線性代數(shù)(人大版趙樹嫄編)第一章行列式課件

1、2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)線性代數(shù)2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論課之一。它既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必修課，也是理論課之一。它既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必修課，也是學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的必修課。學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的必修課。課程的性質(zhì)：課程的性質(zhì)：2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院內(nèi)容與任務(wù)：內(nèi)容與任務(wù)：1線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線

2、性相關(guān)性、初等變換、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型等內(nèi)容。相似矩陣及二次型等內(nèi)容。2.既有一定的理論推導(dǎo)，又有大量的繁雜運(yùn)既有一定的理論推導(dǎo)，又有大量的繁雜運(yùn)算。有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和算。有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和動(dòng)手解決問題的能力。動(dòng)手解決問題的能力。 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 線性代數(shù)不僅為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)線性代數(shù)不僅為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術(shù)中有著廣泛的基礎(chǔ)，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是理工科以及經(jīng)管類大學(xué)生的一門重要的數(shù)應(yīng)用，是理工科以及經(jīng)管類大學(xué)生的一門

3、重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。該課程的特點(diǎn)是：學(xué)基礎(chǔ)課。該課程的特點(diǎn)是：公式多、式子大、符公式多、式子大、符號(hào)繁，但規(guī)律性強(qiáng)。號(hào)繁，但規(guī)律性強(qiáng)。課程內(nèi)容比較抽象，需要學(xué)生課程內(nèi)容比較抽象，需要學(xué)生具備一定的具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問題能力和動(dòng)手解決實(shí)際問題的能力題能力和動(dòng)手解決實(shí)際問題的能力用途與特點(diǎn)：用途與特點(diǎn)：2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 為學(xué)好這門課程，要求學(xué)生要認(rèn)真上好每為學(xué)好這門課程，要求學(xué)生要認(rèn)真上好每一節(jié)課，深刻理解每一節(jié)課的基本理論，熟練一節(jié)課，深刻理解每一節(jié)課的基本理論，熟練掌握每一節(jié)課的重要內(nèi)容，熟練運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)解掌

4、握每一節(jié)課的重要內(nèi)容，熟練運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)解題，能夠收到舉一反三，觸類旁通的效果。題，能夠收到舉一反三，觸類旁通的效果。 按時(shí)完成作業(yè)。按時(shí)完成作業(yè)。 考查方式考查方式: :期末考試閉卷期末考試閉卷-70%; -70%; 平時(shí)作業(yè)、平時(shí)作業(yè)、出勤、小測試出勤、小測試-30%-30%。學(xué)習(xí)與要求：學(xué)習(xí)與要求：2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院輔導(dǎo)用書輔導(dǎo)用書:、 高等代數(shù)（第三版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系高等代數(shù)（第三版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)小組編高等教育出版社幾何與代數(shù)小組編高等教育出版社 、線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解 人大第三版人大第三版羅劍、滕加俊編著陜西師范大學(xué)出

5、版社羅劍、滕加俊編著陜西師范大學(xué)出版社、線性代數(shù)習(xí)題集線性代數(shù)習(xí)題集胡顯佑、彭勇行主編胡顯佑、彭勇行主編南開大學(xué)出版社南開大學(xué)出版社 、 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第二分冊(cè)線性代數(shù)），經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第二分冊(cè)線性代數(shù)），龔德恩主編四川人民出版社龔德恩主編四川人民出版社2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院第一章行列式第一章行列式 本章主要介紹本章主要介紹n n階行列式的定義，階行列式的定義， 性質(zhì)及其計(jì)性質(zhì)及其計(jì)此外還要介紹用此外還要介紹用n n階行列式階行列式方程組的克萊姆方程組的克萊姆(Cramer)(Cramer)法則法則算方法算方法求解求解n n元線性元線性2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)

6、學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1.1 1.1 二階、三階行列式二階、三階行列式2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院引例引例二元線性方程組二元線性方程組 1212111bxaxa2222121bxaxa將將22a12a得得211211221122211abbaxaaaa )(同理可得同理可得 121122211xaaaa)( 當(dāng)當(dāng)21122211aaaa0時(shí)，時(shí)， 方程組有方程組有 唯一解：唯一解：212221baab 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 1212111bxaxa2222

7、121bxaxa1211aa 21122211aaaa D2221aa稱為二階行列式，稱為二階行列式，橫排的稱為行，橫排的稱為行，表示一代數(shù)和表示一代數(shù)和.21122211aaaa左上角到右下角稱為左上角到右下角稱為主對(duì)角線，主對(duì)角線， 右上角到左下角稱為右上角到左下角稱為豎排的稱為列豎排的稱為列副對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則：二階行列式等于主對(duì)角線元素的乘對(duì)角線法則：二階行列式等于主對(duì)角線元素的乘積減去副對(duì)角線元素的乘積積減去副對(duì)角線元素的乘積2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院211222112122211aaaabaabx 2212aa2111aa1b2b 1b 1D2b2b 2

