立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角

1、§立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角教學目標1、使學生學會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量方法；2、使學生能夠應用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題；3、使學生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學重點求解二面角的向量方法教學難點二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關系教學過程一、復習引入1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（

2、3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形）2、向量的有關知識：（1）兩向量數(shù)量積的定義：（2）兩向量夾角公式：（3）平面的法向量：與平面垂直的向量二、知識講解與典例分析知識點1、異面直線所成的角（范圍： ）（1）定義：過空間任意一點o分別作異面直線a與b的平行線a´與b´，那么直線a´與b´所成的不大于90°的角 ，叫做異面直線a與b所成的角。a´b´oab（2）用向量法求異面直線所成角設兩異面直線a、b的方向向量分別為和 ， 問題1 當與的夾角不大于90°時，異面直線a、b所成的角 與和的夾角的關

3、系？ 相等問題 2 當與的夾角大于90°時，異面直線a、b所成的角 與和的夾角的關系？ 互補所以，異面直線a、b所成的角的余弦值為=nm,coscosq典型例題1：在RtAOB中，AOB=90°，現(xiàn)將AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中點D1 、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。解：以點O為坐標原點建立空間直角坐標系，并設OA=1,則A(1,0,0) B(0,1,0) F1( ,0,1) D1( , ,1)所以，異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為知識點2、直線與平面所成的角（范圍： ）

4、BAOnBAOn據(jù)圖分析出直線與平面所成的角的正弦值為= 典型例題2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E、F分別為CD、DD1的中點， A1zC1AD (1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;D1 (2)求二面角F-AE-D的余弦值。B1yBCx解： (1)以點A為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，則：A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)設平面AB1C的法向量為n =(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為n1n23、二面角（范圍：

5、）n1n2典型例題2 (2)點E、F分別為CD、DD1的中點，求二面角F-AE-D的余弦值。解：(2)由題意知設平面AEF的法向量為m=(x2,y2,z2),故m=(-2, 1,-2)取y2=1,得x2=z2=-2所以又平面AED的法向量為AA1=(0,0,1) 觀察圖形知，二面角F-AE-D為銳角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值為典型例題3 如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A，B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 a 和 b ,CD的長為c , AB的長為d .求庫底與水壩所成二面角的余弦值. 解：如圖根據(jù)向量的加法法則, 于是，得設向量與的夾角為，就是庫與水壩所成的二面角.因此 所以 庫底與水壩所成二面角的余弦值是OABCS三、鞏固練習如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90°，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求 異面直線SA和OB所成的角的余弦值