立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角

1、§立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生學(xué)會(huì)求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量方法；2、使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題；3、使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學(xué)重點(diǎn)求解二面角的向量方法教學(xué)難點(diǎn)二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關(guān)系教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）（

2、3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）2、向量的有關(guān)知識(shí)：（1）兩向量數(shù)量積的定義：（2）兩向量夾角公式：（3）平面的法向量：與平面垂直的向量二、知識(shí)講解與典例分析知識(shí)點(diǎn)1、異面直線所成的角（范圍： ）（1）定義：過空間任意一點(diǎn)o分別作異面直線a與b的平行線a´與b´，那么直線a´與b´所成的不大于90°的角 ，叫做異面直線a與b所成的角。a´b´oab（2）用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b的方向向量分別為和 ， 問題1 當(dāng)與的夾角不大于90°時(shí)，異面直線a、b所成的角 與和的夾角的關(guān)

3、系？ 相等問題 2 當(dāng)與的夾角大于90°時(shí)，異面直線a、b所成的角 與和的夾角的關(guān)系？ 互補(bǔ)所以，異面直線a、b所成的角的余弦值為=nm,coscosq典型例題1：在RtAOB中，AOB=90°，現(xiàn)將AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中點(diǎn)D1 、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)OA=1,則A(1,0,0) B(0,1,0) F1( ,0,1) D1( , ,1)所以，異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為知識(shí)點(diǎn)2、直線與平面所成的角（范圍： ）

4、BAOnBAOn據(jù)圖分析出直線與平面所成的角的正弦值為= 典型例題2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E、F分別為CD、DD1的中點(diǎn)， A1zC1AD (1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;D1 (2)求二面角F-AE-D的余弦值。B1yBCx解： (1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則：A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)設(shè)平面AB1C的法向量為n =(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為n1n23、二面角（范圍：

5、）n1n2典型例題2 (2)點(diǎn)E、F分別為CD、DD1的中點(diǎn)，求二面角F-AE-D的余弦值。解：(2)由題意知設(shè)平面AEF的法向量為m=(x2,y2,z2),故m=(-2, 1,-2)取y2=1,得x2=z2=-2所以又平面AED的法向量為AA1=(0,0,1) 觀察圖形知，二面角F-AE-D為銳角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值為典型例題3 如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A，B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 a 和 b ,CD的長為c , AB的長為d .求庫底與水壩所成二面角的余弦值. 解：如圖根據(jù)向量的加法法則, 于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫與水壩所成的二面角.因此 所以 庫底與水壩所成二面角的余弦值是OABCS三、鞏固練習(xí)如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90°，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求 異面直線SA和OB所成的角的余弦值