2012年高考理科數(shù)學(xué)(新課標(biāo))試題分析

1、2012年高考理科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)）試題分析優(yōu)學(xué)教育教研部高中數(shù)學(xué)教研組2012年6月15日I.總體評(píng)價(jià)2012年普通高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷遵循課程標(biāo)準(zhǔn)版考試大綱和考試說(shuō)明的各項(xiàng)要求，試題科學(xué)、規(guī)范。試題突破以往風(fēng)格，在結(jié)構(gòu)和難度上均有較大變化，主干知識(shí)在選擇題中順序改變，比重增大，難度增加。2012年課標(biāo)卷對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題的考查更加貼近現(xiàn)實(shí)、貼近考生的實(shí)際。試卷在選修模塊的考查更加突出定義理解，對(duì)新增內(nèi)容的考查進(jìn)行了進(jìn)一步的探索，課程改革試卷形式趨于穩(wěn)固。一、 注重全面考查 2012年課標(biāo)卷中各種知識(shí)點(diǎn)題型起點(diǎn)較高、較綜合、不易入手，多數(shù)試題源于教材，但考查較深入，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本知識(shí)、基本技能和基本方法的考查，

2、又注重考查知識(shí)間的緊密聯(lián)系，第（1）、（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）題分別對(duì)集合、排列組合、等比數(shù)列、三視圖、三角函數(shù)、平面向量、線性規(guī)劃等基本概念和基本運(yùn)算進(jìn)行了考查。試卷注重考查通性通法，有效檢測(cè)考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握情況，第（3）題考查命題，而內(nèi)容是復(fù)數(shù)的計(jì)算；第（4）、（8）題考查圓錐曲線的性質(zhì)，注重聯(lián)系平面幾何與平面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化；第（6）、（15）題分別考查了新課改中增加的程序框圖、正態(tài)分布，更加強(qiáng)調(diào)對(duì)新知識(shí)定義的理解，更加的貼近實(shí)際操作；第（10）、（12）題考查了函數(shù)的性質(zhì)和反函數(shù)，研究函數(shù)圖象在解題中的巧妙作用；第（16）題考查了數(shù)列的性

3、質(zhì)和求和。解答題中第一題較以往不同的是考查了解斜三角形，第二題考查概率同時(shí)涉及分段函數(shù)的解析式，立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查較以往變化不大。二、 強(qiáng)化思想方法 2012年課標(biāo)卷中試卷突出考查數(shù)學(xué)本質(zhì)和考生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，如第（4）、（7）、（8）、（9）、（10）、(11)、（12）、（14）、（19）題考查了數(shù)形結(jié)合的思想；第（10）、（12）、（18）、（20）、（21）、（24）題考查了函數(shù)與方程的思想；第（12）、（16）、（20）、（21）、（23）題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想；第（10）、（16）、（18）、（21）、（24）題考查了分類討論與整合的思

4、想。三、 重視知識(shí)聯(lián)系2012年課標(biāo)卷在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，考查知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，如第（3）題在考查命題時(shí)同時(shí)考查了復(fù)數(shù)的概念和代數(shù)運(yùn)算；第（18）題在考察概率分布列知識(shí)時(shí)，先出現(xiàn)了分段函數(shù)的考查；第（21）題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程和不等式融為一體。四、 突出能力立意 2012年課標(biāo)卷突出能力立意，綜合考查考生的各種能力，如第（2）、（5）、（18）、（20）、（21）題考查了運(yùn)算求解能力；第（7）、（11）、（19）題考查了空間想象能力；第（6）、（19）題考查了推理論證能力；第（18）題考查了數(shù)據(jù)處理能力；第（6）、（12）、（15）題考查了創(chuàng)新應(yīng)用能力。五、 重視應(yīng)用意識(shí)2012年課標(biāo)

