線性系統(tǒng)理論第二章系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

1、線性系統(tǒng)理論第二章系統(tǒng)狀態(tài)空間模型2 2.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 2.3 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 2.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型范型 2.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 2.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性 2.7 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第2章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述32.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2u1upuqy2yqynxxx,21 系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學描述系統(tǒng)

2、動態(tài)過程的數(shù)學描述 考察一個系統(tǒng)由一些相互制約的部分構(gòu)成整體，可用上圖所示的一個方塊來表示。方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境，環(huán)境對系統(tǒng)的作用為系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)對環(huán)境的作用為系統(tǒng)輸出，兩者分別用 u 和 y 表示，稱其為系統(tǒng)外部變量。用以刻畫系統(tǒng)在每個時刻所處狀況的變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，用 來表征，這些變量隨著時間的變化體現(xiàn)了系統(tǒng)的行為。系統(tǒng)的數(shù)學描述就是反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系的一種數(shù)學模型。42.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1) 系統(tǒng)的外部描述系統(tǒng)的外部描述 外部描述常被稱作為輸出輸入描述例如:對SISO線性定常系統(tǒng):時間域的外部描述:ubububyayayaynnnnn0)1 (1)1(10)

3、1 (1)1(1)(復頻率域描述即傳遞函數(shù)描述復頻率域描述即傳遞函數(shù)描述 11101110( )( )( )nnnnnbsb sby sg su ssasa sa2u1upuqy2yqynxxx,21 52.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2) 系統(tǒng)的內(nèi)部描述系統(tǒng)的內(nèi)部描述 (3) 外部描述和內(nèi)部描述的比較外部描述和內(nèi)部描述的比較 狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式,需要由兩個數(shù)學方程表征狀態(tài)方程和輸出方程 一般的說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學特性. 62.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)：狀

4、態(tài)：一個動力學系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組 )(,),(21txtxtxn所組成的一個列向量 狀態(tài)變量組：狀態(tài)變量組：一個動力學系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時間域行為的一個最小內(nèi)部變量組 12( )( )( )( )nx tx ttx tx 狀態(tài)空間：狀態(tài)空間：狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù) 72.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述幾點解釋 (1) 狀態(tài)變量組對系統(tǒng)行為的完全表征性 (2) 狀態(tài)變量組最小性的物理特征 (3) 狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學特征 (4) 狀態(tài)變量組的不唯一性 (5) 系統(tǒng)任意兩個狀態(tài)變量組之間的關(guān)系 (6) 有窮維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng) (7)

5、狀態(tài)空間的屬性 82.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（動態(tài)方程或運動方程）:描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組 狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系） 輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。 0( )( ) , ( )( )xA t xB t uttyC t xD t u 92.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例 )(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc1120以上方程可表為形如 XAXBuYCXDueRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuR

6、RLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1102.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 機電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的示例機電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的示例 )(teaRaLconstifFJ,aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001上式可表為形如上式可表為形如 XAXBuYCXDu112.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)輸出部件輸出部件1u2upu1x2xnx1y2yqy連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空

7、間描述連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng) 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng) DuCXYBuAXXutDXtCYutBXtAX)()()()(動力學部件動力學部件122.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖 )(tB)(tC)(tDXYUX)(tADuCXYBuAXX132.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述形式 離散時間線性時不變系統(tǒng) (1)( )( )( )( )( )X kGx kHu kY kCx kDu k傳輸矩陣陣輸出矩陣陣輸入矩陣陣系統(tǒng)矩陣陣:DpqCnqHpnGnn

8、離散時間線性時變系統(tǒng)(1)( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )X kG k x kH k u kY kC k x kD k u k142.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖)(kH)(kC)(kD) 1( kx)(ky)(ku)(kx)(kG 狀態(tài)空間描述的特點狀態(tài)空間描述的特點 狀態(tài)方程形式上的差分型屬性 描述方程的線性屬性 變量取值時間的離散屬性單位延遲單位延遲152.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 人口分布問題狀態(tài)空間描述的列寫示例人口分布問題狀態(tài)空間描述的列寫示例假設某個國家，城市人口為107,鄉(xiāng)村人口為9x107，每年4%的城市人

