八年級全等三角形專題練習(解析版)

1、一、八年級數(shù)學全等三角形解做題壓軸題難1. 1如圖1,：在ABC中,NBAC=90.,AB二AC,直線m經(jīng)過點A,8口,直線m,CEJ_直線m,垂足分別為點D、E.證實:DE=BD+CE.2如圖2,將1中的條件改為：在ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有NBDA=ZAEC=ZBAC=.,其中.為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證實;假設(shè)不成立,請說明理由.3拓展與應(yīng)用：如圖3,D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點D、A、E三點互不重合,點F為NBAC平分線上的一點,且ABF和ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,假設(shè)NBDA=ZAEC

2、=ZBAC,試判斷DEF的形狀.【答案】(1)見解析(2)成立(3)4DEF為等邊三角形【解析】解：(1)證實：BDL直線m,CEJ_直線m,NBDA=NCEA=900.:ZBAC=90,/.ZBAD+ZCAE=90./ZBAD+ZABD=90,/.ZCAE=ZABD.又AB二“AC,ADB合CEA(AAS)./.AE=BD,AD=CE./.DE=,AE+AD=HBD+CE.(2)成立.證實如下：:ZBDA=ZBAC=a,/.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180-Or./.ZDBA=ZCAE.ZBDA=ZAEC=.,AB=AC,AD於CEA(AAS)./.AE=BD,AD=CE.DE

3、二AE+AD=BD+CE.(3) DEF為等邊三角形.理由如下：由(2)知,ADB合CEA,BD=AE,ZDBA=ZCAE,:ABF和ACF均為等邊三角形,JZABF=ZCAF=60. ,ZDBA+ZABF=ZCAE+ZCAF./.ZDBF=ZFAE.;BF=AF,叢DBF合EAF(AAS)./.DF=EF,ZBFD=ZAFE. ,ZDFE=ZDFA+zAFE=ZDFA+ZBFD=60. .ADEF為等邊三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS證ADB合4CEA,得出DA=EC,AE=BD,從而證得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通過證實ADB2JCEA,得出BD=AE,AD=CE,所

4、以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由ADB2CEA得BD=AE,NDBA=NCAE,由ABF和ACF均等邊三角形,得ZABF=ZCAF=60,FB=FA,所以NDBA+NABF=NCAE+NCAF,即NDBF二NFAE,所以DBFEAF,所以FD=FE,ZBFD=ZAFE,再根據(jù)NDFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60得到DEF是等邊三角形.2.如圖1,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于F1證實：PC=PE；2求NCPE的度數(shù)：3如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當NABC=12T時,連接【答案】

5、(1)證實見解析(2)90(3)AP=CE【解析】【分析】(1)、根據(jù)正方形得出AB=BC,ZABP=ZCBP=45%結(jié)合PB=PB得出aABPgCBP,從而得出結(jié)論：、根據(jù)全等得出NBAP=NBCP,ZDAP=ZDCP,根據(jù)PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先證實4ABP和CBP全等,然后得出PA=PC,NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,從而得出NCPF=NEDF=60,然后得出AEPC是等邊三角形,從而得出AP=CE.【詳解】、在正方形ABCD中,AB=BC,ZABP=ZCBP=45%在ZkABP和4CBP中,XVPB=PBAAABPACBP(S

6、AS),PA=PC,VPA=PE:.PC=PE；、由(1)知,aABPACBP,.zbap=zbcp,jndap=ndcp,VPA=PE,.ZDAP=ZE/.ZDCP=ZE.VZCFP=ZEFD(對頂角相等),A180-ZPFC-ZPCF=1800-ZDFE-NE,BPZCPF=ZEDF=90：、AP=CE理由是：在菱形ABCD中,AB=BC,NABP二NCBP,在2ABPlACBP中,XVPB=PB/.ABPACBP(SAS),PA二PC,NBAP=NDCP,VPA=PE,PC=PE,NDAP=NDCP,VPA=PC,/DAP=NE,AZDCP=ZEVZCFP=ZEFD(對頂角相等),A18

7、0-ZPFC-ZPCF=180-ZDFE-NE,RPZCPF=ZEDF=180-ZADC=180-120=60,AAEPC是等邊三角形,PC=CE,AAP=CE考點：三角形全等的證實3.如圖,在AA8C中,NAC8為銳角,點為射線8C上一動點,連接AO.以AO為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.圖圖圖1假設(shè)A3=AC,ABAC=90當點.在線段BC上時與點3不重合,試探討CF與8.的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：當點O在線段C的延長線上時,中的結(jié)論是否仍然成立,請在圖2中而出相應(yīng)的圖形并說明理由；2如圖3,假設(shè)ABwAC,ABAC90,ZBC4=45,點.在線段8C上運動,試探究CF與8.的位