5、卷重視考查考生的應(yīng)用意識(shí)和建模能力，如第（15）、（18）題設(shè)計(jì)巧妙，貼近生活實(shí)際，深入考查概率分布的基本思想，有效考查了考生的應(yīng)用意識(shí)。II試題知識(shí)點(diǎn)分布及難易程度題型題號(hào)分值考查知識(shí)點(diǎn)難易程度選擇題（60分）15分集合及元素運(yùn)算中等25分排列組合較易35分命題與復(fù)數(shù)較易45分橢圓及其性質(zhì)中等55分等比數(shù)列較易65分程序框圖較難75分三視圖、空間幾何體體積中等85分雙曲線、拋物線的性質(zhì)中等95分三角函數(shù)的單調(diào)性中等105分復(fù)合函數(shù)圖象較難115分球與空間幾何體較難125分指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)較難填空題（20分）135分平面向量較易145分線性規(guī)劃較易155分正態(tài)分布中等165分?jǐn)?shù)列求和較難解答

6、題（60分）1712分解斜三角形較易1812分分段函數(shù)、概率及分布列中等1912分立體幾何線線垂直、二面角較易2012分拋物線方程及其與直線位置關(guān)系較難2112分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)較難選做題（10分）2210分選修41：幾何選講注：任選一題作答較易2310分選修4:4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程較難2410分選修45：不等式選講中等III未考查知識(shí)點(diǎn)2012年課標(biāo)卷未考查大綱要求重要知識(shí)點(diǎn)有二項(xiàng)式定理、定積分、相關(guān)系數(shù)與線性回歸方程、幾何概型。IV.試題分析一、選擇題：（1）已知集合；,則中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ） 【考查目標(biāo)】 本題考查集合的概念和集合中元素個(gè)數(shù)的求法。【解題思路】，共10個(gè)?！敬鸢浮俊驹囶}評(píng)價(jià)

7、】 試題考查了集合概念的理解，集合元素個(gè)數(shù)的求法，體現(xiàn)了考試大綱對(duì)于此方面知識(shí)的要求。（2）將名教師，名學(xué)生分成個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（ ）種 種 種 種【考查目標(biāo)】 本題考查了計(jì)數(shù)原理中排列組合?！窘忸}思路】甲地由名教師和名學(xué)生：種【答案】A【試題評(píng)價(jià)】 試題以生活實(shí)例為素材，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，要求考生理解掌握技術(shù)原理方法，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。（3）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題：其中的真命題為（ ） 的共軛復(fù)數(shù)為 的虛部為 【考查目標(biāo)】 此題考查復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算?！窘忸}思路】 ，的共軛復(fù)數(shù)為，的虛部

8、為【答案】C【試題評(píng)價(jià)】 試題通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，檢測(cè)考生對(duì)復(fù)數(shù)及其模長(zhǎng)、共軛復(fù)數(shù)的理解和掌握程度。（4）設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)， 是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【考查目標(biāo)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想。【解題思路】是底角為的等腰三角形，=，=，故選C.【答案】C【試題評(píng)價(jià)】 試題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)，通過(guò)幾何關(guān)系建立代數(shù)關(guān)系，是典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，充分體現(xiàn)了考試大綱中對(duì)于橢圓內(nèi)容的要求。（5）已知為等比數(shù)列，則（ ） 【考查目標(biāo)】 此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)算?！窘忸}思路】 ，或【答案】【試題評(píng)價(jià)】 試題較簡(jiǎn)單，反映了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)考生注重運(yùn)用數(shù)列內(nèi)容性

9、質(zhì)的要求。（6）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)和實(shí)數(shù)，輸出，則（ ）為的和為的算術(shù)平均數(shù)和分別是中最大的數(shù)和最小的數(shù)和分別是中最小的數(shù)和最大的數(shù)【考查目標(biāo)】 本題主要考查框圖表示算法的意義?！窘忸}思路】 由框圖知其表示的算法是找N個(gè)數(shù)中的最大值和最小值，和分別為，中的最大數(shù)和最小數(shù)，故選C.【答案】C【試題評(píng)價(jià)】 此題是新課改中的新內(nèi)容，更加注重考查考生對(duì)計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言的理解掌握，要求考生理解算法思想并能在實(shí)踐中自覺(jué)應(yīng)用，是新課改創(chuàng)新應(yīng)用的反映。（7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） 【考查目標(biāo)】 本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖及體積計(jì)

