高數(shù)多元函數(shù)概念極限連續(xù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1高數(shù)多元函數(shù)概念極限連續(xù)高數(shù)多元函數(shù)概念極限連續(xù)一、平面點集的有關(guān)概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性Ch7-1 多元函數(shù)的基本概念 第1頁/共29頁1. 鄰域 ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、平面點集的有關(guān)概念0P 第2頁/共29頁2. 區(qū)域.)()1(的的內(nèi)內(nèi)點點為為，則則稱稱的的某某一一鄰鄰域域存存在在點點平平面面上上的的一一個個點點如如果果是是是是平平面面上上的的一一個個點點集集，設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)點點EPEPUPPE .EE 的的內(nèi)內(nèi)點點屬屬于于E1P .)3(為開集為開集則稱則稱的點都是內(nèi)點，的點都是內(nèi)點，如果點集如果

2、點集開集開集EE41),(221 yxyxE例如，即為開集.)()()2(的的外外點點為為，則則稱稱使使得得，的的某某一一鄰鄰域域如如果果存存在在點點外外點點EPEPUPUP 2P 第3頁/共29頁的的邊邊界界點點為為），則則稱稱，也也可可以以不不屬屬于于于于本本身身可可以以屬屬的的點點（點點的的點點，也也有有不不屬屬于于于于的的任任一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點點邊邊界界點點EPEEPEEP)4(EP .EEE 的邊界記為的邊界記為的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為是是連連通通的的，則則稱稱開開集集且且該該折折線線上上的的點點都都屬屬于于線線連連結(jié)結(jié)起起來來，內(nèi)內(nèi)任任何何兩兩點

3、點，都都可可用用折折是是開開集集如如果果對對于于設(shè)設(shè)連連通通集集DDDD)5( 第4頁/共29頁 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy開區(qū)域閉區(qū)域(a)(b)(c)(d)xyo21xyoxyoxyo21(6) 區(qū)域 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域(a)(b)(c)(d)第5頁/共29頁0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域xyo例如，稱稱為為無無界界點點集集為為有有界界點點集集，否否則則則則稱稱使使如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對對于于點點集集ErOUErE),(, 41| ),(22 y

4、xyx3. 有界集第6頁/共29頁4. 聚點(1) 內(nèi)點一定是聚點；(2) 邊界點一定是聚點；10| ),(22 yxyx例如，(0,0)既是邊界點也是聚點第7頁/共29頁(3) 點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合第8頁/共29頁5. n維空間(1) n維空間的記號為;nR(2) n維空間中兩點間距離公式 第9頁/共29頁),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 注：n維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|

5、),(00 特殊地, 當(dāng)n=1，2，3 時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：設(shè)兩點為第10頁/共29頁1. 引例 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫(秦九韶)公式2,Vr h (,RTpRV 為為常常數(shù)數(shù)）()2abcp cba ( ,)0,0r hrh 0(,)0,V TVTT ( , , )0,0,0,a b cabcabc()()()Sp papbpchr二、多元函數(shù)的概念第11頁/共29頁當(dāng)當(dāng)2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù),),(),(Dyxyxfz 記記為為定義 1

6、設(shè)D是平面上的一個點集，則稱映射 f:DR為定義在D上的二元函數(shù)，DPPfz ),(或或2. 二元函數(shù)的定義點函數(shù)符號 f (P) 第12頁/共29頁例1 的定義域的定義域求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 第13頁/共29頁二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.3. 二元函數(shù)z=f(x,y) 的圖形第14頁/共29頁xzy221zxy定義域為 22( , )1x yxy圓域圖形為中心在原點的上半球面.,sin(),zxy 又又如如12( , )Rx y 三元函數(shù) 222arcsin()ux

7、yz定義域為 222( , , )1x y zxyz圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzo第15頁/共29頁三、多元函數(shù)的極限1. 定義第16頁/共29頁（1）定義中 PP0 的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似不不同同。及及與與二二次次極極限限),(limlim),(limlim0000yxfyxfxxyyyyxx（4） 二元以上的函數(shù)的極限可類似地定義。第17頁/共29頁例2 用定義證明 證明:01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22

8、yx , 0 , 時，時，當(dāng)當(dāng) 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立2二元函數(shù)極限問題舉例 第18頁/共29頁例3 求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 第19頁/共29頁例4 證明 不存在不存在2200limyxxyyx 分析：要證明二重極限不存在，可使P選擇不同的路徑而趨于P0，如有不同的極限，則二

9、重極限不存在。證明：令P沿直線y=kx而趨于點P0(0,0),則有2200limyxxykxyx 顯然，此極限值隨k的變化而變化,所以二重極限不存在不存在2200limyxxyyx 2222201limkkxkxkxx 第20頁/共29頁（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP處極限不存在處極限不存在 確定極限不存在的方法：.,)3(322等等特殊趨向：特殊趨向：xyyxxyxy 第21頁/共29頁 定義3(1) 間斷點的判別與一元函數(shù)類似。(2)多元

10、函數(shù)不僅有間斷點而且有間斷線。 1.多元函數(shù)連續(xù)性的定義 四、 多元函數(shù)的連續(xù)性第22頁/共29頁222222,0( , )0,0 x yxyxyf x yxy 在點(0 , 0) 極限不存在 (例4), 又如, 函數(shù)221( , )1f x yxy 上間斷.221xy 故 ( 0, 0 )為其間斷點.在圓周第23頁/共29頁 多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域2. 多元初等函數(shù)的連續(xù)性 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPf

11、PfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點點在在的定義域的內(nèi)點，則的定義域的內(nèi)點，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時，如果時，如果一般地，求一般地，求 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的第24頁/共29頁例5.11lim00 xyxyyx 求求解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 第25頁/共29頁3. 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果 在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第26頁/共29頁 本節(jié)主要討論了多元函數(shù)的概念、多元函數(shù)極限及連續(xù)的概念 本節(jié)要求了解多元函數(shù)極限及連續(xù)的概念，知道多元初等函數(shù)的連續(xù)性及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會求一些二元函數(shù)的極限第27頁/共29頁思考： 是否存在？是否存在？24200limy