8、置關(guān)系.【答案】1CF_LBD,證實見解析：成立,理由見解析：2CF1BD,證實見解析.【解析】【分析】1根據(jù)同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用邊角邊證實4ACF和4ABD全等,先求出NCAF=NBAD,然后與的思路相同求解即可：2過點A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AE,NAED=45.,再根據(jù)同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“邊角邊證實4ACF和4AED全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90,從而得到CFJ_BD.【詳解】解：1NBAC=90,4ADF是等腰直角三角形

9、,.ZCAF+ZCAD=90%ZBAD+ZACD=90,.ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC,ZCAF=ZBAD,AD=AF,.,.ACFAABDSAS,.CF=BD,ZACF=ZABD=45,ZACB=45,AZFCB=90,.-.CFBD：成立,理由如下：如圖2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ZCAD=ZDAF+ZCAD,即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC,ZCAF=ZBAD,AD=AF,AAACFAABD(SAS),ACF=BD,NACF=NB,VAB=AC,ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/.ZBCF=ZACF+ZACB=

10、45o+45o=90,ACF1BD：(2)如圖3,過點A作AE_LAC交BC于E,/ZBCA=45,.ACE是等腰直角三角形,AC=AE,NAED=45,VZCAF+ZCAD=90,ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE,NCAF=NEAD,AD=AF,.ACFAAED(SAS),/.ZACF=ZAED=45,ZBCF=ZACF+ZBCA=45o+45=90,ACF1BD.【點睛】此題考查全等三角形的動點問題,綜合性較強,有一定難度,需要熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)進行綜合運用.4.如圖1,在A3C中,ZA=90,A3=AC,點.是斜邊8C的中點

11、,點E,產(chǎn)分別在線段A3,4c上,且NEDF=90.1求證：.所為等腰直角三角形：2假設(shè)ABC的面積為7,求四邊形AEDF的面積：3如圖2,如果點E運動到A8的延長線上時,點尸在射線C4上且保持ZEDF=90,.石尸還是等腰直角三角形嗎.請說明理由.【答案】1證實見解析；23.5：3是,理由見解析.【解析】【分析】1由題意連接AD,并利用全等三角形的判定判定BD年ADFASA,進而分析證得.瓦為等腰直角三角形；2由題意分析可得S網(wǎng)邊形aedf=Smdf+Saade=Sabde+Sacdf,以此進行分析計算求出四邊形AEDF的面積即可；3根據(jù)題意連接AD,運用全等三角形的判定判定BDEADFAS

12、A,進而分析證得.所為等腰直角三角形.【詳解】解：1證實：如圖,連接AD.NBAC=90,AB=AC,點D是斜邊BC的中點,/.ADBC,AD=BD, ,Z1=ZB=45,ZEDF=90%Z2+Z3=90%又,Z3+Z4=90,/.Z2=Z4,在BDE和ADF中,Z1=ZB,AD=BD,Z2=Z4,/.BDE合,ADF(ASA), ,DE二DF,又；ZEDF=90 ADEF為等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF,NON6=45.,又N2+N3=90,Z2+Z5=90%JZ3=Z5,aADE級CDF, Sn邊h,aedf=Saadf+Scade二Sabde+Scdf,Smbc=2S網(wǎng)邊毛

13、aedf,Swijn；aedf=3.5.(3)是,如圖,連接AD./ZBAC=90AB=AC,D是斜邊BC的中點,/.ADBCZAD=BD,Z1=45,ZDAF=180-Zl=180-45=135%ZDBE=180-ZABC=180-45=135%/.ZDAF=ZDBE,ZEDF=90/.Z3+Z4=90%又；Z2+Z3=90,Z2=Z4,在仆BDE和aADF中,ZDAF=ZDBE,AD=BD,N2=Z4,BDE合ADF(ASA),.DE=DB又：ZEDF=90.aDEF為等腰直角三角形.【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)

14、鍵.5.如圖,在MBC中,ZC=90,AC=3,BC=7,點.是8c邊上的動點,連接AD,以AO為斜邊在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面積等于；(2)連接CE,求證：CE是NAC3的平分線；(3)點.在6C邊上,且CO=1,當.從點.出發(fā)運動至點3停止時,求點E相應(yīng)的運動路程.王O1_【答案】I：2證實見解析：33點【解析】【分析】1根據(jù)直角三角形的面積計算公式直接計算可得：2如下圖作出輔助線,證實AEM名ADENAAS,得至IME=NE,即可利用角平分線的判定證實：3由2可知點E在NACB的平分線上,當點D向點B運動時,點E的路徑為一條直線,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