8、D DDx11 DDx22 22a 12a2b11a21a22211211aaaaD 1b1b 1212111bxaxa2222121bxaxa211222112112112aaaaabbax DD21122211aaaa02022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例2315 例例 設(shè)設(shè),132 D(1)(1)當(dāng)當(dāng) 為何值時(shí)為何值時(shí)(2)(2)當(dāng)當(dāng) 為何值時(shí)為何值時(shí) , 0 D. 0 D解解132 D032 ，0 3 或或25 31 )(13 232022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院因此可得：因此可得：(1) (1) (2)(2)0 3 時(shí)時(shí), 0 D0 3 且且時(shí)時(shí). 0

9、 D例例解二元線性方程組解二元線性方程組 542132121xxxx解解 D2 23 10 此線性方程組有唯一解此線性方程組有唯一解當(dāng)當(dāng)或或當(dāng)當(dāng))( 41 134 0 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21 1x2x 1313212111bxaxaxa 2323222121bxaxaxa 3333232131bxaxaxa 131211aaa232221aaa333231aaa D)(1 542132121xxxx4231 D5 1D143 15 4 ,19 13 552 2D 1019 DD11019 103 DD2 103 10稱為三階行列式稱為三階行列式三三元元線線性性方方

10、程程組組引引例例2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院當(dāng)當(dāng)333231232221131211aaaaaaaaaD 0 時(shí)，方程組時(shí)，方程組(1)(1)有唯一解：有唯一解： 333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa DDx22 DDx33 DDx11 312312aaa322113aaa 322311aaa 312213aaa332112aaa2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例4 4601504321 301120101 26 主對(duì)角線及其主對(duì)角線方向上的三個(gè)元素的乘主對(duì)角線及

11、其主對(duì)角線方向上的三個(gè)元素的乘積積副對(duì)角線及其副對(duì)角線方向上的三個(gè)元副對(duì)角線及其副對(duì)角線方向上的三個(gè)元帶正號(hào)，帶正號(hào)，帶負(fù)號(hào)，帶負(fù)號(hào)， 所得六項(xiàng)的代數(shù)和就是所得六項(xiàng)的代數(shù)和就是三階行列三階行列式的展開式式的展開式素的乘積素的乘積 321 )1(10 601 )1(52 043 051 642 )1(03 4810 58 101 001 )1(21 300 8 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例5 5,Rba 滿足什么條件時(shí)有滿足什么條件時(shí)有10100abba 10100abba 解解由題可得，即使由題可得，即使, 022 baba,Rba . 0 ba0 ba即即時(shí)，時(shí)， 給

12、定的行列式為零給定的行列式為零0 2a2b2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例6 61140101aa的充分必要條件是什么？的充分必要條件是什么？解解1140101aa012 a1 a1 a或或01140101 aa1 a或或1 a0 2a12022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院練習(xí)：練習(xí)：計(jì)算下列行列式計(jì)算下列行列式14005310111122xxxx11122xxxx解解)1(2 xx)1(x12x13x2x14005310115174312022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院作 業(yè)7 , 6),6)(4( 13635PP人管班人管班地理班地理班2526

13、1(2)(4),2(2)(4)(6)PP2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1.2 n1.2 n階行列式階行列式引例引例 n n元線性方程組元線性方程組 naaa11211 （方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)）（方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)） D列列第第j22222121bxaxaxann 11212111bxaxaxann .nnnnnnbxaxaxa 2211 naaa22221 nnnnaaa 21 jDnj ,21nnnnaaaaaan 12211111b2bnb 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(1)(1)? D(2)(2)0 D當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)， 方程組方程組是否有唯是否有唯 一解？

14、一解？(3)(3)解是否解是否,DDxii 0 D當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，若方程組若方程組有唯一有唯一 解，解，可以表示成可以表示成ni, 21怎樣算？怎樣算？2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院可以排成多少個(gè)可以排成多少個(gè)( (一一) )排列與逆序排列與逆序排列排列321 ,三個(gè)數(shù)三個(gè)數(shù)321312231213132123,6每一個(gè)三位數(shù)每一個(gè)三位數(shù)三級(jí)排列。三級(jí)排列。一般地，一般地，n, 321個(gè)元素個(gè)元素有序數(shù)組有序數(shù)組,niii 21稱為一個(gè)稱為一個(gè)43521如如是是645321是是級(jí)排列，級(jí)排列，是是44352級(jí)排列級(jí)排列是是514132一般地，一般地，n n級(jí)排列級(jí)排列!n不重復(fù)的