9、口遷移去鄉(xiāng)村，2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市，整個國家的人口的自然增長率為1% 設k為離散時間變量， x1(k)、x2(k)為第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口, u(k)為第k年所采取的激勵性政策控制手段,設一個單位正控制措施可激勵5104城市人口遷移鄉(xiāng)村,而一個單位負控制措施會導致5104鄉(xiāng)村人口去城市, y(k)為第k年全國人口數(shù) )(10501. 1)(04. 001. 1)()02. 01 (01. 1) 1()(10501. 1)(02. 001. 1)()04. 01 (01. 1) 1(41224211kukxkxkxkukxkxkx寫成矩陣形式41142212(1)( )0.96960.0

10、2025.0510( )(1)( )0.04040.98985.0510( )( )11( )xkxku kxkxkxky kxk16第2章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 2.3 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 2.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型范型 2.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 2.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性 2.7 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間

11、描述172.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類設系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 ( , )( , )xfx u tyg x u t向量函數(shù) ),(),(),(),(),(),(),(),(2121tuxgtuxgtuxgtuxgtuxftuxftuxftuxfqn，若f(x,u,t)，g(x,u,t)的全部或至少一個組成元為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng) 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng) 對于線性系統(tǒng) utDXtCYutBXtAX)()()()(非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng) 182.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 若向量 f，g不顯

12、含時間變量 t，即 ),(),(uxgguxff該系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng) 若向量 f，g顯含時間變量 t，即 ),(),(tuxggtuxff該系統(tǒng)稱為時變系統(tǒng)時變系統(tǒng) 當且僅當系統(tǒng)的輸入變量，狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時間點，反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的連續(xù)過程，該系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng) DuCXYBuAXXutDXtCYutBXtAX)()()()( 當且僅當系統(tǒng)的輸入變量，狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時間點，反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的不連續(xù)過程，該系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。)()()()()()1(kDukCxkYkHukGxkX)()()()()()()()()(

13、)1(kukDkxkCkYkukHkxkGkX192.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 稱一個系統(tǒng)為確定性系統(tǒng)，當且僅當不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動，都是隨時間按確定的規(guī)律而變化的 稱一個動態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng)，或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性，或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動是隨機變量 20第2章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 2.3 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 2.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型范型 2.5

14、由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 2.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性 2.7 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述212.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述 對于單輸入，單輸出線性時不變系統(tǒng),其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其傳遞函數(shù)描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以導出其狀態(tài)空間描述為 1111RdRcRbRARxducxybuAxxnnnnn222.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述結(jié)論結(jié)論1 給定單

15、輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其對應的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導出 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1) m=n，即系統(tǒng)為真情形，即系統(tǒng)為真情形ubxabbabbabbyuxaaaaXnnnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210設 zazazunnn0)1(1)( 232.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述( )(1)10( )(1)10(2 )(21)( )(21)(22)10111(1)( )(1)1

16、000100( )(1)( )( )(1011()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyaya yb ubub ub zb azb a zbzbazba zb zb azb a zb zbzb zab zbz1)(1)0( )(1)010)()nnnnnb zab zbzb z可見可見 zbzbzbynnnn0)1(1)( 242.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述12231( )(1)11011201( )(1)101120110100111211,()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxzaza za zuaxa xa

17、 xuyb zbzb zbaxa xa xubxb xba bxba bxbabxb u 有有 (1)12,nnxz xzxz 令令 zbzbzbynnnn0)1(1)(zazazunnn0)1(1)( 252.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述寫成矩陣形式：寫成矩陣形式： ubxxxxbabbabbabbabyuxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnnnnn1211122110012112101211000100001000010 (2) mn，即系統(tǒng)為嚴真情形，即系統(tǒng)為嚴真情形 xbbbyuxaaaaXmn0010001000000010101210011101111)()()(

18、asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm2.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述 272.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述112233123010000106401941617201600 xxxxuxxxyxx 例例 給定系統(tǒng)的輸入給定系統(tǒng)的輸入-輸出描述為：輸出描述為：(3)(2)(1)(1)16194640160720yyyyuu利用利用(1.35)即可定出相應的一個狀態(tài)空間描述為：即可定出相應的一個狀態(tài)空間描述為：112233123010000106401941611840616644xxxxuxxxyxux 例例 給定系統(tǒng)的輸入給定系統(tǒng)的輸入-輸出描述為：輸出描述為：(3