15、出CN=!AC+C.,根據(jù)CD的長度計算出CE的長度即可.【詳解】解：1ZC=90,AC=BC=7=-ACxBC=-x3x7=,故答案為：22連接CE,過點E作EMLAC于點M,作EN_LBC于點N,AZEMA=ZEND=90,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+ZDEN=90,ADE是等腰直角三角形AZAED=90AE=DEAZAEM+ZMED=90%,ZAEM=ZDEN,在AEM與ZkDEN中,ZEMA=ZEND=90%ZAEM=ZDEN,AE=DEAAAEMADENAAS/.ME=NE,點E在NACB的平分線上,即CE是NAC3的平分線工(3)由(2)可知,點E在NACB的

16、平分線上,當點D向點B運動時,點E的路徑為一條直線,VAAEMADEN,AM=DN,即AC-CM=CN-CD在RtZiCME與RtZkCNE中,CE=CE,ME=NE,ARtACMERtACNE(HL)ACM=CN.,.CN=；(AC+CO),又YNMCE二NNCE=45,ZCME=90,.CE=y/2CN=(AC+CD).2當AC=3,CD=CO=1時,CE=(3+1)=2&當AC=3,CD=CB=7時,5CE=r(3+7)=5虛,點E的運動路程為：50-20=30,【點睛】此題考查了全等三角形的綜合證實題,涉及角平分線的判定,幾何中動點問題,全等三角形的性質(zhì)與判定,解題的關(guān)鍵是綜合運用上述

17、知識點.6.如圖1,在長方形ABCD中,AB=CD=5cm,BC=12cm,點P從點B出發(fā),以2cm/s的速度沿BC向點C運動,設(shè)點P的運動時間為ts.II)I)(1) PC=cm：(用含t的式子表示)(2)當t為何值時,ABPgDCP?.(3)如圖2,當點P從點B開始運動,此時點Q從點C出發(fā),以vcm/s的速度沿CD向點D運動,是否存在這樣的v值,使得某時刻4ABP與以P,Q,C為頂點的直角三角形全等？假設(shè)存在,請求出v的值：假設(shè)不存在,請說明理由.【答案】(1)(12-2/)；(2)1=3;(3)存在,P=2或懺1【解析】【分析】(1)根據(jù)P點的運動速度可得BP的長,再利用BC的長減去BP

18、的長即可得到PC的長：(2)先根據(jù)三角形全等的條件得出當BP=CP,列方程求解即得；(3)先分兩種情況：當BP=CQ,AB=PC時,ABPgZPCQ：或當BA=CQ,PB=PC時,ABPgaQCP,然后分別列方程計算出t的值,進而計算出v的值.【詳解】解：(1)當點P以2cm/s的速度沿BC向點C運動時間為ts時3P=2/57BC=2cin：.PC=BC-BP=(n-2i)cm故答案為：(1227)(2) MBP=DCP.BP=CP2/=12-2/解得1=3.(3)存在,理由如下：當BP=CQ,AB=PC時,ZiABP名PCQ,1. PC=AB=5.BP=BC-PC=12-5=7BP=Item

19、：.2t=7解得t=3.5.CQ=BP=7,那么3.5v=7解得y=2.當B4=C.,PB=PC時,MBP=QCP,:BC=ncm,BP=CP=-BC=6c72VBP=Item:.2t=6解得/=3CQ=3vcm,:AB=CQ=5cm,3v=5解得U3綜上所述,當u=2或i,=,時,A48尸與以P,Q,C為頂點的直角三角形全等.【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)和矩形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是將動態(tài)情況化為某一狀態(tài)情況,并以這一狀態(tài)為等量關(guān)系建立方程求解.7.：在MBC中,AB=AC,ZBAC=90,尸Q為過點4的一條直線,分別過B、C兩點作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分別為M、N.(1)如圖

20、所示,當P.與BC邊有交點時,求證：MN=CNBM；(2)如圖所示,當與6C邊不相交時,請寫出線段8M、CN和MN之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)見解析：(2)MN=BM+CN(或BM=MNCN或CN=MN-BM),理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)條件先證AAA/i運ACN4,得到AM=CN,BM=AN,即可證得MN=CNBM：(2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M=CN,8M=AN,即可確定MN=BM+CN.【詳解】證實：BM_LPQ,CN_LP0,.ZAMB=ZCAN=90,VZBAC=90,AZCAN+ZACN=90,ZCAN+ZBAM=90(或NCW+NAC/V=N

21、C4N+NMM).ZBAM=ZACN,在AAMB和ACN4中,ZAMB=4CNA.ZBAM=AACN,AB=CA:.AAM“ACN4(A4S),.AM=CN,BM=AN,:MN=AM-AN,:.MN=CNBM.(2)MN=BM+CN(或BM=MN-CN或CN=MN-BM).理由：.BM_LPQ,CN_LP.,ZAMB=ZCAN=90,VZBAC=90,.ZCAN+ZACN=90,ZCAN+ZBAM=90(或NCW+NAC/V=NC4N+NBAM),:.ZBAM=ZACN,在AAMB和ACNA中,AAMB=ZCNAZ.BM=ZACN,AB=CA：.AAM*ACNA(AAS),.AM=CN,BM=