15、三位數(shù)不重復(fù)的三位數(shù)? ?都稱為一都稱為一 個(gè)個(gè)將將（數(shù)碼）（數(shù)碼） 排成一個(gè)排成一個(gè)n n級(jí)排列級(jí)排列級(jí)排列，級(jí)排列，級(jí)排列，級(jí)排列，共有共有個(gè)個(gè)2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院逆序及其逆序及其對(duì)于對(duì)于n n個(gè)不同的元素，個(gè)不同的元素，逆序數(shù)逆序數(shù)可規(guī)定各元素之間有一可規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序 （例如，（例如，n n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序）小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序） 于是，在這于是，在這n n個(gè)元素的任意個(gè)元素的任意排列中排列中當(dāng)某兩個(gè)元素的前后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序當(dāng)某兩個(gè)元素的前后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同不同時(shí)時(shí),逆序逆序，一個(gè)排列中所有逆序

16、一個(gè)排列中所有逆序的和的和 叫做這個(gè)排列的叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)是奇數(shù)的叫逆序數(shù)是奇數(shù)的叫奇排列奇排列，是偶數(shù)的叫是偶數(shù)的叫就說產(chǎn)生了一個(gè)就說產(chǎn)生了一個(gè)逆序數(shù)逆序數(shù)，偶排列偶排列如如53和和, 46和和643521, 56和和, 26和和, 36和和16和和.不構(gòu)成逆序不構(gòu)成逆序,構(gòu)成逆序構(gòu)成逆序2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院逆序數(shù)的計(jì)算方法逆序數(shù)的計(jì)算方法)(njjjN 21)(njjjN 21 1 nt 1t 即即nt niit1的的自自然然數(shù)數(shù)，至至不不妨妨設(shè)設(shè)元元素素為為n1并并規(guī)規(guī)定定從從小小到到大大的的逆逆序序數(shù)數(shù)，逆逆序序之之和和就就是是njjj 21為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)

17、次次序序。級(jí)級(jí)為為這這個(gè)個(gè)自自然然數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)設(shè)設(shè)njjjn 21),(niji 21考考慮慮元元素素,排排列列個(gè)個(gè)，的的逆逆序序是是那那么么iitj個(gè)個(gè)，前前面面的的元元素素有有iitj大大，且且排排在在如如果果比比ij全全體體元元素素記記為為2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院52143632415).,( 13如如的逆序數(shù)是的逆序數(shù)是4+1+0+1+0=6，是偶排列是偶排列的逆序數(shù)是的逆序數(shù)是5+2+1+1+0+0=9將將632415中的和中的和其余不動(dòng)，其余不動(dòng)，612435稱為稱為一個(gè)對(duì)換一個(gè)對(duì)換，此時(shí)此時(shí)612435的逆序數(shù)是的逆序數(shù)是1排列排列 說明了一個(gè)排列經(jīng)過

18、一個(gè)對(duì)換，說明了一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換，的奇偶性的奇偶性5214353142),( 32)52143(N)53142(N偶偶奇奇4312),( 134132)4312(N)4132(N奇奇偶偶是奇排列是奇排列兩個(gè)數(shù)碼對(duì)調(diào)，兩個(gè)數(shù)碼對(duì)調(diào)，得到得到1 2 6 1 1 0 是偶是偶記為記為改變排列改變排列( (定理定理. .，P5) )6 7 5 4 稱為相鄰對(duì)換稱為相鄰對(duì)換2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院)(123456N)(45321N)(564123N2)1( nn) )()(nnN2241213 練習(xí)：練習(xí)：9 11 )(211 nnN2)1( nn0 00234 002333

19、 121 n121 )()(nn2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院定理定理1.21.2( (二二) )nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211定義定義1.21.2即即個(gè)個(gè)排排列列，個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)碼碼共共有有 !nn,一一半半其其中中奇奇偶偶排排列列各各占占.2!n各各為為階階行行列列式式的的定定義義n排排成成的的數(shù)數(shù)表表個(gè)個(gè)元元素素用用),2, 1,(2njianij ,豎豎排排稱稱為為列列, 稱稱為為列列標(biāo)標(biāo)稱稱為為行行標(biāo)標(biāo)中中jiaij其其中中橫橫排排稱稱為為行行，,列列行行第第表表示示該該元元素素處處在在第第jiija,處處在在行行列列的的交交叉叉處處有時(shí)也記為有