19、)(2)(1)(3)(1)161946404160720yyyyuuu利用利用(1.39)即可定出相應的一個狀態(tài)空間描述為：即可定出相應的一個狀態(tài)空間描述為：282.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述結(jié)論結(jié)論2 給定單輸入、單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述，其對給定單輸入、單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述，其對應的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導出應的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導出 (1) m=0情形情形此時輸入輸出描述為: ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(01110)(asasasbsgnnn選取n個狀態(tài)變量 ) 1(21nnyxyxyx 292.3 化輸入-輸出描

20、述為狀態(tài)空間描述其對應的狀態(tài)空間描述為: xyubxaaaaxn0, 0, 10001000000010012101nxnxnx 0bs1s1s11xy2xu1na2na0a1a 302.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述(2) m0情形情形此時輸入輸出描述為: ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnnuuuyuxxuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 1) 312.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述其對應的狀態(tài)空間描

21、述為其對應的狀態(tài)空間描述為: 1210121001000000011,0,0nnnxxuaaaayxu其中其中00112211001122201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn 322.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述2)ubububyayaynnnnnnn0)1(1)(0)1(1)(ubyaubyaubyaubynnnnn00)1(11)1(11)()()()(改寫為改寫為 令令 12111111,nnnnnxyb u xxaybuxxa yb u1111122222111110001211000100010001000nnnnnnnnnnnnnnnnnxxababxxa

22、babuxxaba baba bxxxxybxxu 332.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述結(jié)論結(jié)論3 給定單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：給定單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為： 01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm其極點即分母方程的根其極點即分母方程的根, n,21為兩兩互異實數(shù)，則對應為兩兩互異實數(shù)，則對應(1) mn，即系統(tǒng)為嚴真情形，即系統(tǒng)為嚴真情形 nissgksksksksgisinn, 2 , 1),)(lim)(2211對應的狀態(tài)空間描述為對應的狀態(tài)空間描述為 11221,1,1nnkkxxuyxk 的狀態(tài)空間描述可按如下兩類

23、情形導出：的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導出：342.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述(2) m=n，即系統(tǒng)為真情形即系統(tǒng)為真情形 令令nissgkasasasabbsabbsgsgbasasasbsbsbsbsgisinnnnnnnnnnnnnnnn, 2 , 1),)(lim)()()(01110011101110111對應的狀態(tài)空間描述為：對應的狀態(tài)空間描述為：11221,1,1nnnkkxxyxb uk 352.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述例例1 設系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述設系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述 451372sss21s解解 上圖等效為上圖等效為 2

24、1s45s12su1xy3x2x指定狀態(tài)變量組后，列寫指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程：變量間的關(guān)系方程：21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx 362.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述寫成矩陣形式寫成矩陣形式 111222333405501221 101120 xxxxxuyxxxx 21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx 例例2 設單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 3322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg試列寫其狀態(tài)空間表達式。試列寫其狀態(tài)空間表達式

25、。 372.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述結(jié)構(gòu)圖如下結(jié)構(gòu)圖如下 11s21s31s11s11s11e12e13e2e3eu1xy3x2x5x4x寫出變量之間的關(guān)系寫出變量之間的關(guān)系 534231321211153542431332122111xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx 382.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述寫成矩陣形式寫成矩陣形式 54321321312115432132111543211110000000000000000100001xxxxxeeeeeyuxxxxxxxxxx 392.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述也畫出結(jié)構(gòu)圖為也畫出結(jié)構(gòu)圖為 11s1

26、1s11se1131s21se13e12uy11x12x13x2x3xe2e33322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg可寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程為可寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ueeeeexxxxxxxxxx32131211321312113211132131211000000000010000100003213121111100 xxxxxy 402.3 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述例例3)1 (11)()()(2121211211sszsssksszsssksssszsksG設設畫出結(jié)構(gòu)圖畫出結(jié)構(gòu)圖 uyk11ss21ss12zs 1x2x動態(tài)

27、方程為動態(tài)方程為 21122121210101xxkyuzsxxssxx 41第2章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 2.3 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 2.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型范型 2.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 2.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性 2.7 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述422.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型 特征

