高等數(shù)學(xué)-同濟六版教學(xué)★第9章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2ppt課件

1、第六節(jié)復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第九章 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): : 平面曲線的切線與法平面曲線的切線與法線線已知平面光滑曲線)(xfy ),(00yx切線方程0yy 法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在點),(00yx切線方程法線方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在點有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 機動 目

2、錄 上頁 下頁 前往 終了 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 位置.TM空間光滑曲線在點 M 處的切線為此點處割線的極限平面平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切線方程切線方程000zzyyxx),(0000zyxMtt對應(yīng)設(shè) ),(0000zzyyxxMttt對應(yīng))(0t)(0t)(0t機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 TMM:的方程割線MM)(0

3、0 xxt此處要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如個別為0, 則理解為分子為 0 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 M不全為0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程 闡明闡明: 若引進(jìn)向量函數(shù)若引進(jìn)向量函數(shù) ) )(, )(, )()(ttttr, 那么 為 r (t) 的矢端曲線, 0t而在處的導(dǎo)向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是該點的切向量.o)(trTzyxo例例1. 求圓柱螺旋線 kzRyRx,sin,cos2對應(yīng)點處的切線方程和法平面方程.,2時當(dāng)切線

4、方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM對應(yīng)的切向量為0)(2kzk在機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),0,(kRT, 故2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF當(dāng)0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲線上一點),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 時, 可表示為處的切向量為 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終

5、了 )(, )(, 100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(則在點),(000zyxM切線方程切線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz或機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyx

6、GF機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2. 求曲線求曲線0,6222zyxzyx在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),(切線方程121zyx解法解法1 令令,222zyxGzyxF那么即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 6),(),(MyxGF)6,0, 6(T法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxzzxyydddd解法解法2. 方程組兩邊對方程組兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得1ddddxzxy1111dd

7、zyxyxz11ddzyxy曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點 M (1,2, 1) 處的切向量011機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )1,0, 1(T0),(:zyxF二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點),(000zyxM0tt 設(shè)對應(yīng)點 M,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 那么 在, )(, )(, )

8、(:tztytx且點 M 的切向量為任意引一條光滑曲線MT下面證明:此平面稱為 在該點的切平面.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT證:機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0處求導(dǎo)兩邊在tt ,0Mtt對應(yīng)點注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量

9、由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在點 M 的法向量法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )( ),(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點),(zyx故當(dāng)函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(

10、),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令有在點),(000zyx特別特別, 當(dāng)光滑曲面當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為那么,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復(fù)習(xí) 目錄

11、 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 求球面求球面3632222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 確定正數(shù)確定正數(shù) 使曲面使曲面zyx222zyx在點),(000zyxM解解: 二曲面在二曲面在 M 點的法向量分別為點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故000000

12、000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a與球面機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(, )(, )(000tttT切線方程法平面方

13、程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情況.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 T空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .的法向

14、量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 顯式情況.法線的方向余弦2211cosyxff法向量法向量機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ) 1 ,(yxffn思考與練習(xí)

15、思考與練習(xí)1. 如果平面01633zyx與橢球面相切,提示提示: 設(shè)切點為設(shè)切點為, ),(000zyxM那么223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 162 z(二法向量平行) (切點在平面上)(切點在橢球面上)證明 曲面)(xyfxz 上任一點處的切平面都通過原點.提示提示: 在曲面上任意取一點在曲面上任意取一點, ),(000zyxM則通過此0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 設(shè) f ( u ) 可微,第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證明原點坐標(biāo)滿足上述方程 .點的切平面為 1. 證明曲面證明

16、曲面0),(ynzymxF與定直線平行,.),(可微其中vuF證證: 曲面上任一點的法向量曲面上任一點的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直線的方向向量為,m,1)n那么(定向量)故結(jié)論成立 .的所有切平面恒備用題備用題機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (n(l,0nl2. 求曲線求曲線0453203222zyxxzyx在點(1,1,1) 的切線解解: 點點 (1,1,1) 處兩曲面的法向量為處兩曲面的法向量為)2,2, 1(因此切線的方向向量為)1,9,16(由此得切線:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即與法平面.機動 目錄

17、 上頁 下頁 前往 終了 ) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl 第九章 第七節(jié)第七節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度l),(zyxP一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終

18、了 P記作記作 ,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:則函數(shù)在該點沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 P 可微 , 得機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 P故coscoscoszfyfxf機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)

19、()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時,2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時,2,xflfl向角例例1. 求函數(shù)求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 解解: 向量向量 l 的方向余弦為的方向余弦為例例2. 求函數(shù)求函數(shù) 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為將已知曲線用參數(shù)方程

20、表示為2)2, 1 (xxPlz它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 設(shè)設(shè)是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 nn二、梯度二、梯度 方

21、向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當(dāng)Gl:GGlfmax1. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 G闡明闡明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影

22、.向量2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 面上的投在曲線xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù) f 的等值線 . ,不同時為零設(shè)yxff則L*上點P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設(shè)P同樣, 對應(yīng)函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時, 其上 點P處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對函數(shù)指向函數(shù)增大的方向.3. 梯度的基本運算公式梯度的基本運算公式0grad(1)CuCuCgrad)

23、(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4.,)(可導(dǎo)設(shè)rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r三、物理意義三、物理意義函數(shù)(物理