20、時(shí)也記為元元),(ji2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa 322311332112312213aaaaaaaaa 231123213312013232123121321321jjjaaa )()(3211jjjN 321jjj取遍所有的取遍所有的三級(jí)排列三級(jí)排列22211211aaaa21122211aaaa 1221012121jjaa )()(211jjN 21jj12取取21和和2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnnnnaaaaaaaaa 21222

21、2111211 njjj 21取取遍遍級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的 n個(gè)個(gè)級(jí)級(jí)排排列列共共有有!nnija )det(ija Da)1( 就是就是一階行列式一階行列式a nnjjjaaa 2121)(21njjjN 、的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)稱稱為為D行行不不同同列列的的表表示示所所有有可可能能取取自自不不同同的的代代數(shù)數(shù)和和，各各項(xiàng)項(xiàng)的的符符號(hào)號(hào)是是：按按當(dāng)這一項(xiàng)的元素中行標(biāo)當(dāng)這一項(xiàng)的元素中行標(biāo)自自然然數(shù)數(shù)順順序序排排列列后后，取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)，列列標(biāo)標(biāo)的的排排列列是是奇奇排排列列則則.取取正正號(hào)號(hào)列列標(biāo)標(biāo)的的排排列列是是偶偶排排列列則則:注注,!項(xiàng)項(xiàng)階階行行列列式式共共有有 nn且且冠冠以以正正號(hào)號(hào)和和冠

22、冠以以.以以負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)的的項(xiàng)項(xiàng)各各為為一一半半、個(gè)元素乘積個(gè)元素乘積n2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211npppnaaa 2121取取遍遍級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的 nnppp 21定義定義1.21.2nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211nppp 21nqqq 21取取遍遍級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的n與與定義定義1.21.2 nnqpqpqpaaa 2211)()(2121nnqqqNpppN )(21npppN )1( ) 1( （定理（定理1.3.P91.3.P9）的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)稱稱為為D的的一一般般

23、項(xiàng)項(xiàng)稱稱為為D個(gè)個(gè)級(jí)級(jí)排排列列共共有有!nn2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa,ija42 , 1, ji14322341aaaa,41342312aaaa41322314aaaa)1324()4231()1(NN)2341()1(N! 42411322314aaaa)4321()1(N 101231 )(16)1( 解解1 ?) 1 ( 展展開開式式有有多多少少項(xiàng)項(xiàng))2(00031 )( ?中的一般項(xiàng)中的一般項(xiàng)是否是是否是ija四階行列式四階行列式2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)

24、學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院kji,例例 若是五階若是五階行行列式的一項(xiàng)，列式的一項(xiàng)，ija4213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa則為何值，則為何值，項(xiàng)符號(hào)是什么？項(xiàng)符號(hào)是什么？此時(shí)該此時(shí)該,3j解解此時(shí)此時(shí)5,1ki1,5ki或或(1)(1), 5, 1, 3kij)52314()14325(NN若若則則9取負(fù)號(hào)取負(fù)號(hào)(2)(2)若若, 1, 5, 3kij則則)52314()54321(NN16取正號(hào)取正號(hào)2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnnnaaaaaaaaaa 321333231222111000000例例計(jì)算計(jì)算n n階行列式階行列式其中其中01

25、111aajnnnjjjjjjNaaa 212121)()1(0iia), 2 , 1(ni 解解記行列式的一般項(xiàng)為記行列式的一般項(xiàng)為011312 naaa022423 naaa且且11 j02222aajnnnjjNaaa 2211)12()1(依次下去，可得依次下去，可得,iiijaaini , 4 , 3nnnNaaa 2211)12()1(nnaaa 2211nnnjjjjNaaa 22211)1()1(nnaaa 2211稱上面形式的行列式為稱上面形式的行列式為 下三角形行列式下三角形行列式2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院Dnnnnnaaaaaaaaaa 000000

26、333223221131211nnaaaa 000000000000332211nnaaa 22110iia), 2 , 1(ni nnaaa 2211其中其中:特殊情況特殊情況對(duì)角形行列式對(duì)角形行列式同理可得同理可得上三角形行列式上三角形行列式2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院注：注：取遍取遍njjj 212)1()1(nnnnnnnjjnjjjjjjNaaaa121121121)()1( 000000112111222211111211 nnnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111122121000000 12na1na級(jí)排列級(jí)

