10一般形式的柯西不等式

1、 選修選修4 45 5 不等式選講不等式選講 第第三三講講 柯西柯西不等式不等式與排序不等式與排序不等式 二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式舊知新探舊知新探思考思考1 1：二維形式的柯西不等式的代數(shù)形二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式和向量（幾何）形式分別是什么？式和向量（幾何）形式分別是什么？ 定理定理1(1(二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式）若若a, b, c, d都是實(shí)數(shù)都是實(shí)數(shù), ,則則(a2 2b2 2)(c2 2d 2 2)(acbd)2 2, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號成立時(shí)，等號成立. 定理定理2(2(柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式）設(shè)設(shè), 是是

2、兩個(gè)向量兩個(gè)向量, ,則則有有| | | | |, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)是零向量是零向量, 或存在實(shí)數(shù)或存在實(shí)數(shù)k,k,使使=k k時(shí)時(shí), 等等號成立號成立. 22222221231231 12 23 3()() ()aaabbbababab思考思考2 2：由向量形式聯(lián)想到空間向量由向量形式聯(lián)想到空間向量, ,從從三維的角度思考問題，關(guān)于柯西不等式三維的角度思考問題，關(guān)于柯西不等式有什么結(jié)論有什么結(jié)論？當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)b b=0, , 或存在一個(gè)數(shù)或存在一個(gè)數(shù)k, k, 使得使得=k k即ai i=k=kbi i(i=1,2,3)(i=1,2,3)時(shí)等號成立時(shí)等號成立. .定理定理: :( (三維

3、形式的柯西不等式三維形式的柯西不等式 向量形式向量形式)若若, ,為空間向量為空間向量, ,設(shè)設(shè)( (a1 1, ,a2 2, ,a3 3), ), ( (b1 1, ,b2 2, ,b3 3) )，則，則| | |即：即： 思考思考3 3：根據(jù)歸納推理猜想，柯西不等式根據(jù)歸納推理猜想，柯西不等式的一般形式（的一般形式（n n維）是什么？維）是什么？222222121221 122()()()nnnnaaabbbaba ba b思考思考4 4：上述不等式可抽象為上述不等式可抽象為ACBACB2 2，即，即(2B)(2B)2 24AC04AC0，聯(lián)想到判別式，如何構(gòu)，聯(lián)想到判別式，如何構(gòu)造二次函

4、數(shù)證明上述猜想？造二次函數(shù)證明上述猜想？2222122221 12 212( )()2()()nn nnf xaaa xaba ba b xbbb思考思考5 5：由上述證明過程可知，一般形式由上述證明過程可知，一般形式的柯西不等式是什么？的柯西不等式是什么？312123nnaaaabbbb當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)bi i=0(i0(i=1,2,n)1,2,n)或存在一個(gè)或存在一個(gè)數(shù)數(shù)k,k,使得使得ai i=k=kbi i(i=1,2,(i=1,2,，n n ) )時(shí)時(shí), ,等號等號成立成立. .定理定理: :( (一般形式【一般形式【n n維】的柯西不等式維】的柯西不等式) ) 設(shè)設(shè)a1 1, ,a

5、2 2, ,a3 3,an n；b1 1, ,b2 2, ,b3 3, , ,bn n是實(shí)是實(shí)數(shù)，則數(shù)，則2222221212()()nnaaabbb21 12 2()n naba ba b思考思考6 6：將二維三角不等式推廣將二維三角不等式推廣, ,則一般則一般形式的三角不等式是什么？形式的三角不等式是什么？ 定理定理（n n維形式的三角不等式）維形式的三角不等式） 2222221212nnxxxyyy2221122()()()nnxyxyxy1212,;,nnx xxy yyR若那么遷移應(yīng)用遷移應(yīng)用 例例2 2 已知已知a，b，c，d是不全相等的正是不全相等的正數(shù)，證明：數(shù)，證明： a2

6、2b2 2c2 2d 2 2abbccdda. 例例1 1 已知已知a1 1, a2 2, , an都是實(shí)數(shù)都是實(shí)數(shù),n,nN N*.求證：求證： 222212121()nnaaaaaan 例例3 3 已知已知x x2y2y3z3z1 1，求，求x x2 2y y2 2z z2 2的最小值的最小值. .114定理定理【排序不等式，又稱排序原理排序不等式，又稱排序原理】 設(shè)設(shè)a1 1a2 2an, , b1 1b2 2bn 為兩組實(shí)為兩組實(shí)數(shù)數(shù), ,c1 1, ,c2 2, ,c3 3,cn是是b1 1, ,b2 2, ,b3 3,bn的任的任一排列一排列, ,則則a1 1bna2 2bn1 1

7、anb1 1a1 1c1 1a2 2c2 2ancna1 1b1 1a2 2b2 2anbn, 即即反序和反序和亂序和亂序和順序和順序和. 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a1 1a2 2an或或b1 1b2 2bn時(shí)時(shí), ,反序和等于順序和反序和等于順序和.小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè) 1. 1.柯西不等式反映了兩組實(shí)數(shù)的平方和之柯西不等式反映了兩組實(shí)數(shù)的平方和之積與兩兩之積的和的平方的大小關(guān)系。積與兩兩之積的和的平方的大小關(guān)系。它在它在證明不等式和求組合變量的最值問題中有廣證明不等式和求組合變量的最值問題中有廣泛的應(yīng)用泛的應(yīng)用. 2. 2.使用柯西不等式時(shí)，要注意它的外在形使用柯西不等式時(shí)，要注意它的外在形式式. . 當(dāng)所研究的代數(shù)式與柯西不等式的左邊當(dāng)所研究的代數(shù)式與柯西不等式的左邊或右邊具有一致的形式時(shí)，就可以考慮利用或右邊具有一致的形式時(shí)，就可以考慮利用柯西不等式對這個(gè)代