10、算，考查考生的空間想象能力?！窘忸}思路】 由三視圖知，其對(duì)應(yīng)幾何體為三棱錐，其底面為一邊長(zhǎng)為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為=9，故選B.【答案】B【試題評(píng)價(jià)】 試題的設(shè)計(jì)注重考查考生空間想象能力，是新課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生多樣化學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)。 （8）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ） 【考查目標(biāo)】 本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線、直線與雙曲線的位置關(guān)系?！窘忸}思路】 由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為：，設(shè)等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，=，=，解得=2，的實(shí)軸長(zhǎng)為4，故選C.【答案】C【試題評(píng)價(jià)】 試題突出了對(duì)雙曲線基本知識(shí)和拋物線性質(zhì)的

11、考查，準(zhǔn)確把握了考試說(shuō)明對(duì)雙曲線和拋物線內(nèi)容的不同能力要求。（9）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減。則的取值范圍是（ ） 【考查目標(biāo)】 此題考查三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，要求考生理解三角函數(shù)圖像的伸縮、平移等變化。【解題思路】 不合題意 排除 合題意 排除另：， 得：【答案】A【試題評(píng)價(jià)】 試題比教材所講三角函數(shù)知識(shí)復(fù)雜，對(duì)知識(shí)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用。（10） 已知函數(shù)；則的圖像大致為（ ）【考查目標(biāo)】 本題考查函數(shù)的圖像，涉及定義域、最值、單調(diào)性，也間接考查了導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)性和最值得應(yīng)用。【解題思路】 得：或均有 排除【答案】B【試題評(píng)價(jià)】 試題通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性和最值的考查，反映考生對(duì)求導(dǎo)方法的理解和靈活

12、應(yīng)用程度。 （11）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 【考查目標(biāo)】 本題考查錐體及其外接球的結(jié)構(gòu)特征，考查空間幾何體中的計(jì)算能力技巧，考查考生空間想象能力?！窘忸}思路】的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離 為球的直徑點(diǎn)到面的距離為 此棱錐的體積為 另：排除【答案】A【試題評(píng)價(jià)】 試題設(shè)計(jì)較難，要求考生不僅要有良好的空間想象能力，也要掌握靈巧的相關(guān)計(jì)算能力。 （12）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（ ） 【考查目標(biāo)】本題考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的位置關(guān)系，考查平面坐標(biāo)系中的運(yùn)算能力。【解題思路】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱 函數(shù)

13、上的點(diǎn)到直線的距離為 設(shè)函數(shù) 由圖象關(guān)于對(duì)稱得：最小值為【答案】B【試題評(píng)價(jià)】 試題區(qū)別一般函數(shù)的最值問(wèn)題，不直接通過(guò)兩函數(shù)做差構(gòu)造新函數(shù)再求解，而是先觀察到兩函數(shù)間是互為反函數(shù)的關(guān)系，然后通過(guò)圖像幾何關(guān)系解答，這要求考生具備敏銳的審題能力，隨時(shí)靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解題。二填空題：（13）已知向量夾角為 ，且；則【考查目標(biāo)】 本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算法則?！窘忸}思路】|=，平方得，即，解得|=或（舍）?！敬鸢浮俊驹囶}評(píng)價(jià)】 試題考查課本基礎(chǔ)的平面向量知識(shí)，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)考生注重基礎(chǔ)的要求。 (14) 設(shè)滿足約束條件：；則的取值范圍為 . 【考查目標(biāo)】 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

14、?！窘忸}思路】約束條件對(duì)應(yīng)四邊形邊際及內(nèi)的區(qū)域： 則【答案】【試題評(píng)價(jià)】 試題考查知識(shí)很基礎(chǔ)，有效檢測(cè)考生對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的理解和應(yīng)用。（15）某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為 【考查目標(biāo)】 本題考查正態(tài)分布在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查學(xué)生實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。【解題思路】 三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布得：三個(gè)電子元件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為超過(guò)1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率 那

15、么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為【答案】【試題評(píng)價(jià)】 試題考查了學(xué)生運(yùn)用正態(tài)分布知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)注新課程下考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。（16）數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為 【考查目標(biāo)】本題主要考查靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)求數(shù)列問(wèn)題能力?！窘忸}思路】【思路1】有題設(shè)知=1， =3 =5 =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，得=2，+得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列，的前60項(xiàng)和為=1830.【思路2】可證明： 【答案】【試題評(píng)價(jià)】 試題通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)，整個(gè)求和公式中可分為常數(shù)列和等差數(shù)列兩個(gè)新數(shù)列的求和，得以全面考查考