27、排列所有的所有的n12 nana1)211()1( nnN1121nnnaaa ,形形行行列列式式的的值值三三角角形形行行列列式式及及其其對(duì)對(duì)角角都等于主都等于主.對(duì)角線上元素的乘積對(duì)角線上元素的乘積類似可得類似可得2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院000000000000112121 nnnnaaaa2)1()1(nn1121nnnaaa ,全全為為零零一一個(gè)個(gè)行行列列式式中中的的元元素素不不同理有同理有:出出由由行行列列式式的的定定義義不不難難得得:注注一一個(gè)個(gè)行行列列式式如如果果有有一一,零零行行或或一一列列中中的的元元素素全全為為.則則此此行行列列式式必必為為零零:判斷判

28、斷.一一定定不不為為零零那么這個(gè)行列式那么這個(gè)行列式2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例用行列式的定義來計(jì)算行列式用行列式的定義來計(jì)算行列式ija解解)4 , 3 , 2 , 1,(ji1100001001011010設(shè)設(shè)1100001001011010 級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的取取遍遍44321)(432143214321)1(jjjjjjjjjjjjNaaaa43a14a32a21a)4123()1(N)1(3110100111010100111練習(xí)：練習(xí)： 級(jí)級(jí)排排列列所所有有取取遍遍443214321432143211jjjjjjjjjjjjNaaaa)()(34a1

29、11aija43a)1243()1(N 22a4311aa32a24a)1423()1(N 1 0 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院階行列式的定義：階行列式的定義：nnnnnnnaaaaaaaaa212222111211:3等等價(jià)價(jià)定定義義:的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)可可以以記記為為階階行行列列式式ijaDn )()()(nnjjjNiiiN21211 :1等等價(jià)價(jià)定定義義:2等等價(jià)價(jià)定定義義nnnjjjjjjNaaa 2121211)()( 的級(jí)排列的級(jí)排列所有所有n 取遍取遍njjj 21niiiiiiNnnaaa 21)(2121)1( 的級(jí)排列的級(jí)排列所有所有n取遍取遍niii

30、21.級(jí)級(jí)排排列列均均為為與與其其中中njjjiiinn2121nnjijijiaaa2211 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例用行列式定義計(jì)算用行列式定義計(jì)算xxxxx111123111212 中中的的系系數(shù)數(shù)，并并說說明明理理由由與與中中34xx解：解：)()(12341N xxx 1xxxx )(242x )()(21341N 3x 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院xyyxyxyxyxD000000 練習(xí)練習(xí)：)12()1(nN nx 解：解：計(jì)算計(jì)算n n階行列式階行列式xx x )123()1(nN yy y x x y y nny1)1( 202

31、2-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院的的性性質(zhì)質(zhì)來來解解題題。較較少少時(shí)時(shí)一一般般用用行行列列式式定定義義來來解解題題，而而零零元元素素中中零零元元素素較較多多一一般般用用計(jì)計(jì)算算行行列列式式時(shí)時(shí)候候，若若其其注：注：2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1.3 1.3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:1性性質(zhì)質(zhì),行行列列式式的的值值不不變變將將行行列列式式轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置,行列式行列式的行和列互換后得到的的行和列互換后得到的將行列式將行列式DnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 用定義證明！用定義證明！.DDT 即即.DD

32、DT 或或記記為為的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式稱稱為為naaa11211naaa22221nnnnaaa21 TD2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:證明證明 )1(的的等等價(jià)價(jià)定定義義行行列列式式Dnnnnnnaaaaaaaaa212221212111 ijTbD ijbnnnnnnijaaaaaaaaaaD212222111211 級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的取取遍遍njjjn 21則則nnnnnnbbbbbbbbb212222111211 nnnjjjjjjNbbb212121)()1( 級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的取取遍遍njjjn 21jia nnnjjjjjjNaaa212121

33、)() 1( njjjjjjNnnaaa21)(2121) 1( )2(的的等等價(jià)價(jià)定定義義行行列列式式D級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的取取遍遍njjjn 21TDD 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3421 如如3241 ,同同的的地地位位行行列列式式中中的的行行列列具具有有相相11 11 注：注：從從而而對(duì)對(duì)行行成成立立的的性性質(zhì)質(zhì)，:2性性質(zhì)質(zhì).),(行行列列式式的的值值變變號(hào)號(hào)列列交交換換行行列列式式的的兩兩行行對(duì)對(duì)列列也也成成立立。2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnnsnssiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 nnnnnaaaaa

34、aD21112111 )( 行行i)( 行行s)( 行行i)( 行行s snssaaa21iniiaaa21 2345452322 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:推論推論,)(對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素相相同同列列如如果果行行列列式式中中有有兩兩行行1DnnnnnnnaaabbbbbbaaaD21212111211 :3性質(zhì)性質(zhì)),(列列乘乘以以行行列列式式的的某某一一行行用用數(shù)數(shù)k, 2由由性性質(zhì)質(zhì).則則此此行行列列式式的的值值為為零零:證明證明D D D 0 D,DD 1則則即即若若,ijaD 乘乘以以行行列列式式。k等等于于數(shù)數(shù)2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院n

