高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件上第7_2點(diǎn)積叉積

1、*三、向量的混合積三、向量的混合積 第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)量積 向量積 *混合積 第七七章 1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點(diǎn)積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab記作故,0,時(shí)當(dāng)同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量, 則有baj rPcosbba

2、baaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實(shí)上, 當(dāng)0c時(shí), 顯然成立 ;時(shí)當(dāng)0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則cos2222abbac如

3、圖 . 設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三點(diǎn), )2,1 ,2(),1 ,2,

4、2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為 ) .求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度例例3. 設(shè)均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,A解解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積APAA的夾角為且vvncosvcosvnv vnn為單位向量機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) , 有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOP

5、MFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(cbcaba

6、 )()( ba)(baba) 1 (證明證明:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaba

7、ibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計(jì)算見 P339P342 ) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 已知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一點(diǎn) M 的線速度例例5. 設(shè)剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉(zhuǎn), 導(dǎo)出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進(jìn)一個角速度向量使a其在 l 上任

8、取一點(diǎn) O,O作它與則點(diǎn) M離開轉(zhuǎn)軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,r向徑機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、向量的混合積向量的混合積1. 定義定義 已知三向量稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h(yuǎn)故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacba機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合積的坐標(biāo)表示混合積的坐標(biāo)表示設(shè)xayazaxbybzbzxzx

9、bbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 三個非零向量共面的充要條件是0(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 已知一四面體的頂點(diǎn)),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解解: 已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的,61故 61

10、V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 證明四點(diǎn), )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 .ADACAB機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzy

11、xzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 混合積:2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0ba思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba機(jī)動 目錄 上頁 下頁