22、AN,:.MN=AN+AM=BM+CN.【點睛】此題考察三角形全等的應(yīng)用,正確確定全等三角形是解題關(guān)鍵,由此得到對應(yīng)相等的線段,確定它們之間的和差關(guān)系得到80、CN和MN之間的關(guān)系式.8.操作發(fā)現(xiàn)：如圖,己知配和DE均為等腰三角形,AB=AC,AD=AE,將這兩個三角形放置在一起,使點8,D,E在同一直線上,連接CE.(1)如圖1,ZABC=ZACB=ZADE=ZAED=55Q,求證：BADgZkCAE；(2)在(1)的條件下,求N8EC的度數(shù)：拓廣探索：(3)如圖2,假設(shè)NC48=NEAD=120.,8D=4,CF為aBCE中8E邊上的高,請直接寫出訐的長度.【答案】(1)見解析：(2)70

23、；(3)2【解析】【分析】(1)根據(jù)SAS證實BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.(3)同法可證4BAD絲ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30即可解決問題.【詳解】(1)證實：如圖1中,圖1ZABC=ACB=ZADE=NAED,/.ZEAD=ZCAB,：.ZEAC=ADAB,AE=AD.AC=AB9：.BAD&CAE(SAS).(2)解：如圖1中,設(shè)AC交8E于O.NA8C=N4C8=55,/.Z84c=180-110=70,BADCAE,ZABO=ZECO,ZEOC=ZAOB,ZCEO=Z840=70,即NBEC=70

24、.(3)解：如圖2中,A圖2ZC48=NEAD=120.ZBAD=ACAE,：AB=AC,AD=AE.BAD4CAESAS,.ZBAD=AACE.8D=EC=4,同理可證NBEC-8AC=120,ZFC=60%CFLEF,ZF=90,.ZFCE=301.EF=-EC=2.2【點睛】此題屬于三角形綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題,屬于中考?？碱}型.9.在等邊aABC中,點.是邊8C上一點.作射線AO,點3關(guān)于射線AO的對稱點為點E.連接CE并延長,交射線AO于點1如圖,連接AE,AE與AC的數(shù)量關(guān)系是；設(shè)NBA尸=a,用.表示NBCF的大?。?如

25、圖,用等式表示線段A尸,CF.所之間的數(shù)量關(guān)系,并證實.【答案】AB二AE；NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由見詳解.【解析】【分析】(1)根據(jù)軸對稱性,即可得到答案；由釉對稱性,得：AE二AB,NBAF=NEAF=.,由A3C是等邊三角形,得AB=AC,ZBAC=ZACB=60,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180,即可求解：(2)作NFCG=60交AD于點G,連接BF,易證AFCG是等邊三角形,得GF=FC,再證ACG會ABCF(SAS),從而得AG=BF,進而可得至lj結(jié)論.【詳解】(1)點4關(guān)于射線的對稱點為點E,AAB和AE關(guān)于射線AD的對稱,AAB=AE.故答案是

26、:AB=AE;.點3關(guān)于射線的對稱點為點E,AE二AB,NBAF=NEAF=.,二A3c是等邊三角形,AAB=AC,ZBAC=ZACB=60,：.ZEAC=60-2a,AE=AC,ZACE=1180-(60-2a)=60+6?,AZBCF=ZACE-ZACB=60+a-60=a.(2)AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于點G,連接BF,NBAF=NBCF=a,NADB=NCDF,AZABC=ZAFC=60c,.FCG是等邊三角形,AGF=FC,二A3c是等邊三角形,ABC=AC,ZACB=60,AZACG=ZBCF=.在AACG和ABCF中,CA=CBZACG=ABCF,CG

27、=CF,AACG仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,點4關(guān)于射線AO的對稱點為點E,.AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.AF-EF=CE【點睛】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)定理,添加輔助線,構(gòu)造全等三角形,是解題的關(guān)鍵.10.如圖,AA8C是等邊三角形,點.在邊4c上“點D不與A,C重合,點石是射線5c上的一個動點點E不與點8,C重合,連接OE,以O(shè)E為邊作作等邊三角形hDEF,連接CF.1如圖1,當.石的延長線與A3的延長線相交,且CF在直線OE的同側(cè)時,過點D作DG/AB,DG交BC于點、G,求證：CF=EG；2如圖2,當.石反向延長線與A8的反向延長線相交,且.,尸在直線OE的同側(cè)時,求證：CD=CE+CF；3如圖3,當OE反向延長線與線段A8相交