35、nnniniinaaakakakaaaaD2121112111 nnnniniinaaaaaaaaak212111211 kD 用用定定義義證證明明！nnnniniinaaakakakaaaaD2121112111 :證證明明 ninnjijjjjjNakaa)()()(12111取取遍遍njjj21級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的 n2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnniniinaaaaaaaaak212111211 kD :1推論推論:2推推論論,)(的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素成成比比例例列列如如果果行行列列式式有有兩兩行行的的推推論論）以以及及性性質(zhì)質(zhì)（利利用用了了性性質(zhì)質(zhì)23 n

36、innjijjjjjNakaa)()()(12111取取遍遍njjj21級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的 n ninnjijjjjjNaaak12111)()(取取遍遍njjj21級(jí)級(jí)排排列列所所有有的的 n.則則行行列列式式的的值值為為零零,)(的的所所有有元元素素有有公公因因子子列列如如果果行行列列式式某某行行.的的外外面面則則公公因因子子可可提提到到行行列列式式2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnniniinaaabbbaaa212111211 nnnniniinaaacccaaa212111211 nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211 ：

37、性性質(zhì)質(zhì)4用用定定義義證證明明！21DD 對(duì)對(duì)列列兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為所所在在行行這這兩兩個(gè)個(gè)行行列列式式分分別別以以這這)(的的每每一一個(gè)個(gè)元元素素列列行行如如果果將將行行列列式式中中的的某某一一)(,都都寫寫成成兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的和和個(gè)個(gè)行行列列式式則則此此行行列列式式可可以以寫寫成成兩兩即即對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)位位置置的的元元素素，,的的和和列列式式相相同同。其其它它位位置置的的元元素素與與原原行行2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:證證明明ninnjijjjjjNaba12111)()( 的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)可可表表示示為為DniinnjijijjjjjNacba)()()( 12111nin

38、njijjjjjNaca12111)()( nnnniniinaaabbbaaa212111211nnnniniinaaacccaaa212111211 21DD :推推論論個(gè)個(gè)的的每每個(gè)個(gè)元元素素都都寫寫成成列列行行列列式式某某一一行行m)(.個(gè)個(gè)行行列列式式的的和和則則此此行行列列式式可可寫寫成成 m),(2 m數(shù)數(shù)之之和和2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院如如510312 510312 512031333222111 cbacbacba321aaa510312332211 bababa321aaa321bbb512031 512031 512031 321bbb321ccc

39、2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:5性質(zhì)性質(zhì)后后的的所所有有元元素素同同乘乘以以數(shù)數(shù)列列將將行行列列式式某某一一行行k)(nnnnsnssiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 )( 行行i)( 行行snnnnsnsssninsisinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211 .,)(行行列列式式的的值值不不變變對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素上上列列加加于于另另一一行行2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnnsnsssninsisinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211 iniiaaa.21snsskakak

40、a.21D 4性性質(zhì)質(zhì)23推推論論性性質(zhì)質(zhì)0證明：證明： nnnnsnssnaaaaaaaaa212111211nnnnsnssnaaaaaaaaa2121112112022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:1性質(zhì)性質(zhì).,DDT 即即行列式的值不變行列式的值不變將行列式轉(zhuǎn)置將行列式轉(zhuǎn)置:2性質(zhì)性質(zhì).),(行行列列式式的的值值變變號(hào)號(hào)列列交交換換行行列列式式的的兩兩行行:推論推論,)(對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素相相同同列列如如果果行行列列式式中中有有兩兩行行.則則此此行行列列式式的的值值為為零零:3性質(zhì)性質(zhì)kk等等于于數(shù)數(shù)列列乘乘以以行行列列式式的的某某一一行行用用數(shù)數(shù)),(.乘乘以以行行列列式式

41、:1推論推論,)(所所有有元元素素有有公公因因子子列列如如果果行行列列式式某某行行.式式的的外外面面則則公公因因子子可可以以提提到到行行列列:2推論推論,)(的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素成成比比例例列列如如果果行行列列式式有有兩兩行行.則則行行列列式式的的值值為為零零:4性性質(zhì)質(zhì)的的每每一一個(gè)個(gè)元元素素列列行行如如果果將將行行列列式式中中的的某某一一)(個(gè)行列式個(gè)行列式則此行列式可以寫成兩則此行列式可以寫成兩都寫成兩個(gè)數(shù)的和都寫成兩個(gè)數(shù)的和,)(列列別別以以這這兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為所所在在行行的的和和，這這兩兩個(gè)個(gè)行行列列式式分分.相相同同位位置置的的元元素素與與原原行行列列式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)位位置置的的元元素