16、生對(duì)數(shù)列知識(shí)的掌握程度和應(yīng)用能力。三、解答題： （17）（本小題滿分12分）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，（1）求 （2）若，的面積為；求?！究疾槟繕?biāo)】 本題主要考查正余弦定理應(yīng)用【解題思路】 運(yùn)用正弦定理把已知等式化成角的關(guān)系（“邊化角”），從而用余弦定理求解?！敬鸢浮拷猓?）由正弦定理得： （2） 解得：【試題評(píng)價(jià)】 試題注重基礎(chǔ)，考查了考試大綱中要求的對(duì)三角形面積公式、正余弦定理的理解應(yīng)用。18.（本小題滿分12分）某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求

17、量（單位：枝，）的函數(shù)解析式。 （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由?！究疾槟繕?biāo)】 （1）考查分段函數(shù)解析式的求法；（2）考查有限個(gè)值得離散型隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望，考查考生準(zhǔn)確解讀統(tǒng)計(jì)圖表的意義的能力?！窘忸}思路及答案】 解（1）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 得： （2）（i）可取， 的分布列為 （ii）購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為 得：應(yīng)購(gòu)進(jìn)17

18、枝【試題評(píng)價(jià)】 本題通過(guò)對(duì)生產(chǎn)生活實(shí)際問(wèn)題的檢測(cè)，展示了數(shù)據(jù)的獲取、整理、分析等統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容，體現(xiàn)新課改注重過(guò)程、實(shí)踐與能力的教學(xué)理念。（19）（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求二面角的大小?！究疾槟繕?biāo)】 本題考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查二面角的概念和計(jì)算，綜合考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力?！窘忸}思路】 （1）用線面垂直證線線垂直；（2）可建立空間直角坐標(biāo)系求解?！敬鸢浮拷猓?）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 得：點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè)，則， 既二

19、面角的大小為【試題評(píng)價(jià)】 試題以考生熟悉的三棱柱為載體，通過(guò)問(wèn)題的分層設(shè)計(jì)，使不同層次考生的水平都得以發(fā)揮。試題準(zhǔn)確把握相關(guān)幾何要素，把“綜合推理論證”和“向量計(jì)算驗(yàn)證”巧妙融入試題設(shè)計(jì)中，使空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力得到充分考查，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)立體幾何教學(xué)的能力要求。（20）（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值?！究疾槟繕?biāo)】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知

20、識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力。【解題思路及答案】解（1）由對(duì)稱性知：是等腰直角，斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 圓的方程為 （2）由對(duì)稱性設(shè)，則 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得： 得：，直線 切點(diǎn) 直線坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為?！驹囶}評(píng)價(jià)】 試題設(shè)計(jì)圍繞解析幾何的思想方法展開(kāi)，突出了數(shù)形結(jié)合的思想，側(cè)重于對(duì)思想方法的理解和應(yīng)用，同時(shí)還強(qiáng)調(diào)了良好的運(yùn)算求解能力，全面體現(xiàn)了考試大綱對(duì)解析幾何的考查目標(biāo)。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)滿足滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值?！究疾槟繕?biāo)】 本題考查導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)性、最值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決問(wèn)題的能

21、力。【解題思路】 （1）代特殊值法；（2）構(gòu)造新函數(shù)。【答案】解（1） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）得 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 時(shí)，與矛盾 當(dāng)時(shí)， 得：當(dāng)時(shí)， 令；則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，的最大值為?！驹囶}評(píng)價(jià)】 試題分布設(shè)問(wèn)，考查由淺入深，重點(diǎn)突出，靈活考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和解題方法，而且對(duì)邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力提出較高要求。請(qǐng)考生在第22,23,24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，分別為邊的中點(diǎn)，直線交的外接圓于兩點(diǎn)，若，證明：（1）；（2）。【考查目標(biāo)】 本題主要考查線線平行