函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根1

1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象方程的實(shí)數(shù)根方程的實(shí)數(shù)根x1=1,x2=3x1=x2=1無(wú)實(shí)數(shù)根無(wú)實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)(1,0)、(3,0)(1,0)無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3 從上面的表格，你能發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)具有什么樣的關(guān)系嗎？方程的根就是函數(shù)圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。探究探究活動(dòng)活動(dòng) 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)

2、x叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。注意：注意：零點(diǎn)指的是一個(gè)實(shí)數(shù)；零點(diǎn)指的是一個(gè)實(shí)數(shù)；方程方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn)思考：零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？思考：零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？求零點(diǎn)的方法 (1) 解方程：令f(x)=0,解x。 （2）圖像法：作y=f(x)的圖像，看圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。練習(xí)練習(xí)求下列函數(shù)的零點(diǎn)：（1） （2）（3） （4）xxfln)(1)(xexfxxxf4)(353)(3xxxf解:（1）1；（2）0；（3）2、0、2 如圖所示，用幾條連續(xù)不斷的函數(shù)圖象連接A、B兩點(diǎn)。動(dòng)一動(dòng)手動(dòng)一動(dòng)手A

3、BLABLOXyOyXOyXabababABLABL 思考：思考：通過(guò)對(duì)圖象的觀察，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況，與函數(shù)零點(diǎn)是否存在著一定的關(guān)系呢？ 0)()(bfafabxxf1)(0)()( bfaf有 ，但在區(qū)間(a，b)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。0)()( bfaf是否只要滿足 ，就一定存在零點(diǎn)呢？函數(shù)零點(diǎn)存在性定理函數(shù)零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0,則則y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)內(nèi)是否有零點(diǎn)？是否有零點(diǎn)？想一想想一想OyX2)(xxfab （2）若函數(shù)）若函數(shù)

4、y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有f(a)f(b)0,則則y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)會(huì)只有一個(gè)內(nèi)會(huì)只有一個(gè)零點(diǎn)嗎？零點(diǎn)嗎？OXyabABLABLOyXab （3）若函數(shù)）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在區(qū)間區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，一定有內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，一定有f(a)f(b)0嗎？嗎？OyX2)(xxfab注意：注意：（1）只有同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件，才能）只有同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件，才能說(shuō)明函數(shù)說(shuō)明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)。內(nèi)存在零點(diǎn)。（2）定理不可逆。）定理不可逆。例例1、判斷函數(shù)、判斷函數(shù) 是否存在是否存在零點(diǎn)？零

5、點(diǎn)？53)(3xxxf例例2、求函數(shù)、求函數(shù) 的零點(diǎn)的的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？個(gè)數(shù)？62ln)(xxxf想一想想一想函數(shù)函數(shù)y=f(x)在什么條件下，在區(qū)間在什么條件下，在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)？?jī)?nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)？結(jié)論結(jié)論函數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。作出函數(shù)的圖象如下：作出函數(shù)的圖象如下： 因?yàn)橐驗(yàn)閒(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在區(qū)間在區(qū)間(3,4)上有零點(diǎn)。又因?yàn)樯嫌辛泓c(diǎn)。又因?yàn)閒(x) =2x ln(x2)3是是(2，）上的增函數(shù)，）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間所以在區(qū)間(3,

6、4)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。xy01321125-3-242(2) f(x)=2x ln(x2)3作出函數(shù)的圖象如下：作出函數(shù)的圖象如下： 因?yàn)橐驗(yàn)閒(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)。又因上有零點(diǎn)。又因?yàn)闉閒(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函數(shù)，所以在）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。點(diǎn)。2(3) f(x)=ex1+4x4xy0132112123424作出函數(shù)的圖象如下：作出函數(shù)的圖象如下：x080155y24012043604020432 因?yàn)橐驗(yàn)閒(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在區(qū)間在區(qū)間(4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有上各有一個(gè)零點(diǎn)。一個(gè)零點(diǎn)。2(4) f(x)=3(x+2)