42、素，其其它它2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:1例例:解解.0112012121102011的值的值計(jì)算計(jì)算 D0112012121102011 D4130 011221102011 2110 211021102011 3 4200 2200 21102011 )1( )( 2 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院44434234333224232214131211000bbbbbbbbbaaaa )()()(2211 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa2200420021102011 )1( 42002

43、1102011 2000 4 .化化為為三三角角形形行行列列式式算算往往往往某某些些字字母母型型行行列列式式的的計(jì)計(jì)解解題題方方法法：數(shù)數(shù)字字型型以以及及)(1121aa )(1131aa )(1141aa 011 a2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院44434234333224232214131211000bbbbbbbbbaaaa 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa.0112012121102011的值的值計(jì)算計(jì)算 D.化化為為三三角角形形行行列列式式算算往往往往某某些些字字母母型型行行列列式式的的計(jì)計(jì)解解題題方方

44、法法：數(shù)數(shù)字字型型以以及及)(1121aa )(1131aa )(1141aa 011 a2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院44434234333224232214131211000bbbbbbbbbaaaa 022 b)(2232bb )(2242bb 444334332423221413121100000ccccbbbaaaa )(3343cc 44343324232214131211000000dccbbbaaaa 44332211dcba 033 c2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院：例例2dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba

45、 3610363234232計(jì)計(jì)算算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba 3610363234232解解：)( 1 )( 1 )( 1 )( 2 )( 3 cbabaacbabaacbabaadcba3610363023423200 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院cbabaacbabaacbabaadcba3610363023423200 )( 2 )( 3 baabaacbabaadcba373002000 abaacbabaadcba0002000 4a )( 3 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院.的值的值計(jì)算計(jì)算21647

46、29541732152 D:3例例:解解2164729541732152 D2461759243712251 )( 2 )( 1 2251 6120 31100210 0210612031102251 )( 2 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院0210612031102251 )( 2 0300 31102251 3300030031102251 30003311 )(9 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院333231232221131211aaaaaaaaa設(shè)設(shè)解：解：33323123222113121153531026aaaaaaaaa 求求, 1 33323

47、123222113121153531026aaaaaaaaa 3332312322211312115353532aaaaaaaaa 5)3()2( 30 333231232221131211aaaaaaaaa4例例2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:5例例.:值值為為零零奇奇數(shù)數(shù)階階反反對(duì)對(duì)稱稱行行列列式式的的證證明明:注注,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji :反反對(duì)對(duì)稱稱行行列列式式為為), 2 , 1,(njiaajiij :,如如果果它它的的元元素素滿滿足足階階行行列列式式一一個(gè)個(gè)n則則稱稱其其為為反反.對(duì)對(duì)稱稱行行列列式式0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaa

48、aaaaa ), 2 , 1(0niaii 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證明：證明：0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa :3由性質(zhì)由性質(zhì)1由由性性質(zhì)質(zhì)0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaaD 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa n)( 1 ,為奇數(shù)為奇數(shù)當(dāng)當(dāng)n0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa Dn)( 1 DD 0 DDn)1( D即即2022-4

49、-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院：例例6階階行行列列式式計(jì)計(jì)算算nxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaax 解解：xaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaax xaaaanxaxaaanxaaxaanxaaaxanxaaaaanx )1()1()1()1()1(2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院xaaaanxaxaaanxaaxaanxaaaxanxaaaaanx )1()1()1()1()1()1(anx )1( )1( xaaaaxaaaaxaaaaxaaaa 11111)1( )1( 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3)23)(233(

50、3222232222322223例如例如axaxaxaxaaaaanx 00000000000000001)1(1)()1( naxanx9 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7例例nnnaaaaaaa 110001000001100011000112211計(jì)計(jì)算算行行列列式式:解解nnnaaaaaaa 1100010000011000110001122112022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnnaaaaa 1100010000010000100001121nnnaaaaaa 11000100000110001000011221再再將將第第三三行行加加到到, 第第四

51、四行行，行行加加到到直直到到第第 n,行行上上第第1 n得得2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 100001000001000010000121 naaa1 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8例例0,1121 aaaan且且為為互互不不相相同同的的常常數(shù)數(shù)其其中中013211232113221132111321 nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaa解方程解方程2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn 1132112321