24、量的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù)數(shù)性函數(shù))場向量場向量場(矢性函數(shù)矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場梯度場)(gradPf( 勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場,速度場等(向量場) 留意留意: 任意一個向量場不一定是梯度場任意一個向量場不一定是梯度場.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例5. 已知位于坐標(biāo)原點的點電荷 q 在任意點),(4222zyxrrqu),(zyxP試證證證: 利用例利用例4的結(jié)果的結(jié)果 這說明場強:處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 Eugrad)4(02rrqE 場強04gradrrqu024rrqE0)(

25、)(gradrrfrf內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 0g

26、radlflf梯度在方向 l 上的投影.思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度與(1)中切線方向 的夾角 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)lM (1,1,1) 處切

27、線的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 l cosMfgradl備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令那么xu21rx2留意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點A( 1 , 0 ,

28、 1) 處沿點Axd d2. 函數(shù)函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32那么cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 , ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21 第九章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題三、條件極值三、條件極值機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)則稱函數(shù)在該

29、點取得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內(nèi)有xyzxyz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 闡明闡明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點的點稱為駐點 . 例如,定理定理1 (必要條件必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值

30、 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 時, 具有極值定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令那么: 1) 當(dāng)A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfA

31、yyyxxx02BAC02 BAC02BAC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1.1. 求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐求駐點點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 在點(3,0) 處不是極值;

32、在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2.討論函數(shù)討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222

33、)(yxz在點(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點且只有一個極值點P 時時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )根據(jù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3.3.解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點

34、某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形鐵板的長方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21s

35、in) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條

36、件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有機動 目錄 上頁 下

37、頁 前往 終了 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 推行推行拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F機動 目錄 上頁 下頁

38、前往 終了 例例5. 要設(shè)計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為,340Vxyz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索思索:1

39、) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知利用對稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機動 目錄 上頁 下頁

40、前往 終了 設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點坐標(biāo)為 (x , y),思

41、考與練習(xí)思考與練習(xí) 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx那么 ACABS2110321yx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應(yīng)面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS點擊圖中任意點動畫開始或暫停機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 備用題備用題 1. 求半徑為求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設(shè)內(nèi)接三

42、角形各邊所對的圓心角為設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,那那么么,2zyxzyx它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉氏函數(shù))2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) :cos2cos22222dc

43、dcbaba約束條件約束條件 :dcba,abcd答案答案: :,即四邊形內(nèi)接于圓時面積最大 .2. 求平面上以求平面上以機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 *第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式一、二元函數(shù)泰勒公式 二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二元函數(shù)的泰勒公式 第九章 一、二元函數(shù)的泰勒公式一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推行多元函數(shù)泰勒公式 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 記號記號 (設(shè)下面涉及的

44、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 表示表示定理定理1.1.),(),(00yxyxfz在點設(shè)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點, 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhn

45、yxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式, 稱為其拉格朗日型余項朗日型余項 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: : 令令),10(),()(00tktyhtxft那么 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(00

46、2yxfkhyx 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn闡明闡明: :(1) 余項估計式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 M , ,22kh 令則有1)(! ) 1(nnkhnMR

47、sincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (2) 當(dāng) n = 0 時, 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域D 上的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, .),(常數(shù)yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1. 求函數(shù)求函數(shù))0 , 0()1ln(),(在點yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)

48、1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(4

49、3khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 時, 具有極值二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令那么: 1) 當(dāng)A 0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC定理定理2 (充分條件充分條件)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: 由二元函數(shù)的泰勒公式由二元函數(shù)的

50、泰勒公式, 并注意并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 22221kCkhBhA其中其中 , , 是當(dāng)是當(dāng)h 0 , k 0 時的無窮小時的無窮小量量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時因此當(dāng)kh.),(確定的正負(fù)號可由khQz(1) 當(dāng) ACB2 0 時, 必有 A0 ,

51、且 A 與C 同號, )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可見 ,0),(,0khQA時當(dāng)從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點yx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(2o22221kkhh,0),(,0khQA時當(dāng)從而 z0,在點因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng) ACB2 0 時, 若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 那么 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當(dāng)時, 有,0kBhAAkhQ與故),(異號;),(yx當(dāng),),

52、(0000時接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號.可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 +xy),(00yxo假設(shè) AC 0 , 則必有 B0 , 不妨設(shè) B0 , 此時 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx對點,同號時當(dāng)kh,0),(khQ,異號時當(dāng)kh,0),(khQ可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點因此),(yxf;),(00無極值yxkhB2,0z從而,0z從而(3) 當(dāng)ACB2 0 時, 假設(shè) A0, 那么21)(),(kBhAk

53、hQA假設(shè) A0 ,那么 B0 ,2),(kCkhQ可能),(khQ為零或非零機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 此時)(),(221okhQz因此 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,)(,0),(2確定的正負(fù)號由時因為ozkhQ不能斷定 (x0 , y0) 是否為極值點 . 第九章 * *第十節(jié)第十節(jié)問題的提出問題的提出: 已知一組實驗數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解決兩個問題: 1. 確定近似函數(shù)的類型 根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律 根據(jù)問題的實際背景2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) )(iixfy 實驗數(shù)據(jù)有誤差,不能要求機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ), 1n最小二乘法最小二乘法 oyx 偏向)(iiixfyr有正有負(fù), 值都較小且便于計算, 可由偏差平方和最小 min)(20iinixfy為使所有偏差的絕對來確定近似函數(shù) f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:設(shè)有一列實驗數(shù)據(jù)分布在某條曲線上, 通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法, 找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗公式 .), 1 ,0(),(nkyxkk, 它們大體 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 特別, 當(dāng)數(shù)據(jù)點分