28、多項式特征多項式 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng) BuAxx(),det()sIAsIA特征矩陣特征多項式(1) 特征多項式特征多項式0111)det()(sssAsIsnnn110,n均為實常數(shù)均為實常數(shù) (2) 特征方程式特征方程式 00111sssnnn 線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A 的特征值特征值是表征系統(tǒng)的動力學特征的一個重要參量。 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng) A,B,C,D，當，當 A 的特征值兩兩相異時，利用特征向量組的特征值兩兩相異時，利用特征向量組成變換矩陣，可化為對角形；成變換矩陣，可化為對角形； 當當 A 的特征值不是兩兩相異時，有時可以化為對角形，有時不能化的特征值不是兩兩相異時，有時可以化為

29、對角形，有時不能化成對角形，只能化為約當形。成對角形，只能化為約當形。432.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型 特征向量特征向量 一個階數(shù)為n的系統(tǒng)，必有且僅有n個特征值，可為實數(shù)或共軛復數(shù)共軛復數(shù)。稱一個非零列向量vi為矩陣為矩陣A 的屬于特征值 的屬于特征值的特征向量， 如果 成立,這個特征向量是不唯一的。 當n個特征值 為兩兩互異時，任取的n個特征向量 必是線性無關(guān)的。12,n 12,nv vv()0iiIA vi結(jié)論結(jié)論 對 n 個特征值 兩兩互異的 n 維線性時不變系統(tǒng)，基于 n 個特征向量構(gòu)造變換陣 ，則狀態(tài)方程可通過線性非奇異變換 BuAxxxpx1而化為對角線規(guī)范形 BP

30、BuBxxn121,12,n12 ,npv vv442.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型例例 給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：211701020213xxu 其特征值與對應特征向量為：其特征值與對應特征向量為：1112 1 1 ，1231100 0 1011vvv ，于是，可得到變換矩陣于是，可得到變換矩陣P和其逆和其逆P-1為：為：1110111001011011010PP，從而，可定出：從而，可定出：11200201050012AP APbP b ，給定狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型為：給定狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型為xxxux

31、x 452.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型 結(jié)論結(jié)論 特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形對包含重特征值的n維線性時不變系統(tǒng)，設系統(tǒng)的特征值 111222(,),(,),(,)lll 重重重重重重那么，基于相應于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，xQx1可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當規(guī)范形： 1111,lJxQ AQxQ BuxBuBQ BJ令其中，Ji為相應于特征值 的約當塊：i12()()111,2,1iiiikikiiiiiiiikrrikikiiJkJJJrJ462.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型特征值的代數(shù)重數(shù) 設i 為矩陣A的一個特征值，且 則稱i為i的代數(shù)重

32、數(shù)。幾何重數(shù) 若 則稱i為i的幾何重數(shù)。 幾個重要的概念幾個重要的概念det()()( )()0iiiiiIA ()iirankIAn 零空間 零空間也就是方程 Ax=0 的所有解的集合。它是一個線性空間。 如果零空間的維數(shù)為0，則該空間僅包含一個零向量。 如果維數(shù)為k，則方程Ax=0有k個線性無關(guān)的向量解。472.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型廣義特征向量廣義特征向量廣義特征向量鏈廣義特征向量鏈1 ()0 ()0 iikiikiiAkAA稱一個非零向量是矩陣 的屬于 的 級廣義特征向量()(1)(1)(1)() ()iikiikiiikiiivAkkvvvA vvAvk設 是矩陣 的

33、屬于 的 級廣義特征向量，則如下定義的 個向量必是線性無關(guān)的：并且稱此向量組為長度是 的廣義特征向量鏈。482.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型 化為約當形的變換矩陣的構(gòu)成化為約當形的變換矩陣的構(gòu)成設i為A的代數(shù)重數(shù)為i的特征值，計算秩直到m=m0 且m0= i為止,再按如下方式生成廣義特征向量鏈，(為使符號不過于復雜，假定n=10， i =8，m0=4，且設v0 =0, v1 =3, v2 =6, v3 =7, v4 =8):v4-v3=1v3-v2=1v2-v1=3v1-v0=3(4)11iivv(3)11()iiivIA v (2)33(2)22(2)211()iiiiiiivvv