52、13221132111321)( 1 )( 1 )( 1 )( 1 xaxaxaxaaaaaannnn 122113210000000000000000 111niixaa)(0 iax 1, 2 , 1 ni2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1.4 行列式按行行列式按行( (列列) )展開展開.降降階階法法行行列列式式計(jì)計(jì)算算將將高高階階行行列列式式降降為為低低階階 333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa 131312121111MaMaMa 322113312312332211aaaaaaaaa 32231133211231221

53、3aaaaaaaaa )(3123332112aaaaa )(3122322113aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 11M12M13M)(3223332211aaaaa 引例：引例：的余子式的余子式ijijaM 133113122112111111)1()1()1(MaMaMa 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院333231232221131211aaaaaaaaa133113122112111111)1()1()1(MaMaMa ijjiM )1( ijA的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ija 1212Aa1111Aa1313Aa2022-4-

54、20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院nnjnjnnnijijiinijijiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 11111111 ,)1(ijjiM 余余子子式式和和代代數(shù)數(shù)余余子子式式定定義義:3 . 1. 1行行i列列j行行所所在在的的第第去去掉掉元元素素中中階階行行列列式式在在iaaDnijij, ,1,階階行行列列式式余余下下的的列列和和第第 nj的的中元素中元素稱為稱為ijaD即即記為記為余子式余子式.,ijM ijA.的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式稱稱為為ija2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

55、A22M 22A32M 32aa1113aa1113aa3133 M32() 3 21aa2123M22() 2 21例如例如 333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaaD 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:4 . 12、定定理理), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii 或或按行展開按行展開 按列展開按列展開 )(.21行行iaaaDinii 的的各各列列等等于于它它的的任任意意一一行行階階行行列列式式)(ijaDn 即即子子式式乘乘積積的的和和元元素素與與其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的代代數(shù)數(shù)余余.2

56、1njjjaaaD )( 列列j), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證證明明：nnnnnaaaaaaaD21222121100)1( 若若)0(11 a其中其中nnnnnnaaaaaaaaaM13213323212232211 1111Aa 1111Ma )(從從特特殊殊到到一一般般11121112222111121111 nnnnnnbbbbbbbbbMnnnnnnaaaaaaaaa323333222322 11 jiijab1212111211211)()1( nnnjnjnjjjjjjjNbbb級(jí)級(jí)排排列列遍遍所所

57、有有取取 113), 3 , 2()1, 1, 1(12)1()1)(1( 1121211121) 1( nnnnjjnjjjjjjjNaaa遍遍所所有有取取2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 nnnnnaaaaaaaD21222121100 nnnnjjn,jjjjNaaa2222),2(),(11)1()1( 取遍所有取遍所有nnnnjjnjjjjNaaa2222),2(),()1(11)1( 遍所有遍所有取取)1(1111111111MaMa 1111Aa nAA1120.0 價(jià)價(jià)等等nnnnjjnjjjjjjjNaaa2211212)(1)()1( 級(jí)排列級(jí)排列遍所有遍所

58、有取取 113), 3 , 2()1, 1, 1(12)1()1)(1(1121211121) 1( nnnnjjnjjjjjjjNaaa遍遍所所有有取取11M 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院.)2(情情形形不不為為零零，其其余余全全為為零零的的行行中中除除第第討討論論ijaiDnnnnjnnnjnnjijjiaaaaaaaaaaa1, 11 , 111121112000)1( ijijjiMa )1(2性質(zhì)性質(zhì)次次行行交交換換，做做1 i次次列列交交換換。再再做做1 jnnnnnaaaaaaa212221211001111Ma )0(001111111111111 ijnn

59、njnnijiiijnijiinjaaaaaaaaaaaaaaDijijAa 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院是一般行列式是一般行列式若若D)3(nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211:4由性質(zhì)由性質(zhì)nnnnnaaaaaaD2111211 1ia2iaina001 ia002 iaina 00項(xiàng)項(xiàng)構(gòu)造構(gòu)造0 2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:5 . 1. 3 定定理理)()(列列的的元元素素與與另另一一行行列列某某一一行

60、行階階行行列列式式ijaDn )(02211siAaAaAasninsisi )(02211tjAaAaAantnjtjtj 或或行行第第行行第第siaaaaaaaaaDnnnniniin.212111211 0sninsisiAaAaAa 2211snssaaa21iniiaaa21snsnssssAaAaAa 2211.乘乘積積的的和和等等于于零零對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式即即2022-4-20阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院:由由以以上上兩兩個(gè)個(gè)定定理理可可得得 njsjijAa1)(按按行行展展開開)(按按列列展展開開注：注：si si njiaDij, 2 , 1, 若若