1a 0；22則f(x,y)x2y4Sin(xy2),(x, y) (0,0) x y0,(x, y) (0,0)(ii)f 小0,0)fx(0,y) fx(0,0)fx(0,y) 2x(x2f x(x, y)|(0,y)y4) 2x(x2 y2) . / 2、

16、黃-4- sin(xy )(x y )2 x-2 x2y4 y/2、2 nicos(xy ) y |(0,y)f xy(0,0)lim 1，不存在y 0 y八、二重積分（重在計算）【例】求使fn（X，y）(x y)n x222 ，xx y2,x2y2y0在點（0,0）處連續(xù)的正整數(shù)0n。222(ii)對上述 n,計算 Infn(x,y)d ,D:x y 1當(x, y) fi(x, y)取y xf2(x, y)取y x(0,0)時,2xlim 2-，不存在，不連續(xù)Vx 0 Qv2Vy 0 (xy4(同階)x ylimVx 0Vy 0(2x)22x2a y xVxm0 270Vy 0匚人不存在，

17、不連續(xù)；n 3寸,fn(x, y) (x2 y)2 x y(x y)2(x y)n222x 2xy y故 lim fn(x, y)Vx 0VxVyn(ii)03,4,5,.22x yfn(0,0)y2|xy| 2222x yIn(x y)nD345 d4,D:1rn(cos0sin2 r)nrdr1 nn22n345 (cos4sin )nd3454 n /sin (4)dn22 312 4t 5=n 44 sinntdt4n22nsinn tdt1)當 n 3,5,7,時 In 02)當n 4,6,8，時n 2221n 2 sin tdtn 0n 222 n 1 n 31. n n n 22 2九、級數(shù)(數(shù)學一、數(shù)學三)判斂收斂域（端點）展開與求和例：設f （x）x2 1arctan x, x0求麥克勞林展開式,x【分析】；n kxS(x) aSn anx(t)dt（收斂域）S(a)arc tan xarctan x1 2dt1 t2(n 0x 0f(x)1)n2n 1 x2n 11)n1(x 一)(x n 02n 2x1)n2n 1 x2n 11)n2n 12nx2n 11)n1)n