34、vvIA v(1)33(1)22(1)311()()()iiiiiiiiivIA vvIA vvIA v (),1,2,3mimrankIAAm492.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(2)1111223323iiiiiiiiQ4311123(2)21232223300,0000iiiiiiiiiiiiiiiiivA viA vvvvvvIA vIAvIA vIAv其中，為滿足（）和（）的非零列向量，和為滿足線性無關(guān)（），（）（），（）的列向量( )( )( )123( )( )()111212121 2 3 41 21 21 21 2()iii

35、ikjjiiiiikjiiiiiiiiiiiiivkvvjvkrjrvrrrrrrr則如表生成的個廣義特征向量， ， ， ，必是線性無關(guān)的，推廣為更一般的情況，個廣義特征向量， ， ， ；， ， ，； ；， ， ，必是線性無關(guān)的，其中且有12()(1)(2)1 2,1,2,iilsliiiiirikikikikiliQQQnnQQQQnQnril k 陣 陣， ，陣 其中，50第2章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 2.3 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 2.4 狀態(tài)

36、方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型范型 2.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 2.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性 2.7 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述512.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣定義：單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即 )( )( )(susysg多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：)( )()( susGsy稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其

37、中 111111( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( )pqpqqpy su sgsgsy su sG sysusgsgs，522.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣(1) G(s)的函數(shù)屬性 傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復變量s的qp有理分式矩陣。 (2) G(s)的真性和嚴真性 當且僅當G(s)是真或嚴真時， G(s)才是物理上可實現(xiàn)的 零陣是嚴真的非零常陣是真的)(lim)()(lim)(sGsGsGsGss(3) G(s)的特征多項式和最小多項式 階子式的最小公分母的所有的最小多項式階子式的最小公分母、階、階、的所有的特征多項式1)()()(),min

38、(21)()()(sGssGpqsGssGGG532.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣(5) G(s)的循環(huán)性 若若 常數(shù)ksksGG),()(稱G(s)是循環(huán)的 (6) G(s)正則性和奇異性 是非正則的為奇異滿足方有理分式矩陣是正則的)()(0)(det)()(sGsGsGsGsG(4) G(s)的極點 G(s)的極點定義為方程式 0)( sG的根 542.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 G(s)基于基于(A,B,C,D)的表達式的表達式考慮連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)考慮連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) DuCxyBuAxx則則DBAsICsG1)()(2.83)( )( )( ) (2.86)(

39、 )( )(2.86) (-) ( )( ) sx sAx sBu sy sCx sDu ssIA x sBu s證 對做拉普拉斯變換，可導出進而，由的第一個關(guān)系式又可得到1 (2.87)(-)( )( ) (2.88)sIAx sBu s且考慮到作為多項式矩陣必須是非奇異的，因此(2.87)可以改寫為：(sI-A)552.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣11(2.88)(2.86) ( )() ( ) (2.89)(1.84) ()() det() (2.90)()y sC sIABD u ssIAadj sIAsIAadj sIA把帶入的第二個關(guān)系式，即可得到從而可以導出考慮到且的每個元

40、多項式的最高1det() lim()0 (2.91)(2.91)(2.84)(2.85)0()(1.84)( )0()( )ssIAsIADGG sDGG s次冪均小于，所以必須有于是，由和即可導出。進一步易知，當時，為非零常陣，故由給出的為真；當時，為零矩陣，所以相應的嚴格為真。證明完畢562.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 結(jié)論結(jié)論 G(s)的實用計算關(guān)系式的實用計算關(guān)系式令令 CBBCABCAECBBCABCAECBCABECBEsssAsIsnnnnnnnnnnnn12110231211210111)det()(則則)(1)(012211EsEsEsEssGnnnn57第2章 線性

41、系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.2 系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類 2.3 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 2.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)狀態(tài)方程的對角線規(guī)范型和約當規(guī)范型范型 2.5 由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數(shù)矩陣 2.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性 2.7 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述582.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性坐標變換的實質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個坐標系上的表征化為另一個坐標系上的表征。 線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為 xAxBuyCxDu：引入坐標變換 xPx1則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 xAxBuyCxDu:DDCPCBPBAPPA,11592.6 線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性 結(jié)論結(jié)論 線性時不變系統(tǒng)引入坐標變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變。 具有相同輸入和輸出的兩個同維線性時不變系統(tǒng)代數(shù)等價，當且僅當它們的系統(tǒng)矩陣之間滿足狀態(tài)空間描述坐標變換中給出的關(guān)系。代數(shù)等價的系統(tǒng)